彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ)-第一章應(yīng)力分析.ppt

1、,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第 一 章 應(yīng) 力 分 析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.1 應(yīng)力定義 1.1.2 應(yīng)力的方向性 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量表示方法 1.2.2 任意傾斜面上的正應(yīng)力、全應(yīng)力S、 剪應(yīng)力表示方法,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.1 主方向、主平面、主應(yīng)力的概念 1.3.2 應(yīng)力不變量的概念 1.3.3 任意方向截面應(yīng)力的主應(yīng)力的表達(dá) 1.3.4 三維應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力莫爾圓 1-4 主剪應(yīng)力,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-5 正八面體

2、剪應(yīng)力 1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.1 張量概念 1.6.2 應(yīng)力張量概念 1.6.3 應(yīng)力張量球張量與偏張量 1.6.4 應(yīng)變速率張量,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.1 應(yīng)力定義 應(yīng)力是指當(dāng)物體中一微元面積M趨近于零時(shí)，作用在該面積上的內(nèi)力 P與A比值的極限，即 (1-1) 當(dāng)物體受外力P1、P2、P3、作用時(shí)，產(chǎn)生與諸外力相平衡的內(nèi)力。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,作用于變形體中某一微元面積的內(nèi)力P,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.2 應(yīng)力的方向性 應(yīng)力與方向有關(guān)，例如簡單拉伸。垂直于軸線 平面上的應(yīng)力 (1-2)

3、P軸向力； A0垂直于軸線的橫截面面積。 而當(dāng)所截平面的法線與軸線成角時(shí)，由于斜 面的面積增大(由A0A0/cos) ， 相應(yīng)的軸向應(yīng) 力為 (1-3) 隨著增大，截平面越來越傾斜，應(yīng)力也就越 來越小。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,單向拉伸時(shí)軸向應(yīng)力值隨截面方位變化,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.2 應(yīng)力的方向性 為了便于研究，通常將任意方向 截面上的應(yīng)力分解為兩個(gè)分量： 垂直于截面的分量（正應(yīng)力） 平行于截面的分量（剪應(yīng)力） 顯然，有：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,單向拉伸時(shí)軸向應(yīng)力值隨截面方位變化,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)

4、系 邊界只存在正應(yīng)力情況 平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，假設(shè)z=0。 x1 ，y2 ，任意截面上BC：(, ) 設(shè)截面BC的面積A， AC面積為Acos， AB的面積為Asin 。 沿BC面的法線方向力的平衡方程為： 即： (1-4),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,邊界存在正應(yīng)力時(shí)斜截面受力圖,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 沿a-a方向,力的平衡方程為： 即： (1-5),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,邊界存在正應(yīng)力時(shí)斜截面受力圖,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 由式(1-4)和(1-5)，將 消去后，可得： (1-

5、7) 應(yīng)力圓：任一截面正應(yīng)力與剪應(yīng)力關(guān)系圖 確定任一截面上 的 和。 坐標(biāo)系： 圓 心： 軸上點(diǎn) 半 徑：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,應(yīng)力圓,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 任一截面上 的 和 確定方法： 取任一截面上法向 和 的值。第一主應(yīng)力截面法向夾角的二倍 2 ，由 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)力圓上對應(yīng)于2點(diǎn)的軸上的 和 的值。 最大剪應(yīng)力確定方法：出現(xiàn)于 或 的截面上，即 出現(xiàn)在圖中的 的截面上，最大剪應(yīng)力的值為 。 2=0情況下應(yīng)力圓：應(yīng)力圓將切于上，最大剪應(yīng)力值等于 。 1= 2 =0 的情況下：應(yīng)力圓將變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)在任一截面上將有 =0。,

6、彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 如圖所示， xx、 ；yy、 任意截面上BC：( ，) 設(shè)截面BC的面積A， AC面積為Acos ， AB的面積為Asin 。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力時(shí)斜截面受力圖,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 沿BC面的法線方向力的平衡方程為： 沿BC面的切線方向力的平衡方程為：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力時(shí)斜截面受力圖,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1

7、.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況; 整理后，得 (1-8) 或 (1-9) 消去 后，則得 (1-10),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 坐標(biāo)系： 參 數(shù)： x、y和xy 圓 心： 軸上點(diǎn) 半 徑：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,應(yīng)力莫爾圓,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 主應(yīng)力狀態(tài)1、2和0 的確定 剪應(yīng)力為零時(shí)的正應(yīng)力的值為 (1-11) 根據(jù)式(1-9)的第二式，當(dāng) =0時(shí)， 0則可得

8、(1-12) 式(1-12)也可參照應(yīng)力圓直接列出。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 如果0為方程式(1-12)的最小正根， 則其他的根1，2 ，3 ， n ， 可由下式確定 即 (1-13) 當(dāng) 時(shí)，便可確定 =0時(shí)，x及y分別獲得極值時(shí)的值， 即互相垂直的兩個(gè)主應(yīng)力值。角0和主應(yīng)力可以在應(yīng)力莫爾圓上的確定,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況 在(，)平面內(nèi)，橫坐標(biāo)軸上取 做為圓心, 取 為

9、 或 ，在 及 處取xy 的值 作為縱坐標(biāo)；在 點(diǎn)， 取xy為正值，得到應(yīng)力圓的半徑CP1，等于,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-1 單向及平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1.1.3 平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力關(guān)系 邊界同時(shí)存在正應(yīng)力、剪應(yīng)力情況按式 (1-11)，線段OA和OB表示主應(yīng)力主應(yīng)力 1與x軸正向角度0是ACP1之半； 由圖也可以看出，最大剪應(yīng)力 (1-14) 即等于主應(yīng)力差的一半，并且出現(xiàn)于與主應(yīng)力截面成/4 的截面上，故可知，實(shí)際物體中平面之夾角在應(yīng)力莫爾圓中所對應(yīng)的平面間圓心角被放大了一倍。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量

10、表示方法 從受力物體中取出任一無窮小四面體 三個(gè)面與坐標(biāo)面平行， 第四個(gè)面法線n方向余弦是l、m、n。 正應(yīng)力總是沿著作用面的法線方向 剪應(yīng)力兩個(gè)下標(biāo)說明所在的面 (用外法線方向表示)與作用方向， 例如yx表示剪應(yīng)力所在面與y軸垂直， 它的方向與x軸平行。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量表示方法 作用在四面體四個(gè)面上的應(yīng)力及這些面的面積列于表1-1中。 表1-1 四面體各個(gè)面上的應(yīng)力分布,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量表示方法 在四

11、面體面上的力作用于相應(yīng)面的重心上。體積力忽略不計(jì)。x軸上力的平衡條件為 (1-15) 平面圖形 投影幾何 關(guān)系有 (1-16),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量表示方法 將式(1-16)代入式(1-15)便可得到Sx的表達(dá)式。 用同樣的方法, 可得到Sy、Sz的表達(dá)式，即: (1-17) 作用在任意傾斜面上的應(yīng)力分量可以用作用 在相互垂直的三個(gè)面上的應(yīng)力分量來表示。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.1 任意傾斜面上的應(yīng)力分量表示方法 如果作用在物體表面上的外部載

12、荷用Fx, Fy, Fz 表示, 于是式(1-17)中的Sx,Sy,Sz都換成Fx, Fy, Fz， 即式(1-17)可作為應(yīng)力的邊界條件。 (1-17) 上式中， Fx, Fy, Fz 為作用在物體表面上 的已知面力分量(注意：非集中載荷),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.2 任意傾斜面上的正應(yīng)力、全應(yīng)力S、剪應(yīng)力 表示方法 設(shè)點(diǎn)C是四面體的重心，如果通過C點(diǎn)畫一條與z軸平行的軸z，這 時(shí)作用在四面體各面的12個(gè)分力除兩個(gè) 應(yīng)力yx及xy外，或與z軸平行，或通過 z軸.對軸的力矩方程為 由此可得 用相同的方法可以得到,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),

13、第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,C,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.2 任意傾斜面上的正應(yīng)力、全應(yīng)力S、剪應(yīng)力 表示方法 受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可用三個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力分量x，y，z以及xy，yz，zx確定。 即：斜面上正應(yīng)力、全應(yīng)力S及 剪應(yīng)力可由下式確定：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,四面體受力圖,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.2 任意傾斜面上的正應(yīng)力、全應(yīng)力S、剪應(yīng)力 表示方法 例題1: 設(shè)物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由如下應(yīng)力分量確定，即x=0， xy=1，xz =2，y =2，yz=0，z=1，試求通過點(diǎn)作用在其方向余 弦為 的斜面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力和全應(yīng)力。 解： 由

14、式(1-17)，得斜面上全應(yīng)力的各分量為,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-2 三維應(yīng)力狀態(tài)分析 1.2.2 任意傾斜面上的正應(yīng)力、全應(yīng)力S、剪應(yīng)力 表示方法 例題1: 所以， 全應(yīng)力: 正應(yīng)力: 剪應(yīng)力:,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.1 主方向、主平面、主應(yīng)力的概念 主方向：物體內(nèi)某一方向單元面積上，剪應(yīng)力等于零，則此方 向稱為主方向。 主平面：與主方向相垂直的平面。 主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力, 用p表示。主應(yīng)力 p與主平面上全應(yīng)力S為同一應(yīng)力 因此, 有: (1-19),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)

15、力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.2 應(yīng)力不變量的概念 將式(1-19)代入式(1-17)，整理為 (1-20) 由幾何關(guān)系可知 (1-21) 根據(jù)式(1-20)與式(1-21)可以確定四個(gè)未知量l、m、n、p 。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.2 應(yīng)力不變量的概念 式(1-21)l、m、n不能同時(shí)為零。式(1-20)包含三個(gè)未知量l、m、n 的線性齊次方程，若有非零解，則方程組系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即 (1-22) 展開行列式后，得: (1-23),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3

16、.2 應(yīng)力不變量的概念 式中 (1-24) I1、I2、I3分別稱為第一、第二和第三應(yīng)力不變量。 應(yīng)力不變量的解釋： (1) 主應(yīng)力其大小與方向，在物體形狀和引起內(nèi)力變化因素確定后， 便是 完全確定的，它不隨坐標(biāo)系的改變而變化。 (2) 當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，雖然每個(gè)應(yīng)力分量都將隨之改變，但這三個(gè)量是不變的。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.3 任意方向截面上應(yīng)力的主應(yīng)力表達(dá) 由式(1-23)可知，主應(yīng)力有3個(gè)，常用1，2，3表示，其中每個(gè)主應(yīng)力作 用面的法線方向與坐標(biāo)之間夾角的方向余弦可由式(1-20)及(1-21)求出?？梢?證明,3個(gè)主方向

17、是相互垂直的。 若三個(gè)坐標(biāo)軸的方向?yàn)橹鞣较?，分別用1、2、3表示。則由(1-18)式可得出 任意斜面上的正應(yīng)力為： (1-25) 因?yàn)榇藭r(shí)由式(1-17)有： (1-26),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.3 任意方向截面上應(yīng)力的主應(yīng)力表達(dá) 全應(yīng)力的平方為 (1-27) 根據(jù)式(1-25)、式(1-27)以及式(1-21)，即 主應(yīng)力平面示意圖,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.3 任意方向截面上應(yīng)力的主應(yīng)力表達(dá) 可以求出用 、以及1 、 2 、3 表示的l2、m2，n2，其表達(dá)式為

18、(1-28) 主應(yīng)力平面示意圖,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.3 任意方向截面上應(yīng)力的主應(yīng)力表達(dá) 上式中 (1-29),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.4 三維應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力莫爾圓 如果設(shè)1 2 3，由于l2、m2、n2永遠(yuǎn)是非負(fù)值，所以式(1-28) 中右端的分子和分母應(yīng)有相同的正負(fù)號，在m2的表達(dá)式中，由于分 母是負(fù)數(shù)，所以分子也應(yīng)當(dāng)為負(fù)數(shù)，即 (1-30) 可以將上式寫成 (1-31),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.4

19、三維應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力莫爾圓 在、 坐標(biāo)中，式(1-31)取等號后，則表示一個(gè)圓的方程式： 半徑： ；圓心： 軸上為 ； 正應(yīng)力和剪應(yīng)力在以 為半徑的圓所圍繞的區(qū)域之內(nèi)。 同樣由l2和m2表達(dá)式， 可得 (1-32),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-3 三維應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及應(yīng)力莫爾圓 1.3.4 三維應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力莫爾圓 和 應(yīng)當(dāng)在以 和 為半徑的兩個(gè)圓圍繞區(qū)域之外 應(yīng)力 和 應(yīng)當(dāng)在以三個(gè)應(yīng)力圓 所圍成陰影所示的范圍之內(nèi) 由應(yīng)力圓可看出最大剪應(yīng)力等于 最大和最小主應(yīng)力值之差的一半 三維應(yīng)力 莫爾圓,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 根據(jù)幾何關(guān)系式（1-21）有 由式（

20、1-18）、式（1-25）及式（1-26）可寫出2的表達(dá)式 (1-33) 將n2(1-l2-m2)代入，可得： (1-34),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 為了求出 的極值，取對l和m的偏導(dǎo)數(shù)并令它等于零，有 (1-35) 分別消去(1-3)、(2-3)，可得關(guān)于l和m的兩個(gè)三次方程式： (1-36),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 滿足上兩式的解有如下四種情況： (1) l=0、m0，由式(1-22)可得，n=1，由式(1-34)得 =0。 (2) l0、m0，由式(1-36)的第一式可得 由于(1-3)不等于零，故 由式(1-21)可得,彈

21、性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,此解代表通過（平行）2并平分1、3 所夾角的平面,1-4 主剪應(yīng)力 用相同的方法可得 (3) l=0、m=n= (4) n=0、l=m=,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,此解代表通過（平行）1并平分2、3所夾角的平面,此解代表通過（平行）3 并平分1、2所夾角的平面,1-4 主剪應(yīng)力 將以上所得到的l、m、n值代入式(1-34)中,得到剪應(yīng)力的極值 (1-37) 23、31、12滿足如下條件 (1-38),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 例題 已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。

22、試求應(yīng)力不變量、主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 解： 由式(1-24)，各應(yīng)力不變量為 代入式(1-23)，得,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 例題 已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 試求應(yīng)力不變量、主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 解（續(xù)）： 由高等代數(shù)學(xué)可知，式(1-23)的三次方程的根可以寫成 式中：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 例題 已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 試求應(yīng)力不變量、主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 解 （續(xù)）： 將I1、I2及I3的值代入以上兩式可

23、以求得 即 ：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 例題 已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 試求應(yīng)力不變量、主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 解（續(xù)）： 于是可得： 即 ：,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-4 主剪應(yīng)力 例題 已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為x=1,xy=2,xz=1,y=-2,yz=-3,z=4。 試求應(yīng)力不變量、主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。 解（續(xù)）：再由式(1-37)，可得最大剪應(yīng)力 如果想要知道各個(gè)主方向的 l, m, n值，可利用式（120）求解。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-5 正八面體剪應(yīng)力 (

24、1-39) 等傾面及正八面體 將以上方向余弦的值代入式(1-25)后，則得正八面體的正應(yīng)力0為 (1-40) 正八面體上的正應(yīng)力等于三個(gè)正應(yīng)力之和的三分之一 正八面體上的正應(yīng)力等于平均正應(yīng)力,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-5 正八面體剪應(yīng)力 如將式(1-39)代入式(1-33)則得正八面體上的剪應(yīng)力為 (1-41) 可以用應(yīng)力第一不變量和應(yīng)力第二不變量來表示，因?yàn)?因此 (1-42) 正八面體上剪應(yīng)力和正應(yīng)力均為不變量，可以方便表示材料力學(xué)行為 八面體剪應(yīng)力也可以用主剪應(yīng)力表示，即 (1-43),彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.1 張量概念

25、 研究對象的分量由一組坐標(biāo)系變換到另一組坐標(biāo)系時(shí)按照一 定規(guī)律變化，這些分量的集合稱為張量。 受力物體上一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)面上的六 個(gè)應(yīng)力分量或三個(gè)主應(yīng)力來確定，坐標(biāo)系變換時(shí)存在三個(gè)應(yīng) 力不變量，這一組量的集合稱為應(yīng)力張量。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.2 應(yīng)力張量概念 式中，ij代表應(yīng)力狀態(tài)的各個(gè)分量， 角標(biāo)i=x、y或z，j=x、y或z； 重復(fù)角標(biāo)分量xx、yy、zz； 不重復(fù)角標(biāo)分量 xy、xz、yx、yz、zx、zy 已知坐標(biāo)系(x,y,z)中的應(yīng)力， 則(x,y,z)中的應(yīng)力也可以知道， 應(yīng)力分量是按照一定規(guī)律變化。 受力

26、物體某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)， 不應(yīng)因選擇不同的坐標(biāo)系而變化， 應(yīng)力張量有其不變量存在。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.3 應(yīng)力張量球張量與偏張量 實(shí)驗(yàn)背景： 實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)三向等壓應(yīng)力并不引起塑性變形 例如：鉛在室溫下的s約為20MPa 鉛塊在密閉油缸中加上2000MPa的高壓油，卸壓后，鉛試 樣并不呈現(xiàn)顯著的塑性變形 應(yīng)力張量中一部分量對塑性變形不起作用， 一部分量對塑性變形起作用。 主應(yīng)力空間中，當(dāng)123時(shí)，全應(yīng)力端點(diǎn)的軌跡為球面， 在任何方向截面上都不存在剪應(yīng)力。 從塑性變形機(jī)理知，無論是滑移、雙晶或晶界滑移，都主要是與 剪應(yīng)力有關(guān)。,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),

27、第一章 應(yīng)力分析,1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.3 應(yīng)力張量球張量與偏張量 應(yīng)力張量分解成兩部分，一部分是反映平均應(yīng)力(m)大小的球張量， 另一部分就是應(yīng)力偏量，即 上式寫成張量縮寫符號 式中 ijKroneker符號，當(dāng)i= j，=1；ij， =0； kk求和記號，角標(biāo)用同樣母表示并依次取x、y、z相加，即 kk x+y +z,彈性與塑性力學(xué)基礎(chǔ),第一章 應(yīng)力分析,1-6 應(yīng)力張量及應(yīng)力偏量 1.6.3 應(yīng)力張量球張量與偏張量 應(yīng)力偏量的分量， ，。 應(yīng)力偏量與應(yīng)力張量一樣，也有三個(gè)不變量J1、J2及J3。 式中：I1應(yīng)力張量第一不變量 I2應(yīng)力張量第二不變量 I3應(yīng)力張量第三不變量,