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1、第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程1 基本概念定義1:已給s.p,若,即T中任意的與,維r.v與有相同的維d.f。即 則稱s.p是一個(gè)嚴(yán)(強(qiáng),狹義)平穩(wěn)過程。當(dāng)維d.l時(shí),則有若取=1,則有,特別,當(dāng),可取則有。此時(shí)平穩(wěn)過程的一維d.l與(時(shí)間)無關(guān)。于是即的均值是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。其方差 也與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)。 而且的二維d.l也只依賴于即當(dāng)時(shí),有所以與之間自相關(guān)為它只依賴于類似地之間協(xié)方差為 并且 一般來說,實(shí)際應(yīng)用中的s.p是很難達(dá)到如此嚴(yán)平穩(wěn)的要求的,故而求其次,即有如下的定義2:已給s.p若且滿足1(常數(shù))(又記)2 (又記)則稱是一個(gè)寬(弱、廣義)平穩(wěn)s.p.簡(jiǎn)稱為平穩(wěn)s.p。當(dāng)取復(fù)值時(shí),
2、則稱復(fù)平穩(wěn)s.p.定義3:已給兩平穩(wěn)s.p ,若滿足則稱是聯(lián)合平穩(wěn)的或平穩(wěn)相關(guān)的。例1例3見書上,當(dāng)T取離散值時(shí),稱平穩(wěn)序列。例4:已給s.p,其中為常數(shù),r.v,試證是平穩(wěn)s.p.事實(shí)上,顯然。 (或)=0.及 故由定義2知是一個(gè)平穩(wěn)s.p. 2 各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)先令給二階矩s.p.在T上均方積分定義,考察a,b上一組分劃 記若存在一個(gè)r.v 使即 則稱在a,b上均方可積,并記理論上已證明:二階矩s.p在T=a,b上均方可積的充分條件是 并且 再引入時(shí)間均值與時(shí)間相關(guān)函數(shù)。時(shí)間均值定義為 是r.v時(shí)間相關(guān)定義為 是r.v 先看一例例1見書。 定義:設(shè)是平穩(wěn)s.p1若則稱的均值具有多態(tài)歷經(jīng)
3、性。2若實(shí)數(shù)有 則稱的自相關(guān)函數(shù)具有多態(tài)歷經(jīng)性。若稱得均方值具有多態(tài)歷經(jīng)性。3當(dāng)?shù)木蹬c相關(guān)函數(shù)都具有多態(tài)歷經(jīng)性時(shí),則稱是多態(tài)歷經(jīng)的(又稱遍歷或ergodicity).Th1. 平穩(wěn)s.p的均值具有多態(tài)歷經(jīng)性 想法(思路)。任一r.v ,現(xiàn)在故 (*)證:先求再求 下面計(jì)算 令, 則,從而 代入(*)式即得證明。推論:若極限,則均值具有各態(tài)歷經(jīng)性,極限均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性。定理2:平穩(wěn)s.p相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性, 而 。定理3:平穩(wěn)s.p, 。定理4:s.p(平穩(wěn)), 。3 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)和是平穩(wěn)相關(guān)的s.p。即有:, ,它們具有性質(zhì):12,即是的偶函數(shù). .3由許瓦茲不等式知: 同理有:
4、 稱 和 各為標(biāo)準(zhǔn)自協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù),故有,. 由第4章3知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),與互不相關(guān).4是非負(fù)定的,即中及實(shí)函數(shù)有: 反之,理論上已證明:若是連續(xù)的非負(fù)定函數(shù),則它必定是某平穩(wěn)s.p的自相關(guān)。5若平穩(wěn)s.p滿足條件即稱是周期為的平穩(wěn)s.p. 平穩(wěn),故,利用r.v ,.于是由許瓦茲不等式就有即此時(shí)周期平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)也是周期為的函數(shù)。 4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(一) 平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度回憶,設(shè)普通函數(shù)滿足(能量有限),則有Fourier變換Parseval公式為,作截尾函數(shù)此時(shí),故對(duì)有F變換。 此時(shí),Parseval公式為 等式兩邊乘以,就有令如極限存在,得到,稱,為x(
5、t)的平均功率譜密度。 接著考察平穩(wěn)隨機(jī)過程,則有,稱故有(二) 譜密度性質(zhì):也是w的實(shí)非負(fù)偶函數(shù)。事實(shí)上 令 完全與2一樣. ()例1. 2見書書上表12.1 例2 所以沖激函數(shù)的性質(zhì):若f(t)在處連續(xù),則 及例3 白噪聲:設(shè)X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程且EX(t)=0,則稱X(t)是白噪聲。此時(shí)若平穩(wěn)過程功率譜密度為則稱是帶限(低通)白噪聲,此時(shí),(三)互譜密度及其性質(zhì):設(shè)X(t),Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的,定義為X(t),Y(t)的互譜密度,例1 設(shè)是實(shí)正交增量隨機(jī)過程EY(t)=0,求X(t)自相關(guān)函數(shù),討論其平穩(wěn)性,若平穩(wěn),求功率譜密度。解:由題設(shè)知與t無關(guān),因此X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程,并且
6、功率譜密度為例2 設(shè)是n個(gè)實(shí)隨機(jī)變量,是n個(gè)實(shí)數(shù),試問之間應(yīng)滿足什么條件才能使是一個(gè)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程。解:由平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義,首先要求而與t 無關(guān),只有令=0,或其次,要求僅依賴于s-t,只要令此時(shí),有由上可見,當(dāng)時(shí)X(t)成為一個(gè)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程。例3,設(shè)是均值為零的平穩(wěn)序列,試證仍是一平穩(wěn)序列,其中A,B為常數(shù),m為一正整數(shù)。證:因?yàn)?僅依賴于L而與n無關(guān),故由定義知為平穩(wěn)序列。例4設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的平穩(wěn)過程,試證也是平穩(wěn)過程。證:(常數(shù))又由的相互獨(dú)立,平穩(wěn)性,就有=僅依賴于而與t無關(guān),故由定義知為平穩(wěn)過程。例5 設(shè)是兩平穩(wěn)相關(guān)過程,且有試證:的譜密度為試用他們及的互譜密度表示的譜密度。解:因?yàn)?由此知X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程,且習(xí)題6,則因=
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