點(diǎn)線面關(guān)系知識總結(jié)和例題

1、點(diǎn)線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)l 知識梳理一、直線與平面平行1.判定方法（1）定義法：直線與平面無公共點(diǎn)。（2）判定定理：（3）其他方法： 2.性質(zhì)定理： 二、平面與平面平行1.判定方法（1）定義法：兩平面無公共點(diǎn)。（2）判定定理： （3）其他方法： ; 2.性質(zhì)定理：三、直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。（2）判定方法 用定義. 判定定理: 推論: （3）性質(zhì) 四、平面與平面垂直（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。（2）判定定理 （3）性質(zhì)性質(zhì)定理 l “轉(zhuǎn)化思想”面面平行 線面平行 線線平行面

2、面垂直 線面垂直 線線垂直l 求二面角1.找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩半平面內(nèi)分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角的平面角1如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE和BDC為面的二面角的度數(shù)。l 求線面夾角定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角

3、。1：在棱長都為1的正三棱錐SABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是_2：在正方體ABCDA1B1C1D1中，BC1與平面AB1所成的角的大小是_；BD1與平面AB1所成的角的大小是_；CC1與平面BC1D所成的角的大小是_； BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是_； BD1與平面BC1D所成的角的大小是_；3：已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60，試求OA與平面BOC所成的角的大小l 求線線距離說明：求異面直線距離的方法有：(1)（直接法）當(dāng)公垂線段能直接作出時，直接求此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵(2)（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面

4、距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，則與距離就是、距離（線面轉(zhuǎn)化法）也可以轉(zhuǎn)化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離（面面轉(zhuǎn)化法）(3)（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求(4)（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學(xué)有余力的同學(xué)探求1：在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離。l 線面平行（包括線面距離）1：已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn)，且，為上的高，、分別是、的中點(diǎn)，試判

5、斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明l 面面平行（包括面面距離）1：已知正方體 ，求證2：在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離l 面面垂直1：已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。 2：已知直線PA垂直于O所在的平面，A為垂足，AB為O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC。 參考答案l 求二面角分析:找二面角的平面角,有一種方法是找出垂直于棱的平面與二面角的兩個面相交的兩條交線,它們所成的角就是二面角的平面角. 解：在RtSAC中，SA=1，SC=2，ECA=30，在RtDEC中，DEC=90， EDC=60， 所求的二面角

6、為60。l 求線線距離解法1：（直接法）如圖：取的中點(diǎn)，連結(jié)、分別交、于、兩點(diǎn)，易證：，為異面直線與的公垂線段，易證：小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解但通常尋找公垂線段時，難度較大解法2：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面，與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長為所求距離，小結(jié)：這種解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離解法3：（轉(zhuǎn)化法）如圖：平面平面，與的距離等于平面與平面的距離平面，且被平面和平面三等分；所求距離為小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離解法4：（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，設(shè)，則，且則，故的最小值，即與的距離等于小結(jié)：這種解法是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知量

7、，構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)，通過求這個函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離解法5：（體積橋法）如圖：當(dāng)求與的距離轉(zhuǎn)化為求與平面的距離后，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即與的距離等于小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之這種方法在后面將要學(xué)到l 線面平行例：分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結(jié)論成立，只需證明與平面內(nèi)的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結(jié)與相交于，連結(jié)，就是適合題意的直線怎樣證明？只需證明是的中點(diǎn)證法1：連結(jié)交于點(diǎn)，是的中位線，在中，是的中點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)是的中位線，又平面，平面，平面分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設(shè)直接推出證法2：為的中位線，平面，平面，平面同理：平面，平面平面，又平面，平面l 面面平行例一：證明：為正方體， 又 平面，故平面同理平面又， 平面平面例二：根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證：