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1、第 4 1),數(shù)字信號(hào)處理,第4章 快速傅里葉變換,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法(Cooley-Tukey算法) 按頻率抽選的基-2FFT算法(Sande-Tukey算法) 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.1 引言,注意:FFT不是一種新的變換,是DFT的一種快速算法。,1. DFT在時(shí)域和頻域都是離散的,可以采用計(jì)算機(jī)運(yùn)算;,2. 直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量很大,即使采用計(jì)算機(jī)運(yùn)算,也 不能解決實(shí)時(shí)性問題,影響其實(shí)際應(yīng)用;,3. 1965年首次提出了DFT運(yùn)算的一種快速算法,并發(fā)展和形成了一套高速有效的運(yùn)算方法, 統(tǒng)稱為快速傅里葉變換的算法。 (FFT-
2、Fast Fourier Transform),第4章 快速傅里葉變換,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法(Cooley-Tukey算法) 按頻率抽選的基-2FFT算法(Sande-Tukey算法) 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.2 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)的途徑,4.2.1 DFT的運(yùn)算量,設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,二者的差別: 1) WN的指數(shù)符號(hào)不同,2) 差一個(gè)常數(shù)乘因子1/N, IDFT與DFT具有相同的運(yùn)算量, 可以只討論DFT的運(yùn)算量。,x (n)、WNnk 、 X(k)是復(fù)數(shù),,完成整個(gè)DFT運(yùn)算共需要:N 2次復(fù)數(shù)乘法 N(N-1)次
3、復(fù)數(shù)加法。,X (k)共有N個(gè)值 (k=0,1,N-1),每計(jì)算一個(gè)X(k)值,需要:N次復(fù)數(shù)乘法 N-1次復(fù)數(shù)加法。,一次復(fù)數(shù)乘法:4次實(shí)數(shù)乘法 2次實(shí)數(shù)加法,復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)際上是由實(shí)數(shù)運(yùn)算來完成的,可將DFT運(yùn)算式寫成,一次復(fù)數(shù)加法:2次實(shí)數(shù)加法,整個(gè)DFT運(yùn)算共需要:,一個(gè)X(k)值:N次復(fù)數(shù)乘法 N-1次復(fù)數(shù)加法,每計(jì)算一個(gè)X(k)需要:4N 次 實(shí)數(shù)乘法 2N+2(N-1)=2(2N-1)次 實(shí)數(shù)加法,一次復(fù)乘:4次實(shí)數(shù)乘法 2次實(shí)數(shù)加法 一次復(fù)加:2次實(shí)數(shù)加法,2N (2N-1)次實(shí)數(shù)加法,4N 2次實(shí)數(shù)乘法,(N個(gè)X(k)值 ),N 2次復(fù)數(shù)乘法,N (N-1)次復(fù)數(shù)加法,上述統(tǒng)計(jì)與
4、實(shí)際需要的運(yùn)算次數(shù)稍有出入,,因此,直接計(jì)算DFT,乘法次數(shù)和加法次數(shù)都和N 2成正比, 當(dāng) N 很大時(shí),運(yùn)算量很可觀。,某些WNnk可能是1或 j,如W 0N=1,WN= -1,WNN/4= -j等,為了便于比較, 一般不考慮特殊情況,而是把WNnk都看成復(fù)數(shù),當(dāng)N 很大時(shí),這種特例的影響很小。,解: 直接計(jì)算DFT復(fù)乘次數(shù)(N )2=(10241024)2 1012次, 用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī),需要近3000小時(shí)。,例:對(duì)10241024點(diǎn)的二維圖像做DFT變換,計(jì)算機(jī)每秒可做 10萬次復(fù)數(shù)乘法,需要多少時(shí)間? (忽略加法運(yùn)算時(shí)間),對(duì)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理,改進(jìn)方法: 1)提高
5、計(jì)算速度(這樣,對(duì)計(jì)算速度要求太高了); 2) 改進(jìn)DFT的計(jì)算方法,以大大減少運(yùn)算次數(shù)。,4.2.2 減少運(yùn)算量的途徑,DFT運(yùn)算,利用系數(shù)Wnk的固有特性,可減少運(yùn)算量:,能否減少運(yùn)算量,以縮短計(jì)算時(shí)間呢?,(3) WNnk的可約性,另外,快速傅里葉變換算法的基本思想,使DFT分解為更少點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算,DFT的運(yùn)算量與 N 2 成正比,N 越小DFT的運(yùn)算量越小。,在DFT運(yùn)算中合并某些項(xiàng),,FFT算法基本上可以分成兩大類, 按時(shí)間抽選法 (DIT ,Decimation-In-Time) 按頻率抽選法 (DIF, Decimation-In-Frequency),第4章 快速傅里葉變換
6、,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法(Cooley-Tukey算法) 按頻率抽選的基-2FFT算法(Sande-Tukey算法) 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.3 按時(shí)間抽選(DIT)的基 -2 FFT算法,4.3.1 算法原理,步驟:將 x(n)按 n先偶后奇分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列,基-2 FFT算法,且滿足N=2L,L為正整數(shù),將DFT化為,利用WNnk的可約性,1個(gè)N點(diǎn)DFT 分解為2個(gè)N/2點(diǎn)DFT,X1(k) 與 X2(k) 分別是 x1(r) 及 x2(r) 的N/2點(diǎn)DFT,只是X(k)的前一半的結(jié)果,X1(k),X2(k)只有N/2個(gè)點(diǎn),即k=0, 1, , N/2-1。,X(k)有N個(gè)點(diǎn),即k=0, 1, , N-1,,要用X1(k),X2(k) ,Wk來表達(dá)全部的X(k)值,得到,說明: 后半部分k值(N/2kN-1)所對(duì)應(yīng)的X1(k),2(k) 分別等于前半部分k值(0kN/2-1) 所對(duì)應(yīng)的X1(k), X2(k),再考慮到WkN 的以下性質(zhì):,將X(k)表達(dá)為前后兩部分:,時(shí)間抽選法蝶形運(yùn)算流圖符號(hào),按時(shí)間抽選,將一個(gè)N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT(N=8),復(fù)數(shù)乘法:,2個(gè) 點(diǎn)DFT,蝶形圖部分,1個(gè) 點(diǎn)DFT,次復(fù)數(shù)乘法,復(fù)數(shù)加
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