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文檔簡介
1、隨機信號的功率譜估計方法數(shù)字信號處理()實驗三隨機信號的功率譜估計方法班級:碩1081班姓名:呂海洋學(xué)號:31113130191 實驗?zāi)康?利用自相關(guān)函數(shù)法和周期圖法實現(xiàn)隨機信號的功率譜估計。2觀察數(shù)據(jù)長度、自相關(guān)序列長度、信噪比、窗函數(shù)、平均次數(shù)等對譜估計的分辨率、穩(wěn)定性、主瓣寬度和旁瓣效應(yīng)的影響。3學(xué)習(xí)使用FFT 提高譜估計的運算速度。4體會線性譜估計方法的優(yōu)缺點。2 實驗原理與方法2.1 自相關(guān)函數(shù)法假設(shè)我們已知隨機信號的長的自相關(guān)序列,利用自相關(guān)函數(shù)法可以得到的功率譜估計: (3-4)利用窗函數(shù),上式又可表達為 (3-5)其中,為矩形窗函數(shù),定義為 (3-6)因此,實際上是真正功率譜與
2、窗函數(shù)傅立葉變換的卷積。矩形窗函數(shù)不僅降低了譜估計的分辨率,而且使譜估計產(chǎn)生了旁瓣。為了降低旁瓣影響,可以采用具有較小旁瓣的窗函數(shù),如Hamming 窗,它定義為: (3-7)這種窗函數(shù)可以有效的抑制旁瓣,但是,此時主瓣寬度增大,從而降低了譜估計的分辨率,這種主瓣和旁瓣之間的矛盾在線性譜估計方法中是無法解決的。2.2 周期圖方法假設(shè)已知隨機信號的個樣本,利用周期圖方法,信號的功率譜估計為 (3-8)利用上述方法得到的譜估計方差與信號的功率譜平方成正比,為了減小它的方差,可以將信號序列進行分段處理,然后再求各分段結(jié)果的平均,這就是平均周期圖方法,即Bartlett方法。(1)Bartlett平均
3、周期圖方法將一個隨機序列分成段,每段長度為,各段之間互不重迭,因而,可以想到,第i段的信號序列可表示為 (3-9)對于每一段的周期圖又可寫成 (3-10)于是,功率譜估計定義為 (3-11)因此,對于固定的記錄長度來講,分段數(shù)增大可使譜估計的方差減小,但是由于L的減小,相應(yīng)的功率譜主瓣增寬,譜分辨率降低,顯然,方差和分辨率也是矛盾的。除了分辨率降低以外,分段處理還會引起序列的長度有限所帶來的旁瓣效應(yīng)。為減小這種影響,最有效的辦法是給分段序列用適當?shù)拇昂瘮?shù)加權(quán),可以得到較平滑的譜估計,當然,相應(yīng)的分辨率也有所下降。(2)平滑平均周期圖方法這時一種改進的Bartlett周期圖方法,它特別適用于FF
4、T直接計算功率譜估值。將長度為N 的平穩(wěn)隨機信號序列x(n)分成K段,每段長度為L,即L=N/K。但這里在計算周期圖之前,先用窗函數(shù)給每段序列加權(quán),K個修正的周期圖定義為 (3-12)其中表示窗函數(shù)序列的能量, (3-13)在這種情況下,功率譜估計可按下面表達式給出: (3-14)本實驗主要是利用自相關(guān)函數(shù)法和周期圖方法對下面受噪聲干擾的正弦信號進行譜估計: (3-15)其中為正弦個數(shù),,和分別為第i個正弦信號的數(shù)字頻率、相位和幅度,隨機的分布在之間,為零均值方差等于的復(fù)高斯白噪聲。3 實驗內(nèi)容及步驟1 仔細閱讀有關(guān)線性譜估計的內(nèi)容,按照圖3.1給出的框圖編制自相關(guān)函數(shù)法譜估計程序。運行程序,
5、輸入,選擇矩形窗。觀察譜峰位置是否正確(注意:由于窗效應(yīng)可能引起譜估計的非正定)。如圖3.1所示,譜峰位置大約為,誤差范圍內(nèi)是精確的。圖3.1 M=10,矩形窗功率譜估計的譜峰位置2 觀察并記錄參數(shù)變化對譜估計性能的影響。(1) 改變,其他輸入同步驟1,觀察功率譜估計的主瓣寬度和旁瓣大小隨自相關(guān)序列長度的變化情況。圖3.2 M=5,矩形窗功率譜估計的譜峰位置從圖3.2可以看出,自相關(guān)序列長度M減小時,會引起主瓣和旁瓣寬度增大,主瓣幅度下降,分辨率下降,旁瓣震蕩減弱,旁瓣個數(shù)減少。(2) 選擇窗函數(shù)為Hamming窗,其他輸入同步驟1,觀察不同窗函數(shù)對譜估計性能影響。圖3.3 M=10,Hamm
6、ing窗功率譜估計的譜峰位置圖3.4 M=10,hamming窗和矩形窗功率譜估計對比從圖3.3和3.4可以看出,與矩形窗相比,加 Hamming 窗,主瓣寬度增加一倍,分辨率降低,但旁瓣大大得到抑制??梢?,改變或者優(yōu)化窗的形式,也就是使得窗更加光滑,可以降低旁瓣,但這往往是以加寬主瓣為代價。(3) 改變 ,其它輸入同步驟1,觀察初始相位的變化對譜估計性能的影響。圖3.5 M=10,相位變化時矩形窗功率譜估計對比由圖3.5可以看出,改變初始相位對譜估計沒有影響。這是因為,在沒有噪聲的情況下,共軛運算就消除了初始相位對譜估計的影響。而在有噪聲的情況下,初始相位的選擇會對譜估計產(chǎn)生影響。(4) 改
7、變 ,其它輸入同步驟 1,觀察信噪比變化對譜估計性能的影響。圖3.6 M=10,加噪聲矩形窗功率譜估計對比從上圖可以看出,增加噪聲功率,降低信噪比,使得譜估計過程中旁瓣的震蕩幅度增加,但是可以看到噪聲對于信號的功率譜估計的影響不大。(5) 改變 N=10, 其它輸入同步驟 1,結(jié)合(4)的內(nèi)容,觀察數(shù)據(jù)長度及信噪比對譜估計性能的影響。圖3.7 數(shù)據(jù)長度對矩形窗功率譜估計的影響從上圖可以看出,數(shù)據(jù)長度變小,譜估計的性能下降,這是由于較短的數(shù)據(jù)長度,在求自相關(guān)的時候,m接近N-1的幾個點處,可用數(shù)據(jù)點過少,最后僅剩一個點,會導(dǎo)致求出的自相關(guān)不準確,大大影響了功率譜的估計。另一方面,噪聲方差不為零,
8、降低了信噪比,估計性能也隨之受到影響。但是,可以看到即使噪聲方差不為零,但只要數(shù)據(jù)的長度較長,仍能獲得較為滿意的功率譜估計結(jié)果,主瓣和旁瓣之間的差異明顯,旁瓣沒有影響到譜峰數(shù)目及位置的確定;而數(shù)據(jù)長度過短的時候,這一點就不能保證,可以看到,會出現(xiàn)多個峰值,甚至噪聲的譜峰高過了有用信號的譜峰。3 運行程序,輸入,選擇矩形窗,調(diào)整自相關(guān)序列長度M,使得兩個正弦頻率分量臨界分辨出來,記錄此時M值,并繪出功率譜圖。同樣,在加Hamming窗的情況下,記錄使兩個正弦頻率分量臨界分開的M值,并繪出此時的功率譜圖。(1) 矩形窗:圖3.8 M=7、8的矩形窗功率譜估計矩形窗條件下,從圖中可以看出,隨著窗長的
9、增加,頻譜的分辨率越高,兩個主瓣越明顯,旁瓣的震蕩頻率越高,可以使兩個正弦頻率分量臨界分辨出來的M 值為M=8。(2) Hamming窗圖3.9 M=9、10的Hamming窗功率譜估計Hamming窗條件下,從圖中可以看出,隨著窗長的增加,頻譜的分辨率越高,兩個主瓣越明顯,旁瓣的震蕩頻率越高,M=9的時候只有非常微弱的峰值,而可以使兩個正弦頻率分量臨界清晰分辨出來的M值為M=10。4 運行自相關(guān)函數(shù)法譜估計程序,輸入,選擇矩形窗,觀察利用自相關(guān)函數(shù)法得到白噪聲信號譜估計。改變 M=3,20,觀察M的變化對白噪聲譜估計的影響。圖3.10 M對白噪聲矩形窗功率譜估計的影響從圖3.10可以看出,窗
10、寬越寬,白噪聲功率譜震蕩越明顯,這是因為,矩形窗函數(shù)的傅里葉變換為sinc函數(shù),在時域窗寬越寬,頻域分辨率就越高,即sinc主瓣越窄,和噪聲的功率譜做卷積后,就能夠使噪聲的每個頻點的功率譜幅值越精確,體現(xiàn)出其隨機性越明顯。5 根據(jù)圖 3.1 給出的框圖,編制周期圖法譜估計程序,子程序 FFT 可以直接調(diào)用Matlab中的函數(shù)。運行程序,選擇窗函數(shù)為矩形窗,輸入 ,觀察譜峰位置是否正確,并與步驟1結(jié)果比較。從下圖中可以看出,與利用矩形窗的自相關(guān)函數(shù)法相比,周期圖法主瓣幅度比較低,并且主瓣分辨率也相對較差,但是周期圖法具有旁瓣能量小,振蕩小的優(yōu)點,所以周期圖法更為穩(wěn)定。圖3.11 不同方法功率譜估
11、計的比較6利用周期圖法重復(fù)2,3,4 的內(nèi)容,這里相當于自相關(guān)函數(shù)法中的,觀察周期圖法譜估計和自相關(guān)函數(shù)法譜估計在分辨率和穩(wěn)定性方面的差別。(1) 改變 L=5,其它輸入同步驟 5,觀察功率譜估計的主瓣寬度和旁瓣大小隨序列分段長度的變化情況。圖3.11 不同M對周期圖法功率譜估計的影響從上圖中可以看出,分段長度的減小使得主瓣的幅度下降,并且變寬,從而使得分辨率下降,但是同時旁瓣的振蕩減小。(2) 選擇窗函數(shù)為Hamming窗,其他輸入同步驟5,觀察不同窗函數(shù)對譜估計性能影響。圖3.12 不同窗函數(shù)對周期圖法功率譜估計的影響從圖中可以看到,加hamming窗后主瓣幅度下降,寬度變寬,分辨率下降,
12、但是對旁瓣的抑制有所改進。(3) 改變,其它輸入同步驟5,觀察初始相位的變化對譜估計性能的影響。由下圖可見,初始相位的變化對譜估計性能并沒有影響。,噪聲為0時,對做FFT,取模,所以消除了相位影響。圖3.13 信號相位對周期圖法功率譜估計的影響(4) 改變 ,其它輸入同步驟5,觀察信噪比變化對譜估計性能的影響。圖3.14 信噪比對周期圖法功率譜估計的影響從圖3.14可以看出,增加噪聲功率,降低信噪比,主瓣的幅度變大,這是因為疊加上了噪聲功率。在噪聲的影響下,其峰值稍有所偏移,譜估計產(chǎn)生了一定的誤差。(5) 改變 N=10, 其它輸入同步驟 1,結(jié)合(4)的內(nèi)容,觀察數(shù)據(jù)長度及信噪比對譜估計性能
13、的影響。圖3.14 數(shù)據(jù)長度及信噪比對周期圖法功率譜估計的影響從上圖可以看出,數(shù)據(jù)長度變小,譜估計的性能主要是對譜峰位置估計有影響,而對于譜的分辨率和振蕩性影響不大,這是因為周期圖法每段數(shù)據(jù)都使用了L=10點數(shù)據(jù)做FFT,保證了每一段數(shù)據(jù)的功率譜估計都是較為準確的。(6) 運行程序,輸入,選擇矩形窗,調(diào)整L,使得兩個正弦頻率分量臨界分辨出來,記錄此時L值,并繪出功率譜圖。同樣,在加Hamming窗的情況下,記錄使兩個正弦頻率分量臨界分開的L值,并繪出此時的功率譜圖。1)矩形窗:圖3.15 L=8、9的矩形窗周期圖法功率譜估計矩形窗條件下,從圖中可以看出,隨著窗長的增加,頻譜的分辨率越高,兩個主
14、瓣越明顯,旁瓣的震蕩頻率越高,可以使兩個正弦頻率分量臨界分辨出來的L 值為L=9。2)Hamming窗:圖3.16 L=9、10的Hamming窗周期圖法功率譜估計Hamming窗條件下,從圖中可以看出,隨著窗長的增加,頻譜的分辨率越高,兩個主瓣越明顯,旁瓣的震蕩頻率越高,可以使兩個正弦頻率分量臨界清晰分辨出來的L值為L=10。(7) 輸入,選擇矩形窗,運行周期圖方法譜估計程序。改變 L=3,20,觀察L的變化對白噪聲譜估計的影響。圖3.17 L的變化對周期圖法白噪聲譜估計的影響從圖3.10可以看出,窗寬越寬,白噪聲功率譜震蕩越明顯,這是因為,矩形窗函數(shù)的傅里葉變換為sinc函數(shù),在時域窗寬越
15、寬,頻域分辨率就越高,即sinc主瓣越窄,和噪聲的功率譜做卷積后,就能夠使噪聲的每個頻點的功率譜幅值越精確,體現(xiàn)出其隨機性越明顯。4 思考題1、證明式(34)可以表示為其中表示取實部。證明:為實信號,2、 證明:由于是實信號所以以及把帶入上式得 其中,為矩形窗。令 則 5 主要實驗結(jié)論本次實驗使用了兩種經(jīng)典的方法進行信號的功率譜估計,兩種方法各有優(yōu)缺點,對比如下。1、 自相關(guān)函數(shù)法分辨率相對較高,但是隨著相關(guān)函數(shù)序列長度的減小,主瓣幅度下降,分辨率下降,但是旁瓣振蕩減弱,旁瓣個數(shù)減少。在數(shù)據(jù)長度明顯減少時,特別是在N與M接近的時候,自相關(guān)函數(shù)的兩邊序列的樣本數(shù)很少,估計很不準確,在有噪聲干擾的
16、情形下,基本上很難有效估計出功率譜峰位置,因此,穩(wěn)定性較差。2、 周期圖法主瓣幅度比較低,并且主瓣分辨率也相對較差,與自相關(guān)函數(shù)法相似,在L值(與自相關(guān)函數(shù)法M相對應(yīng))減小的時候,周期圖法的譜估計主瓣變寬,分辨率下降。但是周期圖法具有旁瓣能量小,振蕩小的優(yōu)點,特別是在數(shù)據(jù)長度N明顯減小的時候,即便有噪聲的影響,依然能夠較為有效地估計出功率譜峰的位置,并且不會因為噪聲的影響而錯誤的產(chǎn)生出有效信號中本來沒有的譜線,而自相關(guān)函數(shù)法則不具備這一優(yōu)點,因此相比較而言,周期圖法更有較好的穩(wěn)定性。3、 優(yōu)化加窗用的窗函數(shù),或者改進的平滑平均周期圖法都是利用較為光滑的窗函數(shù)代替矩形窗,減小了截斷產(chǎn)生的吉布斯效
17、應(yīng)帶來的振蕩性,有效抑制旁瓣,但需要看到,抑制旁瓣的結(jié)果是以主瓣加寬分辨率下降為代價的,因此,在需要對功率譜譜線位置精確估計時,還是希望主瓣越窄越好,因此,使用窗函數(shù)時可以輔以增加自相關(guān)序列長度(或者周期圖方法中的增大L值),當然,性能的提高也意味著計算開銷的增大。6 附錄(主要源程序)6.1 自相關(guān)函數(shù)法clear allclcN=100;M=10;Ns=1; a1=1;omiga1=0.6*pi;phi1=0; a2=1;omiga2=0.8*pi;phi2=0; a=a1 a2;omiga=omiga1 omiga2;phi=phi1 phi2; sigma_2=0;% variance
18、 of the noise %generate the signals=zeros(1,N);for n=1:N for i=1:Ns s(n)=s(n)+a(i)*exp(1i*(omiga(i)*(n-1)+phi(i); endendw=sqrt(sigma_2)*randn(1,N)+1i*sqrt(sigma_2)*randn(1,N);% complex gauss white noisex=s+w;% compute the Autocorrelation function% rectangular windowc,lags=xcorr(x,M-1,unbiased) % Add
19、 rectangular window whose half length is M% Add Hamming window whose half length is MW_Haming = hamming(2*M-1);c_Hamming=c.*W_Haming.;% half of Autocorrelation functionc1=c(M:M+M-1);c1_Hamming=c_Hamming(M:M+M-1);% compute the PSDx_omiga=0:2*pi/128:2*pi*127/128;P_Rect1=zeros(1,128);P_Hamming1=zeros(1
20、,128);for kk=1:1:128 for m=-M+1:1:M-1 P_Rect1(kk)=P_Rect1(kk)+c(m+M)*exp(-1i*x_omiga(kk)*m); P_Hamming1(kk)=P_Hamming1(kk)+c_Hamming(m+M)*exp(-1i*x_omiga(kk)*m); endend% P_Rect1=2*real(fft(c1,128)-c1(1)% P_Hamming1=2*real(fft(c1_Hamming,128)-c1_Hamming(1)6.2 周期圖法clear allclc% input parameters:N=100;L=3;K=floor(N/L);Ns=0;a1=1;omiga1=0.6*pi;phi1=0; a2=1;omiga2=0.8*pi;phi2=0; a=a1 a2;omiga=omiga1 omiga2;phi=p
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