實變函數(shù)論課后答案第五章1

1、最新資料推薦實變函數(shù)論課后答案第五章1第無章第一節(jié)習(xí)題1. 試 就 0 , 1上 的 D i r i c h 函le 數(shù) D (x) 和 Riemann 函 數(shù) R( x) 計 算D( x)dx 和R( x)dx 0 , 1 0,11xQ即 D ( x)Q (x) ( Q 為 R1 上全體有理數(shù)解: 回憶 D (x)1Q0x R之集合 )回憶 :E ( x) 可測E 為可測集和 P129定理 2: 若 E 是 Rn 中測度有_限的可測集 ,f ( x) 是 E 上的非負(fù)有界函數(shù) , 則 f ( x)dxf ( x) dxf (x)EE為 E 上的可測函數(shù)顯然 ,Q 可數(shù)，則 m* Q0 ， Q

2、可測，Q ( x)可測，有界 , 從而 Lebesgue可積由 P134Th4(2)知Q ( x) dxQ ( x)dxQ ( x) dx1dx0dx0,10,1Q0,1Qc0,1Q0,1Q c1(0,1Q)0(0,1Qc )1 00 10mm回憶 Riemann函數(shù) R( x) :R :0,1R11xn和 無大于 的公因子n,m n1mR(x)1x00x0,1Q在數(shù)學(xué)分析中我們知道,R( x) 在有理點處不連續(xù), 而在所有無理點處連續(xù) , 且在 0,1 上 Riemann可積 ,R(x)0a.e 于 0,1 上 , 故 R( x) 可1最新資料推薦測 (P104 定理 3), 且R( x)

3、dxR(x)dxR( x)dx0,10,1 QQ而 0( )1mQ 0 (*故Q可數(shù) , 故 m Q 0)R x dxdxQQR( x) dxR( x) dx0dx 00,10,1 Q0,1 Q2. 證明定理 1(iii) 中的第一式證明 : 要證的是 : 若 mE,f (x), g( x) 都是 E 上的非負(fù)有界函數(shù) , 則()f( )dx( )dxfx dxxg xEEE下面證明之 :0 , 有下積分的定義 , 有 E 的兩個劃分 D1 和 D2 使sD1 ( f )f ( x)dx, sD2 ( g)g ( x) dxE2E2此處 sD1 ( f ) , sD2 (g) 分別是 f 關(guān)于

4、 D1 和 g 關(guān)于 D2 的小和數(shù) , 合并 D1 , D2而成 E 的一個更細(xì)密的劃分D , 則當(dāng) sD ( fg) 為 f (x)g( x) 關(guān)于 D 的小和數(shù)時( f ( x)g( x)dxsD ( fg)sD fsD gsD1 fsD2 gf ( x)dxg( x) dxf ( x)dxg (x)dx( 用到下確界的性E2E2EE質(zhì)和 P125引理 1)由的任意性 , 令0 , 而得( f ( x)g( x) dxf ( x) dxg( x) dxEE3. 補作定理 5中 f ( x)dx的情形的詳細(xì)證明E證明 :令EmE x | x | m, 當(dāng)f ( x) dxlimf ( x)

5、dxEmE mf ( x)dx時,EM 0, 存在m0 m0 (M ) N ,當(dāng)0時,m m2最新資料推薦2Mf (x)dx lim f ( x)k dxEmkEm則存在 k 使 M f ( x) k dxlim fn ( x) k dxlim f n ( x) k dxnnEmEmEmlim fn ( x) k dxlimfn ( x)dxlimfn ( x)dxnnnE mEmE( 利用 f n ( x) k dx 有限時的結(jié)論 ,Th5 中已詳證 )E m由 M 的任意性知 limfn (x)dxf (x)dx證畢 .nEE4. 證明 : 若 f ( x) 是 E 上的非負(fù)函數(shù) ,f (

6、x)dx 0 , 則 f (x)0a.eE證明 : 令 Enx|n fx n1,n1,2,Fm x |f ( x) 1( )1m則 E x | f (x) 0 (En )(Fn )n 1n1f 可測，故 En , Fm , E x | f (x)0 （ n1,2,; m1,2, ）都是可測集，由 P135Th4(2)和 f ( x) dx0 ， f (x) 非負(fù)知E0f ( x)dxf (x)dxf (x)dxndxnmEn 0EE x; f ( x) 0EnEn故 mEn0,( n1,2, ) ；同理 mFm0,( m1,2,)故 mE x | f ( x)0mEnmFm0n 1m 1故從

7、f (x) 非負(fù)，E x |f (x)0EE x | f (x)0 ，知 f (x) 0ae. 于 E .證畢 .5證明：當(dāng) mE時， E 上的非負(fù)函數(shù)的積分f ( x)dx的充要條E件是2k mE x | f (x)2k k0證 明 ： 令 Ek |( )k2 ,0 , 1nf ( x) 2n 1 ，E x f xk， EnE x | 2k0,1,2,3最新資料推薦E x | f ( x)1En ,Ei E j當(dāng) ij ， f 非負(fù)，故從 mE知n 00f (x)dx，而 f (x)dxf ( x)dxf (x)dxE x| f ( x)1EE x|0 f ( x)1E x| f ( x)1

8、f ( x)dxf (x)dxEE x| f ( x) 1注意由單調(diào)收斂定理和f ( x)0 可測知f ( x)dxf ( x)dxf ( x)dxn(x) f ( x) dxlim n (x) f ( x)dxE x| f ( x) 1nlimEiEnEiEnlimEiE ni0i 0n 0ni 0LeviThnlimn(x) f ( x) dxlimf ( x) dx limf (x)dxf (x) dxnEinn0 Ei 0 EEniii 0Eiii 0i 0 E2i 1 dx2n 1 mEn 2 2n mEn2 2n mFn2 2n E x | f ( x) 2n n 0n 0n 0n

9、 0i所以，若2kmE x | f (x) 2k ，則有f (x)dxk 0E x; f ( x) 1則 f x dx，故充分性成立 .( )E為證必要性，注意 FkEi ,mFkmEi ，令 kni ki k 1若 kn ，則0若kn2n mE x | f ( x) 2n 2n mFn2nmEk2nkn mEk2nkn mEkn 0n 0n 0k nn 0 k nn 0 k 0k2k 11k 0 n 0 2nnnmEk n 0 2nk mEkk 0 n 0 2 mEkk 0k 0 mEk2 1mEk (2k 1 1)2k 1 mEkmEk2 2k mEkm( Ek )k 0k 0k 0k 0

10、k 022k mEk m E x; f (x) 1 2f ( x)dxk0k 0 Ek4最新資料推薦2f (x)dx2f (x)dx2 f ( x)dxEkE x| f ( x) 1Ek 0（ mE, mE x | f ( x)1）證畢 . 注意以上用到正項二重級數(shù)的二重求和的可交換性，這可看成是 Fubini 定理的應(yīng)用，也可看成是 Lebsgue 基本定理的應(yīng)用，或 Levi 定理的應(yīng)用 .anmanmm 0 n0n 0 m 0kkkanmlimanm0limanm d(m)lim0anm d (m)m 0 n 0m 0 kn 0kn 0kn 0klim0anm d(m)anm d(m)a

11、nmk0n0 m 0n 0n 0是 R1 上的一個測度（離散的）mN , m1,( A)# AN ， N 為自然數(shù)集， anm 看成an (x)anx當(dāng) xN，也可這樣設(shè)anma,anmb ，則 k, p N0當(dāng) x Nn 1 m 1m 1 n 1kppkpanm b ，令 p，kb ，令anmanmanmn 1 m 1m 1 n 1m 1 n 1n 1 m 1k, aanm b ，同理，b a ，則 ab ，anmanmn 0 m 0n 0 m 0m 0 n 0ai ,i1,i ),1in 為簡單函數(shù)，f() lim()n (x) xnxn x，則0nf ( x) 可測6. 如果 f ( x

12、), g (x) 都是 E 上的非負(fù)可測函數(shù)，并且對于任意常數(shù)a 都有mE x | f (x) amE x | g(x)a則( )()fx dxgx dxEE5最新資料推薦證明：若存在 b0 使E x | f ( x)b，則 ( )( )結(jié)論成f x dxg x dxEE立.故ba ， a,bR1 ， E x | f (x)b，則E x | f ( x)aE x | f ( x)bE x | af ( x)bmE x | af (x)bmE x | f (x)amE x | f (x)bmE x; g (x)amE x; g(x)bmE x; ag( x)bmN ，及 k0,1,2, 2m1，

13、令 Em, kE x | kmf ( x)km1 及22Em, m2mE x | f (x)m 則m2mEEm,k， Em,k 互不相交k 0同樣 Em, kkk1m2mE x |g( x)E x | g (x)m ， EEm,k ，2m2m, Em,m 2mk 0Em,k 互不相交m2 mkm2mk ( x) ，則m( x) ， m( x) 都是非令 m (x)mE( x),m ( x)mk0 2m ,kk 0 2Em,k負(fù)簡單函數(shù)，且m (x), m (x)均為單調(diào)不減關(guān)于 m ， m ( x)f (x) ，m ( x)g( x)注意到m( Em, k )kf ( x)k1kg(x)k1m

14、( Em, k )mE x |m2m mE x |2m2m2故m( x)dxm2 mkm(E)m 2mkm(Em,k)m(x)dxk0 2mm,kk02mEE故由 Levi 定理知f( )lim( )lim()()x dxnmx dxnmx dx g x dxEEEE7設(shè) mE， f ( x) 是E 上的有界非負(fù)可測函數(shù)， 0f (x)M ，6最新資料推薦max yi(n )Ei( n)E x |f (x)dxE0 g0(n) g1( n)yi( n1) | i1,2, ,knyi( n1)f (x)yi(n) , inknlimf ( i n )mEi( n)ni 1gk(n)M , n1,

15、2,使nln0(n) ，Ei(n ) ,i1,2,kn; n1,2,3,證明：證明：顯然，由f 可測于knE Ei(n ) ，又在 Ei( n ) 上 yi(n1)i 1E 知， Ei(n) 是可測集（1 ikn , n N ）且f ( x) yi(n ) 表明 y( n)inff ( x)sup f ( x)y( n )i 1x Ei( n )x Ei( n )iknsup f ( x)mE(n )kninf f ( x)mEi(n )記 S（大和數(shù)）， sDn（小Dni( n)i 1(n )i 1x Eix Ei和數(shù)）則從 f (x) 有界可測知f ( x) 在 E 上可積（ P129Th

16、2），故sDnf ( x)dxf (x)dxf ( x)dxSD n，又從inEi(n ) 知sD n|f x dxEsDnSDnkni 1EEknf ( in )mEi(n )i1knf ( x)dxf (Ei 1f (in mEi(nSDnEknsup f ( x)mEi(n )i 1 x Ei( n)in )mEi(n )SDnsDnk)sD)yi nyi n1niSDn，則nknnmEin( lnmEi n ( l n)mE|1i1（從 ln0 知）kn故 f ( x)dxlimf ( in )mEi( n)Eni 18 設(shè) mE， f (x) 是 E 上 的 非 負(fù) 可 測 函 數(shù)

17、， f (x)dx，Een E x; f ( x)n ，證明：lim n men0n7最新資料推薦證明：由本節(jié)習(xí)題5 知 f ( x)dx， mEE則 2k mE x | f ( x)2k ，故k 0lim 2k |() 2k 0mE xf xn(1)反 證 設(shè)l i mn， 則0k 使nk，0 , kN , nme0n m eknnkN , ikN 使2iknk2i k 1 ，所以 enke2i k , 顯然從 nk知 2i k0nkmen2ik 1 me i k2 2ik me ik0(k) 得矛盾k22所以 lim n men0n9設(shè) f ( x) 是 E 上的非負(fù)可測函數(shù)，f (x)d

18、x，對任意的 r 0 ，令EF (r )f ( x)dxE x| x| r 證明： F ( r ) 是 (0,) 上的連續(xù)函數(shù)證明： E x | x | r EB(0, r ) 顯然為可測集；又 f (x) 在 E 上非負(fù)可測，故 r0 ， f 在 ErE x | x | r 上也可測，且 0f ( x)dxf (x)dx，E rE故 F ( r ) 是 (0, ) 上有定義的函數(shù)1）先設(shè) 0 f ( x) M于 E 上，此時r00, r 0 有0 F (r0r ) F (r0 )f (x)dE x|r0|x| r0 r MmE x; r0 | x |r0 r Mm B(0, r0 r )B(

19、0, r0 )M (m( B(0, r0 r )mB(0, r0 )M (wn (r0r )nwn (r0 )n 0這里節(jié)?。ó?dāng) r0 ）mB(0,r)n n最好是用n 來看.（下一w rmB(0, r ) (R)1dx wnrB(0, r )8最新資料推薦也可這樣看 m( B(0, r0 r )mB(0, r0 )0 ， Rr 0B(0, R)I Rx( x1 , x2 , xn )Rn ; RxiR，而I rx(x1, x2 , xn )Rn ;rxirB(0, r ) ，故nnnB(0, R)B(0, r )I R I rnm(B(0, R)B(0,r )m( I RI r)m( I

20、R )m(I r)(2R)n(2 r )n2n Rn2n ( r )nnnnn得不出結(jié)果！則 0F (r0r )F ( r0 )0當(dāng) r0 時| F (r0r )F ( r ) |F (r )F ( r0r )M ( wn ( r0 )nwn ( r0r )n 0則 F ( r ) 是連續(xù)的對一般可測函數(shù)f ( x) ，令f ( x), f (x )M，則fm (x)Mmin( f (x ),m )m , f ( x)0 fN 可測于 E ，且 f N ( x)f ( x) 于 E ， fN 單調(diào)不減，故由 Levi 定理知limfm dxf ( x)dxmEE0,N () ，使 0f ( x

21、)dxf N (x)dx f (x)fN ( x)dxEEE6對上述固定的 NN () ， FN (r )f N ( x)dx 是連續(xù)于 (0,) 上的E x|x|r 則 r0(0,),000，當(dāng)| r r0|時(,r , N ( )(,r )| FN (r ) FN ( r0 ) |3則當(dāng) | rr0 |時| F (r )F (r0 ) | | F (r ) FN (r ) | | FN ( r ) FN (r0 ) | | FN ( r0 ) F ( r0 ) | I N1I N2I N3I N1| F (r )FN ( r ) |f ( x)dxfN ( x)dx |( f ( x)fN

22、 ( x) dx |E x|x|r E x|x| r E x|x | r 9最新資料推薦| ( f ( x)f N ( x) | dx| ( f ( x)f N ( x) | dx3E x|x| r EI N2| FN (r ) FN (r0 ) |3，I N3| FN (r0 )F (r0 ) |( f ( x)f N ( x) dx | ( f ( x)f N (x) dx3E x|x| r0 E則 | F (r ) F (r0 ) |從而 F ( x) 在 (0,) 上連續(xù)得證 .10證明：若非負(fù)可測函數(shù) f ( x) 在 E 上的積分f ( x)dx，則對任意Ec ， 0cf ( x)

23、dx都有 E 的可測集 E1 ，使f (x)dxcEE1證明：由第 9題知，在本題條件下 F (r )f (x)dx 是 (0,) 上的連E x|x| r 續(xù)函數(shù)若 c 0，則任取一單點 x0E ， E1x0 ，則f ( x)dxf ( x0 )m x00 ，即f ( x)dx 0x0E1若cf()，則取E1E ，則 f ( x)dx cx dxEE1若 0 cf ( x)dxE注意到 r0 ， B(0, r )x,| r | r（ B(0, r ) 的邊界）滿足 B(0, r )(B(0, r1 )B(0, r )m 1mm( B(0, r )m( ( B(0, r1B(0, r )m 1m

24、lim m( B(0, r1) B(0, r ) lim wn ( r1)nr n )0nmnm若 EmE x | x |m ， Em0E x | x |m ，則 m(EmEm0)m(B(0, m) 0而 f ( x)非負(fù)可測 ，故 limF (m)limf ( x)dxlimf (x)dxf (x)dxmmmEm01Em1E10最新資料推薦則 m 充分大時， F (m) c另一方面， lim F (r )0r0（當(dāng)0 fM有界時，）0 F ( r )f ( x)dx Mm(Er ) Mm(B(0, r ) 0Em01一般，0 ， N () ，使 |f Ndxf dx |， fNmin( f , N ) ，又EE3FN ( ) (r ) 0 ，當(dāng) r0 時，(N ( ), )當(dāng) 0 r時， | FN ( ) (r ) |3當(dāng) 0 r時0 F (r ) | F (r )FN ( ) (r ) | | FN ( ) (r ) | f f N ( ) |dx | FN( ) (r ) |23 3 3E故 lim F (r ) 0r 0由連續(xù)函數(shù)的中介值定理知， 存在 r00 使 c0 F (r0 )f (