三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法。重心：中、每條邊上所對應(yīng)的中線的交點；垂心：中、每條邊上所對應(yīng)的垂線上的交點；內(nèi)心：中、每個角的角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）；外心：中、每條邊上所對應(yīng)的中垂線的交點（外接圓的圓心）。1、 重心1、是的重心若是的重心，則故,為的重心.2、 P是ABC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心.證明： G是ABC的重心 ，即由此可得.（反之亦然（證略）3、已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則的軌跡一定通過的重心.例1 若 為內(nèi)一點， ，則 是 的（ ）A 內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心 2、

2、 垂心1、是的垂心若是(非直角三角形)的垂心，則故2、H是面內(nèi)任一點，點H是ABC的垂心.由,同理，.故是的垂心. （反之亦然（證略）3、是所在平面上一點，若，則是的垂心由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖1. 圖圖14、已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的垂心例2 P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心3、 內(nèi)心1、是的內(nèi)心的充要條件是ACBCCP引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才是的內(nèi)心的充要條件可以寫成2、是的內(nèi)心的充要條件也可以是。3、若是的內(nèi)心，則故或者;4、已知為所在平面上的一點，且

3、， 若，則是的內(nèi)心，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心，如圖。5、已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，則動點的軌跡一定通過的內(nèi)心由題意得，當(dāng)時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖。例3 平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心4、 外心1、是的外心,若O是的外心則故。2、 已知是所在平面上一點，若，則是的外心若，則，則是的外心，如圖1。圖2圖13、已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動

4、點滿足，則動點的軌跡一定通過的外心，如圖2。例4 若 為內(nèi)一點，則 是 的（ ）A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。例5 在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2。證明：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、

5、F分別為AB、BC、AC的中點，則有： 由題設(shè)可設(shè),AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三點共線，且例6若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.“歐拉定理”簡化：例7 設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .補(bǔ)充練習(xí)一：1已知是平面上不共線的三點，是的重心，動點P滿足= (+2),則點P一定為 （ ）A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的三等分

6、點（非重心）C.重心 D.AB邊的中點2 在同一個平面上有及一點滿足關(guān)系式：，則為的 （）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2 已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：，則P為的 ( ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：，則P點為三角形的 （ ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P點為三角形的 （） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6在三

7、角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過ABC的： （ ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量與滿足， 則為A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形8. 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m = 。9.點O是所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點是的（）A 三個內(nèi)角的角平分線的交點B 三條邊的垂直平分線的點C 三條中線的交點D 三條高的交點10. 已知點G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，則。 證 點G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三點共線（A不在直線MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。

8、補(bǔ)充練習(xí)二：1、已知O是ABC內(nèi)的一點，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心2、在ABC中，有命題；若，則ABC為等腰三角形；若，則為銳角三角形，上述命題中正確的是 A、 B、 C、 D、3、已知ABC中，有和,試判斷ABC的形狀。4、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，試判斷ABC的形狀。5、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心6、已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心7、已知O為平面內(nèi)一點，A、B、C平面上不共線的三點，動點P滿足，則動點P

9、 的軌跡一定通過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心8、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心9、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點，動點P滿足，則動點P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心10、已知點G是的重心，過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點，且，求證：補(bǔ)充練習(xí)三：1、已知O是ABC內(nèi)的一點，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心2、若ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則等于 A、 B、0 C、1 D、3、已知O是ABC所在平面上的一點，A、B、C、所對的過分別是a、b、c若，則O是ABC