2015高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)回扣+熱點(diǎn)突破+能力提升)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 理 北師大版

1、第二節(jié)直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【考綱下載】1能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離1兩條直線的交點(diǎn)2三種距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2| 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1兩條直線位置關(guān)系與其對(duì)應(yīng)方程組的解之間有何關(guān)系？提示：兩條直線相交方程組有唯一解；兩條直線平行方程組無(wú)解；兩條直線重合方程組有無(wú)窮多解2使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？提示：使用點(diǎn)到直線距離公式時(shí)要注意將直線方程化為一般式；使

2、用兩條平行線間距離公式時(shí)，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等1(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線x2y50的距離是()A1 B. C2 D.解析：選Dd.2兩條直線l1：2xy10和l2：x2y40的交點(diǎn)為()A. B.C. D.解析：選B解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)為.3(2014煙臺(tái)模擬)已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為()A. B. C4 D8解析：選Bl1的方程可化為6x8y140，又因?yàn)閘2的方程為6x8y10，所以l1與l2的距離d.4已知直線l1與l2：xy10平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為_(kāi)解析：因?yàn)閘1

3、與l2：xy10平行，所以可設(shè)l1的方程為xyb0.又因?yàn)閘1與l2的距離是，所以，解得b1或b3，即l1的方程為xy10或xy30.答案：xy10或xy305若三條直線2x3y80，xy10和xby0相交于一點(diǎn)，則b_.解析：由得將其代入xby0，得b.答案：考點(diǎn)一兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題 例1(1)經(jīng)過(guò)直線l1：xy10與直線l2：xy30的交點(diǎn)P，且與直線l3：2xy20垂直的直線l的方程是_(2)(2014錦州模擬)當(dāng)0k0.5時(shí)，直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點(diǎn)在第_象限自主解答(1)法一：由方程組解得即點(diǎn)P(2,1)，設(shè)直線l的方程為y1k(x2)，l3l，k，直線l的方程

4、為y1(x2)，即x2y0.法二：直線l過(guò)直線l1和l2的交點(diǎn)，可設(shè)直線l的方程為xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l與l3垂直，2(1)(1)0，解得.直線l的方程為xy0，即x2y0.(2)l1與l2的直線方程聯(lián)立得解方程得又0k0.5，所以x0，故l1與l2的交點(diǎn)在第二象限答案(1)x2y0(2)二【互動(dòng)探究】若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程 解：由方程組解得即點(diǎn)P(2,1).又ll3，即k=2,故直線l的方程為y-1=2(x-2),即2x-y+5=0【方法規(guī)律】經(jīng)過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的設(shè)法經(jīng)過(guò)兩相交直線A1xB1yC10和A2xB2yC20的交點(diǎn)的

5、直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(這個(gè)直線系方程中不包括直線A2xB2yC20)或m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0.已知直線l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分別求滿足下列條件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一點(diǎn)；(2)l1，l2，l3圍成三角形解：(1)直線l1，l2的方程聯(lián)立得解得即直線l1，l2的交點(diǎn)為P(1，2)又點(diǎn)P在直線l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.當(dāng)直線l3與l1，l2均相交時(shí)，有解得k且k1，綜上可得k，且k，且k1.考點(diǎn)二對(duì) 稱 問(wèn) 題 例2已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)點(diǎn)A關(guān)

6、于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱的直線l的方程自主解答(1)設(shè)A(x，y)，則由已知得解得A.(2)在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M必在直線m上設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如D(1,1)，E(4,3)，則D，E關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)D、E均在直線l上，易得D(3，5)，E(6，7)，再由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3

7、y90.法二：ll，設(shè)l的方程為2x3yC0(C1)點(diǎn)A(1，2)到兩直線l，l的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得C9，l的方程為2x3y90.法三：設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)為P(2x，4y)，點(diǎn)P在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.【方法規(guī)律】 (1)關(guān)于中心對(duì)稱問(wèn)題的處理方法：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1l2，由點(diǎn)斜式得到

8、所求直線方程(2)關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題的處理方法：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在l上，而且連接P1P2的直線垂直于l，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行.直線y2x是ABC的一個(gè)內(nèi)角平分線所在的直線，若點(diǎn)A(4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y2x，知A，B不在直線y2x上，因此y2x為ACB的平分線，設(shè)點(diǎn)A(4,2)關(guān)于y2

9、x的對(duì)稱點(diǎn)為A(a，b)，則kAA，線段AA的中點(diǎn)坐標(biāo)為，解得A(4，2)y2x是ACB平分線所在直線的方程，A在直線BC上，直線BC的方程為，即3xy100.由解得即C(2,4)高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三 距離公式的應(yīng)用1距離公式包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離和兩平行線間的距離這三種距離在高考中經(jīng)常體現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題，以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)在解答題中有所體現(xiàn)2高考中對(duì)距離公式的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)求距離；(2)已知距離求參數(shù)值；(3)求距離的最值例3(1)(2014安康模擬)點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,0)和直線x1的距離相等，且P到直線yx的距離等于，這樣的點(diǎn)P共有(

10、)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)(2)(2014啟東模擬)l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1,1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是_自主解答(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由題意知|x1|，且，所以即或解得或解得因此，這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)(2)當(dāng)兩條平行直線與A、B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線的距離最大又kAB2，所以兩條平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案(1)C(2)x2y30與距離有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求距離利用兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行線的距離公式直接求解，也可利用“化歸”法將兩條平行線間的距

11、離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離(2)已知距離求參數(shù)值可利用距離公式，得出含參數(shù)的方程，解方程即可求解(3)求距離的最值可利用距離公式得出距離關(guān)于某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)，利用函數(shù)知識(shí)求最值1在OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1，cos )，B(sin ，1)，則OAB的面積的取值范圍是()A(0,1 B.C. D.解析：選DOA的方程為ycos x，且|OA|，而B(niǎo)到OA的距離d，所以S O A B|OA|d(1sin cos )sin 2，又1sin 21，sin 2.2已知直線l1：mx8yn0與l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之間的距離為，求直線l1的方程解：因?yàn)閘1與l2平行，所以.解得m4.當(dāng)m4時(shí)

12、，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，兩平行線間的距離d，解得n18或n22.此時(shí)l1的方程為4x8y180或4x8y220，即2x4y90或2x4y110.當(dāng)m4時(shí)，l1：4x8yn0，l2：2x4y10，兩平行線間的距離d，解得n22或n18.此時(shí)l1的方程為4x8y220或4x8y180，即2x4y110或2x4y90.綜上可知l1的方程為2x4y90或2x4y110或2x4y110或2x4y90.課堂歸納通法領(lǐng)悟1條規(guī)律與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法與直線AxByC0(A2B20)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.1種思想轉(zhuǎn)化思想在

13、對(duì)稱問(wèn)題中的應(yīng)用一般地，對(duì)稱問(wèn)題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱等情況，上述各種對(duì)稱問(wèn)題最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決2個(gè)注意點(diǎn)判斷直線位置關(guān)系及運(yùn)用兩平行直線間的距離公式的注意點(diǎn)(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮；(2)運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等 方法博覽(六)妙用直線系求直線方程1平行直線系由于兩直線平行，則它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系典例1求與直線3

14、x4y10平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線l的方程解題指導(dǎo)因?yàn)樗笾本€與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1)解依題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.點(diǎn)評(píng)與直線AxByC0平行的直線系方程為AxByC10(C1C)，再由其他條件求C1.2垂直直線系由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必然的關(guān)系可以考慮用直線系方程求解典例2求經(jīng)過(guò)A(2,1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程解題指導(dǎo)依據(jù)兩直

15、線垂直方程的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解解因?yàn)樗笾本€與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yC10，又直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直線方程為x2y0.點(diǎn)評(píng)與直線AxByC0垂直的直線系方程為BxAyC10，再由其他條件求出C1.3過(guò)直線交點(diǎn)的直線系方程典例3求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程解題指導(dǎo)可分別求出直線l1與l2的交點(diǎn)及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解法一：解方程組得P(0,2)因?yàn)閘3的斜率為，且ll3，所以直線l的斜率

16、為，由斜截式可知l的方程為yx2，即4x3y60.法二：設(shè)直線l的方程為x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直線l的方程為4x3y60.點(diǎn)評(píng)本題法一采用常規(guī)方法，先通過(guò)方程組求出兩直線交點(diǎn)，再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，由于交點(diǎn)在y軸上，故采用斜截式求解；法二則采用了過(guò)兩直線A1xB1yC10與A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接設(shè)出過(guò)兩直線交點(diǎn)的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解全盤鞏固1(2014北京模擬)已知點(diǎn)A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，則直線AB的方程為()Ayx或

17、yxByx或yxCyx1或yx1Dyx或yx解析：選B因?yàn)閨AB| .所以cos ，sin ，kAB.即直線AB的方程為y(x1)2已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關(guān)于直線yx對(duì)稱，則直線l2的斜率為()A. B C2 D2解析：選A因?yàn)閘1，l2關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以l2的方程為x2y3，即yx，即直線l2的斜率k為.3已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,4)且與點(diǎn)A(2,2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20解析：選D依題意知，直線l的斜率存在，故設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0.由已知，得

18、.所以k2或k.即所求直線方程為2xy20或2x3y180.4(2014南昌模擬)P點(diǎn)在直線3xy50上，且P到直線xy10的距離為 ，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)解析：選C設(shè)P(x,53x)，則d，|4x6|2,4x62，即x1或x2，故P(1,2)或(2，1)5直線l通過(guò)兩直線7x5y240和xy0的交點(diǎn)，且點(diǎn)(5,1)到l的距離為，則l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40解析：選C由得交點(diǎn)(2,2)，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不合題意，所以設(shè)l的方程為y2k(x2)，即kxy22k0，依題意有，解得k3.所以l的方程為3xy40.6曲線1與直線y2xm有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是()Am4或m4 B4m3或m3 D3m3解析：選A曲線1的草圖如圖所示與直線y2xm有兩個(gè)交點(diǎn)，令y0，則x，所以2，所以m4或m4.7已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x，x)和B，那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是_解析：d .即最小值為.答案：8若兩平行直線3x2y10,6xayc0之間的距離為，則c的值是_解析：依題意知，解得a4，c2，即直線6xayc0可化為3x2y0，又兩平行線之間的距離為，所以，因此c2或6.答案：2或69已知0k1時(shí)，0，此時(shí)交點(diǎn)在第二