高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題46《 多變量表達(dá)式范圍——消元法》講義

1、微專(zhuān)題46 多變量表達(dá)式的范圍消元法一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、消元的目的：若表達(dá)式所含變量個(gè)數(shù)較多，則表達(dá)式的范圍不易確定（會(huì)受多個(gè)變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式，則通常利用條件減少變量的個(gè)數(shù)，從而有利于求表達(dá)式的范圍（或最值），消元最理想的狀態(tài)是將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)求得值域2、常見(jiàn)消元的方法：（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)： 要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍（即稱(chēng)為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜） 若被消去

2、的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。例如選擇為主元，且有，則除了滿足自身的范圍外，還要滿足（即解不等式）（2）換元：常見(jiàn)的換元有兩種：整體換元：若多元表達(dá)式可通過(guò)變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體，則可通過(guò)換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，常見(jiàn)的如等，例如在中，可變形為，設(shè)，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的值域問(wèn)題注：在整體換元過(guò)程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來(lái)求得范圍。因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問(wèn)題，常見(jiàn)的三角換元有：平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于

3、1，從而有：推廣：平方差：聯(lián)想到正割（） 與正切（）的平方差為1，則有，推廣：注：若有限定范圍時(shí)，要注意對(duì)取值的影響，一般地，若的取值范圍僅僅以象限為界，則可用對(duì)應(yīng)象限角的取值刻畫(huà)的范圍3、消元后一元表達(dá)式的范圍求法：（1）函數(shù)的值域通過(guò)常見(jiàn)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值域（2）均值不等式：若表達(dá)式可構(gòu)造出具備使用均值不等式（等）的條件，則可利用均值不等式快速得到最值。（3）三角函數(shù)： 形如的形式：則可利用公式轉(zhuǎn)化為的形式解得值域（或最值） 形如：則可通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行求解 形如：，可聯(lián)想到此式為點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，其中為單位圓上的點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍二

4、、典型例題：例1：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_思路：考慮可用進(jìn)行表示，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)，再利用不等式組中天然成立的大小關(guān)系確定的范圍，再求出函數(shù)值域即可解： 由及（*）可得：，解得： 小煉有話說(shuō)：（*）為均值不等式的變形： 例2：已知函數(shù)，對(duì)任意的，存在，使得，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：由已知，可得：，考慮進(jìn)行代入消元，但所給等式中無(wú)論用哪個(gè)字母表示另一個(gè)字母，形式都比較復(fù)雜不利于求出最值。所以可以考慮引入新變量作為橋梁，分別表示，進(jìn)而將變?yōu)殛P(guān)于的表達(dá)式再求最值。解：令 ，設(shè)可得且為增函數(shù) 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增答案：D例3：設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為

5、思路：首先要通過(guò)取得最小值，得到之間的關(guān)系，然后將所求表達(dá)式進(jìn)行消元，再求最值即可。解： 等號(hào)成立條件為：，代入到可得： 的最大值為2例4：已知，且，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 思路：所求表達(dá)式為，考慮消元，由已知可得，從而，達(dá)到消元效果，所求表達(dá)式為，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。先確定的取值范圍，由可得，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，答案：A小煉有話說(shuō)：（1）本題處理的關(guān)鍵在于選擇作為核心變量，這是因?yàn)樵跅l件中可得到，從而可用表示，使得消元變得可能（2）在處理的最值時(shí)，也許會(huì)想到均值不等式：，但看一下等號(hào)成立條件：并不滿足，故等號(hào)不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。轉(zhuǎn)而使用二次函數(shù)

6、求得最值。例5：已知，則的最大值為_(kāi)解： 設(shè) ，其中 可知當(dāng)時(shí)，答案： 例6：若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_思路一：考慮所求式子中可變?yōu)椋栽阶冃螢椋?，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設(shè)，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對(duì)值小于漸近線的斜率，即，則思路二：本題也可以考慮利用三角換元。設(shè)，從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為答案：例7：已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的取值范圍是_解： 為方程的兩個(gè)根 代入 可得： 設(shè) 設(shè) 在單調(diào)遞減 即答案： 例8：對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足且使最大時(shí)，的最小值是_思路：首先要尋找當(dāng)最大時(shí)，之間的關(guān)系，以便于求多元表達(dá)式的范圍從方程入手，向靠攏進(jìn)行變形，在

7、利用取得最大值時(shí)的關(guān)系對(duì)所求進(jìn)行消元求最值。解：由可得： （等號(hào)成立條件： 最大值是，從而可得：解得：答案：的最小值為例9：已知函數(shù)，其中且（1）若，求函數(shù)的極值（2）已知，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍解：（1）由已知可得： 令，即解不等式 解得：或 的單調(diào)區(qū)間為：的極大值為 的極小值為 （2）由已知可得：即 設(shè) 可得當(dāng)時(shí)，恒成立在單調(diào)遞增，即 例10：已知函數(shù)，其中（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）若，且存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立，求的最大值解：（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減（2）思路：恒成立的不等式為：，即，設(shè)，可得：，從而通過(guò)討論的符號(hào)確定的單調(diào)性，進(jìn)而求出的最小值