《數(shù)字信號(hào)處理》課件11

1、第 4 1）,數(shù)字信號(hào)處理,第4章 快速傅里葉變換,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法（Cooley-Tukey算法） 按頻率抽選的基-2FFT算法（Sande-Tukey算法） 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.1 引言,注意：FFT不是一種新的變換，是DFT的一種快速算法。,1. DFT在時(shí)域和頻域都是離散的，可以采用計(jì)算機(jī)運(yùn)算；,2. 直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量很大，即使采用計(jì)算機(jī)運(yùn)算，也 不能解決實(shí)時(shí)性問題，影響其實(shí)際應(yīng)用；,3. 1965年首次提出了DFT運(yùn)算的一種快速算法，并發(fā)展和形成了一套高速有效的運(yùn)算方法， 統(tǒng)稱為快速傅里葉變換的算法。 （FFT-

2、Fast Fourier Transform）,第4章 快速傅里葉變換,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法（Cooley-Tukey算法） 按頻率抽選的基-2FFT算法（Sande-Tukey算法） 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.2 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)的途徑,4.2.1 DFT的運(yùn)算量,設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,二者的差別: 1) WN的指數(shù)符號(hào)不同，2) 差一個(gè)常數(shù)乘因子1/N， IDFT與DFT具有相同的運(yùn)算量， 可以只討論DFT的運(yùn)算量。,x (n)、WNnk 、 X(k)是復(fù)數(shù)，,完成整個(gè)DFT運(yùn)算共需要：N 2次復(fù)數(shù)乘法 N(N-1)次

3、復(fù)數(shù)加法。,X (k)共有N個(gè)值 （k=0，1，N-1）,每計(jì)算一個(gè)X(k)值，需要：N次復(fù)數(shù)乘法 N-1次復(fù)數(shù)加法。,一次復(fù)數(shù)乘法：4次實(shí)數(shù)乘法 2次實(shí)數(shù)加法,復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)際上是由實(shí)數(shù)運(yùn)算來完成的，可將DFT運(yùn)算式寫成,一次復(fù)數(shù)加法：2次實(shí)數(shù)加法,整個(gè)DFT運(yùn)算共需要：,一個(gè)X(k)值：N次復(fù)數(shù)乘法 N-1次復(fù)數(shù)加法,每計(jì)算一個(gè)X(k)需要：4N 次 實(shí)數(shù)乘法 2N+2(N-1)=2(2N-1)次 實(shí)數(shù)加法,一次復(fù)乘：4次實(shí)數(shù)乘法 2次實(shí)數(shù)加法 一次復(fù)加：2次實(shí)數(shù)加法,2N (2N-1)次實(shí)數(shù)加法,4N 2次實(shí)數(shù)乘法,（N個(gè)X(k)值 ）,N 2次復(fù)數(shù)乘法,N (N-1)次復(fù)數(shù)加法,上述統(tǒng)計(jì)與

4、實(shí)際需要的運(yùn)算次數(shù)稍有出入，,因此，直接計(jì)算DFT，乘法次數(shù)和加法次數(shù)都和N 2成正比， 當(dāng) N 很大時(shí)，運(yùn)算量很可觀。,某些WNnk可能是1或 j，如W 0N=1，WN= -1，WNN/4= -j等,為了便于比較， 一般不考慮特殊情況，而是把WNnk都看成復(fù)數(shù),當(dāng)N 很大時(shí)，這種特例的影響很小。,解: 直接計(jì)算DFT復(fù)乘次數(shù)（N )2=（10241024)2 1012次， 用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，需要近3000小時(shí)。,例：對(duì)10241024點(diǎn)的二維圖像做DFT變換，計(jì)算機(jī)每秒可做 10萬次復(fù)數(shù)乘法，需要多少時(shí)間？ （忽略加法運(yùn)算時(shí)間）,對(duì)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理，改進(jìn)方法： 1）提高

5、計(jì)算速度（這樣，對(duì)計(jì)算速度要求太高了）； 2) 改進(jìn)DFT的計(jì)算方法，以大大減少運(yùn)算次數(shù)。,4.2.2 減少運(yùn)算量的途徑,DFT運(yùn)算，利用系數(shù)Wnk的固有特性，可減少運(yùn)算量：,能否減少運(yùn)算量，以縮短計(jì)算時(shí)間呢？,（3） WNnk的可約性,另外,快速傅里葉變換算法的基本思想,使DFT分解為更少點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算,DFT的運(yùn)算量與 N 2 成正比，N 越小DFT的運(yùn)算量越小。,在DFT運(yùn)算中合并某些項(xiàng)，,FFT算法基本上可以分成兩大類， 按時(shí)間抽選法 (DIT ，Decimation-In-Time） 按頻率抽選法 (DIF， Decimation-In-Frequency）,第4章 快速傅里葉變換

6、,引言 直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑 按時(shí)間抽選的基-2FFT算法（Cooley-Tukey算法） 按頻率抽選的基-2FFT算法（Sande-Tukey算法） 離散傅里葉反變換的快速計(jì)算方法,4.3 按時(shí)間抽選（DIT）的基 -2 FFT算法,4.3.1 算法原理,步驟：將 x(n)按 n先偶后奇分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列,基-2 FFT算法,且滿足N=2L，L為正整數(shù),將DFT化為,利用WNnk的可約性,1個(gè)N點(diǎn)DFT 分解為2個(gè)N/2點(diǎn)DFT,X1(k) 與 X2(k) 分別是 x1(r) 及 x2(r) 的N/2點(diǎn)DFT,只是X(k)的前一半的結(jié)果,X1(k)，X2(k)只有N/2個(gè)點(diǎn)，即k=0, 1, , N/2-1。,X(k)有N個(gè)點(diǎn)，即k=0, 1, , N-1，,要用X1(k)，X2(k) ，Wk來表達(dá)全部的X(k)值,得到,說明： 后半部分k值（N/2kN-1）所對(duì)應(yīng)的X1(k)，2(k) 分別等于前半部分k值（0kN/2-1） 所對(duì)應(yīng)的X1(k)， X2(k),再考慮到WkN 的以下性質(zhì):,將X(k)表達(dá)為前后兩部分：,時(shí)間抽選法蝶形運(yùn)算流圖符號(hào),按時(shí)間抽選，將一個(gè)N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT（N=8）,復(fù)數(shù)乘法：,2個(gè) 點(diǎn)DFT,蝶形圖部分,1個(gè) 點(diǎn)DFT,次復(fù)數(shù)乘法,復(fù)數(shù)加