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1、,3.2.2 分式不等式與高次不等式的解法,分式不等式的概念,分母中含有未知數(shù)的不等式叫作分式不 等式。各種分式不等式經(jīng)過同解變形,都可 以化成標(biāo)準(zhǔn)形式,試解不等式:,分析:當(dāng)且僅當(dāng)分子 與分母 同號 時, 上述不等式成立.,因此,或,不等式組(1)的解集是 , 不等式組(2)的解集是,所以,原不等式的解集為,試解不等式:,分析:當(dāng)且僅當(dāng)分子 與分母 同號時, 上述不等式成立,而兩個數(shù)的商與積同號. 因此,上述不等式可轉(zhuǎn)化為,所以,原不等式的解集為,整式不等式,解法比較,分類討論,轉(zhuǎn)化(化歸),不等式,繁,簡,需要解兩個不等式組,再取這兩個不等式組解集的并集,通過等價轉(zhuǎn)換,變成我們熟悉的、已經(jīng)
2、因式分解好了整式不等式C,?思考:不等式 的解,所以,原不等式的解集為,解:,分式不等式 分式不等式的等價變形:,0,f(x)g(x)0,,0,0,f(x)g(x)0,,0,同理有:,例:解不等式,所以原不等式的解集為:,?,求解分式不等式時每一步的變換必須都是等價變換!,解題小結(jié):,. 解分式不等式重要的是等價轉(zhuǎn)化,尤其是含“”或“”轉(zhuǎn)換。,練 一 練 :,一元高次不等式的解法,不等式最高次項的次數(shù)高于2時,這樣的不等式稱為高次不等式,探究:解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0,令y=(x-1)(x-2)(x-3),則y=0的三個根分別為1,2,3.如圖,在數(shù)軸上標(biāo)出3個實根,將數(shù)軸分為
3、四個區(qū)間,自右向左依次標(biāo)上“+”,“-”,圖中標(biāo)”+”號的區(qū)間即為不等式y(tǒng)0的解集.即不等式,(x-1)(x-2)(x-3)0的解集為x13.,+,+,-,-,總結(jié):此法為穿針引線法 .在解高次不等式與分式不等式中簡潔明了,可迅速得出不等式的解集.,用“穿針引線法”解簡單高次不等式的步驟: (1)整理。先將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式,即一端為0,另一端為一次(或二次)因式的積的形式。注意各因式中x的系數(shù)一定為正數(shù) (2)標(biāo)根。求出各因式的根,并在數(shù)軸上從小到大依次標(biāo)出。,(3)穿線。用一條曲線由右上方開始從右到左,從上到下依次穿過各根相應(yīng)的點,注意偶次重根穿而不過,奇次重根照樣穿過,即“奇穿偶不穿”。
4、,(4)寫解集。在數(shù)軸上方的曲線所對應(yīng)的區(qū)間是不等式 大于0 的解集;在數(shù)軸下方的曲線所對應(yīng)的區(qū)間是不等式 小于0 的解集,解:,以下過程同學(xué)來完成,原不等式的解集就是上面的兩個不等式組的解集的并集,不等式組(1)的解集是,不等式組(2)的解集是,由此可知,原不等式的解集是,由穿針引線法可得原不等式的解集為:,+,-1,1,2,3,-,+,+,-,o,o,o,o,.分式不等式等價變形后,如果是高次不等式,應(yīng)結(jié)合穿針 引線法求解!注意點:,解題小結(jié):,(1)x的系數(shù)必須是正數(shù);,(2)分清空實點;,(3)奇穿偶不穿。,練 一 練 :,解:,所以原不等式的解集為:,?,例:解關(guān)于x的不等式:,(1
5、)當(dāng)a2a,即:a1或a0時,解集為:x|axa2,(2)當(dāng)a2=a即:a=0或a=1時,解集為:,(3)當(dāng)a2a即:0a1時,解集為:x|a2xa,綜上:,(1) 當(dāng)a1或a0時, 原不等式解集為:x|axa2,(2)當(dāng)a=0或a=1時,原不等式解集為:,(3)當(dāng)0a1時, 原不等式解集為:x|a2xa,解:原不等式可變?yōu)椋海▁-a)(x-a2)0,練 一 練 :,解:,1o,原不等式解集為:,例4:解關(guān)于x的不等式:,例4:解關(guān)于x的不等式:,解:,2o,解集為:,解集為:,解集為:,綜上:(1)當(dāng)a1時,原不等式的解集為:,(2)當(dāng)0a1時,原不等式的解集為:,(3)當(dāng)a=0時,原不等式的解集為:,(4)當(dāng)a0時,原不等式解集為:,小結(jié): 本題對 a實施了兩次討論,第一次就“a1,a1” 分類討論,第二次在“a1”的前提下,又就與2的關(guān)系進(jìn)行分類討論。,解含字母的分式不等式: 必須分清對字母分類討論的依據(jù) 字母取不同范圍的數(shù)得到不同的解集都必須全部寫出來。,練 一 練 :,課堂小結(jié),1、主要的數(shù)學(xué)思想:,等價轉(zhuǎn)化、分類討論,2、分式不等式的主要類型及其等價轉(zhuǎn)化:,3、運用“穿針引線法”解分式不
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