《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》PPT課件.ppt

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1.2 隨機(jī)事件的概率,1.2.1 概率和頻率,1.2.2 組合記數(shù),1.2.3 古典概率,1.2.4 幾何概率,1.2.5 主觀概率,1.2 隨機(jī)事件的概率,1.2.1 概率和頻率,概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，如果僅知道可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，更重要的是要知道各個(gè)事件發(fā)生可能性大小的量的描述（即數(shù)量化）.這種量的大小我們稱為事件的概率。,隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生帶有偶然性，但大量試驗(yàn)中，它的發(fā)生具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，人們可以確定隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。,若隨

2、機(jī)事件A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生了m 次，則量 稱為事件A在n 次試驗(yàn)中 發(fā)生的頻率，記作 ，即： .,它滿足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,則 ;,如果A是不可能事件，有m=0,則 ;,就是說： 必然事件的頻率為1，不可能事件的頻率為0。,表1-1可以看出，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加,A發(fā)生的頻 率圍繞0.5這個(gè)數(shù)值擺動(dòng)的幅度越來越小。即隨機(jī)事件 A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性。一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，總是在某個(gè)確定值p附近徘徊，而且試驗(yàn)次數(shù)越多，事件A的頻率就越來越接近p,數(shù)p稱為頻率的穩(wěn)定中心，頻率的穩(wěn)定性揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律性，它是事件A 在一次隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)發(fā)生可能性大小的

3、度量。,投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù),n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,頻率穩(wěn)定性的實(shí)例,蒲豐( Buffon )投幣,皮爾森( Pearson ) 投幣,如: Dewey G. 統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語單詞 中各字母出現(xiàn)的頻率, 發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn) 的頻率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.018

4、7 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的統(tǒng)計(jì)定義：,在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺動(dòng),且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).,優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂,缺點(diǎn)：粗

5、糙 模糊,不便 使用,1.2.2 組合記數(shù),排列: 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè) (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列:,組合: 從 n 個(gè)不同的元素中取出 m 個(gè)(不放 回地）組成一組， 不同的分法共有,重復(fù)組合: 從 n 個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)， 放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的組合 稱為重復(fù)組合，此種重復(fù)組合數(shù)共有,例如:,兩批產(chǎn)品各50件,其中次品各5件,從這兩批產(chǎn)品中各抽取1件, (1)兩件都不是次品的選法有多少種? (2)只有一件次品的選法有多少種?,解 (1) 用乘法原理,結(jié)果為,(2)結(jié)合加法原理和乘法原理得選法為:,古典概型 設(shè)為試驗(yàn)E的樣

6、本空間，若 （有限性）只含有限個(gè)樣本點(diǎn); （等概性）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等; 則稱E為古典概型。,古典概型概率的定義,設(shè)E為古典概型,為E的樣本空間,A為任意一個(gè)事件，定義事件A的概率為:,1.2.3 古典概率,(1) 古典概型的判斷方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的計(jì)算步驟： 弄清試驗(yàn)與樣本點(diǎn); 數(shù)清樣本空間與隨機(jī)事件中的樣本點(diǎn)數(shù); 列出比式進(jìn)行計(jì)算。,注意:,概率的性質(zhì)：,例1.2. 將一顆骰子接連擲兩次，試求下列事件的概率： （1）兩次擲得的點(diǎn)數(shù)之和為8；（2）第二次擲得3點(diǎn).,表示“點(diǎn)數(shù)之和為8”事件，,表示“第二次擲得3點(diǎn)”事件,解：設(shè),所以,則,例1.2. 箱中有

7、6個(gè)燈泡,其中2個(gè)次品4個(gè)正品,有放回地從中任取兩次,每次取一個(gè),試求下列事件的概率： （1）取到的兩個(gè)都是次品;（2）取到的兩個(gè)中正、次品各一個(gè),（3）取到的兩個(gè)中至少有一個(gè)正品.,解： 設(shè)A =取到的兩個(gè)都是次品，B=取到的兩個(gè)中正、次品各一個(gè), C=取到的兩個(gè)中至少有一個(gè)正品.,（1）樣本點(diǎn)總數(shù)為62，事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的樣本點(diǎn)數(shù)為42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的樣本點(diǎn)數(shù)為62-22=32，,所以P(C )=32/36=8/9,思考：若改為無放回地抽取兩次呢? 若改為一次抽取兩個(gè)呢？,幾

8、何概型 設(shè)為試驗(yàn)E的樣本空間，若 試驗(yàn)的樣本空間是直線上某個(gè)區(qū)間，或者面、空間上的某個(gè)區(qū)域，從而含有無限多個(gè)樣本點(diǎn); 每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生具有等可能性 ; 則稱E為幾何概型。,幾何概型概率的定義,設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能落入?yún)^(qū)域上的隨機(jī)點(diǎn)M，且D含在內(nèi),則M點(diǎn)落入子域D(事件A)上的概率為:,1.2.4 幾何概型(等可能概型的推廣),例1.2.3 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)， 已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于 十分鐘的概率.,9點(diǎn),10點(diǎn),10分鐘,及,在,是區(qū)間時(shí)，表示相應(yīng)的長(zhǎng)度；在,是平面或空間區(qū)域時(shí)，表示相應(yīng)的面積或體積,注：,幾何概率的性質(zhì)：,兩兩互不相容,例1.2.

9、4 兩船欲?？客粋€(gè)碼頭, 設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的.如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1 小時(shí)與2 小時(shí),試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.,解: 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 x ，0 x 24 船2 到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為 y ，0 y 24,設(shè)事件 A 表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待 空出碼頭,注：用幾何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率為1的事件為什么不一定發(fā)生?”這一問題.,如圖，設(shè)試驗(yàn)E 為“ 隨機(jī)地向邊,長(zhǎng)為1 的正方形內(nèi)黃、藍(lán)兩個(gè)三 角形投點(diǎn)” 事件A 為“點(diǎn)投在黃、 藍(lán)兩個(gè)三角形內(nèi)” , 求,由于點(diǎn)可能投在正方

10、形的對(duì)角線上, 所以,事件A未必一定發(fā)生.,1.2.5 主觀概率,概率的相對(duì)頻率的解釋是一種很有用的解釋，但有時(shí)它難以應(yīng)用于必須估計(jì)其概率的特定的實(shí)際問題.可能沒有合理的自然的“試驗(yàn)”能重復(fù)很多次，致使我們可以計(jì)算某種結(jié)果出現(xiàn)的相對(duì)次數(shù).,例如，有什么試驗(yàn)?zāi)茏屇銇砉烙?jì)下一個(gè)十年中唐山可能發(fā)生災(zāi)難性地震的概率呢？這里，不確定性在我們的頭腦里，并非在現(xiàn)實(shí)之中.,統(tǒng)計(jì)界的貝葉斯學(xué)派認(rèn)為：一個(gè)事件的概率是人 們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生的可能性所給出的.這樣給出 的概率稱為主觀概率.,1. 如果一名嫌疑人的血液和犯罪現(xiàn)場(chǎng)留下的血液按照DNA分析只有十萬分之一的可能不一樣.你如何判斷和解釋?,課堂練習(xí),2.

11、如果由你從0到9中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)算是一個(gè)試驗(yàn).重復(fù)這樣的試驗(yàn)10次, 那么得到0147802393和得到9999999999的概率是否一樣?無論你怎么回答,請(qǐng)給出這兩個(gè)事件的概率.,Application 1,Question What is the probability of rolling an even number with one dice? a number greater than 3 with one dice?,Solution The sample space for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event

12、A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3,Application 2,Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a white ball? (event A) two red ba

13、lls? (event B) a white ball and three red balls? (event C),Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosin

14、g 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7,Check your understanding!,Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? () Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is th

15、e probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( ) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? ( ),Q.4 There are 20 numbers on the board and a

16、student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( ) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, .,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset

17、 that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!,Answer Key,Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (

18、4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18,Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it invo

19、lves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number

20、of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8,課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1. 概率的定義與性質(zhì),1.3.1 概率的公理化定義,1.3.2 概率的基本性質(zhì),1.3.1 概率的公理

21、化定義,前面分別介紹了統(tǒng)計(jì)概率定義、古典概率及幾何概率的定義，它們?cè)诮鉀Q各自相適應(yīng)的實(shí)際問題中，都起著很重要的作用，但它們各自都有一定局限性.,為了克服這些局限性，1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 柯爾莫哥落夫在綜合前人成果的基礎(chǔ)上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定義，為現(xiàn)代概率 論的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ).,概率的公理化的定義:,(2)規(guī)范性,(1)非負(fù)性,兩兩互不相容,設(shè),是給定的實(shí)驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)其中的任意一 事件A，規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若P(A)滿足：,則,則稱P(A)為事件A的概率.,1.3.2 概率的公理化定義,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,則P(A

22、+B)=P(A)+P(B),可推廣 到有限個(gè)互斥事件的情形.即:若A1,A2,An兩兩互斥,則 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,則P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推廣到有限個(gè)事件的情形.,證明 (3),A=(A-B)+AB,A-B和AB為互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(

23、A-B)=P(A)-P(AB).,P(A+B)=PA+(B-AB),證明:(4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),類似可證其他.,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.3.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考: 在以上條件下，P（A-B）=？,例1.3.2 設(shè)事件A發(fā)生的概率是0.6，A與B都發(fā)生的 概率是0.1，A與B都不發(fā)生的概率為0.15 ,求:A發(fā)生 B不發(fā)生的概率；B發(fā)

24、生A不發(fā)生的概率及P(A+B).,解: 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，,則 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P =1-0.15=0.85,又因?yàn)镻(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,從而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6,求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-

25、AB),解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,課堂練習(xí),A、B都出現(xiàn)的概率與 A、B 都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答,所以,P(B)=1-P(A)=1-p,4某系一年級(jí)有l(wèi)00名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們考試的成績(jī)： 政治、數(shù)學(xué)、物理、英語四門課程得優(yōu)等成績(jī)的人數(shù) 分別依次為85，75 70，80.證明：這四門課程全優(yōu)的 學(xué)生至少有10人.,證明：見書12頁例1.3.2.（略）,課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課

26、程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1.4 條件概率,1.4.1 引例,1.4.2 條件概率的定義,1.4.3 條件概率的性質(zhì),1.4.4 乘法公式,1.4.5 全概率公式,1.4.6 貝葉斯 Bayes公式,在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到求：,在事件B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B).,由于附加了條件，P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) P(A),先看一個(gè)例子,引例：擲一顆均勻骰子,B=擲出偶數(shù)點(diǎn)，,P(A|B)=？,由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生，所以此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果只有3種，而事件A包含的基本事件只占其中一種，故有,P(A|B)= 1/3,A=擲出2點(diǎn)，,解：擲一顆均勻骰

27、子可能的結(jié)果有6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。,P(A)=1/6,上例中 P(A|B) P(A),它們不相等的原因在于“事件B已發(fā)生”這個(gè)新條件改變了樣本空間.,設(shè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位 的正方形的面積 表示樣本空間S,其中封閉曲線 圍成的一切點(diǎn) 的集合表示事件 A,把圖形的面積理解為相應(yīng)事件的概率,則 P(A)=,A的面積/S的面積,A的面積,如果B發(fā)生，那么使 得A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)樣 本點(diǎn)屬于AB，因此 P(A|B)應(yīng)為P(AB)在 P(B)中的“比重”,當(dāng)已知B發(fā)生的情況下，由原來的S 縮減為了B,這就好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.,P(A|B)=AB的面積/B的

28、面積,1.4.2 條件概率的定義,.,例1.4.1,古典概型,解:,設(shè) A 表示取得木球 B 表示取得白球,例1.4.2 某人外出旅游兩天, 需知道兩天的天氣情況, 據(jù)預(yù)報(bào), 第一天下雨的概率為 0.6,第二天下雨的概率為0.3, 兩天都下雨的概率為0.1. 求 第一天下雨時(shí), 第二天不下雨的概率.,設(shè)A與B 分別表示第一天與第二天下雨,解:,條件概率與無條件概率 之間的大小無確定關(guān)系,上例中,一般地,例1.4.3 從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽 出2張 , 將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔 , 求2 張都是假鈔的概率.,解: 令 A 表示抽到2 張都是假鈔,B表示2 張中至少有1

29、張假鈔,則所求概率是,所以,1.4.3 條件概率的性質(zhì),推廣:,1.4.4 乘法公式,例1.4.4 為了防止意外,礦井內(nèi)同時(shí)裝有A 與B兩種報(bào)警設(shè)備, 已知設(shè)備 A 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.92, 設(shè)備 B 單獨(dú)使用時(shí)有效的概率為0.93, 在設(shè)備 A 失效的條件下, 設(shè)備B 有效的概率為 0.85, 求發(fā)生意外時(shí)至少有一個(gè)報(bào)警設(shè)備有效的概率.,設(shè)事件 A, B 分別表示設(shè)備A, B 有效,已知,求,解:,方法一,由,即,故,方法二,1.4.5 全概率公式,人們?cè)谟?jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算概

30、率，然后求和.全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式，它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題化繁就簡(jiǎn)，得以解決.,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,全概率公式,練習(xí)：設(shè)有分別來自三個(gè)地區(qū)的10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份. 隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表， 求抽出一份是女生表的概率.,Ai = 報(bào)名表是第i區(qū) i1, 2, 3,B= 抽到的報(bào)名表是女生表,解：設(shè),P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),由全概率公式,在第一地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A1)=3/10,在第二地區(qū)的表格中抽得

31、女生表格的概率 P(B|A2)=7/15,在第三地區(qū)的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A3)5/25,人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),人們估計(jì),在利率下調(diào)的情況下該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價(jià)格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.,思考題,解: 設(shè) A 表示利率下調(diào),設(shè) B 表示股票價(jià)格上漲,解: 設(shè) A 表示利率下調(diào),設(shè) B 表示股票價(jià)格上漲,于是,例1.4.5,解:,例1.4.6,解:,思考題：袋中有一個(gè)白球及一

32、個(gè)紅球，一次次地從袋中取球，如果取出白球，則除把白球放回再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出紅球?yàn)橹?求取了n次都沒有取到紅球的概率.,解：記,第i次取得白球，i1, 2, , n,A=取了n次都沒有取到紅球,則,=,前n-2次取得白球的條件下，第n-1次取得白球,前n-1次取得白球的條件下，第n次取得白球,第一次取得白球的條件下，第二次取得白球的概率,第一次取得白球,Bayes Formula,Introduction (Exit polls). In the California gubernatorial election in 1982, several TV stations predicate

33、d, on the basis of questioning people when they exited the polling place, that Tom Bradley, then mayor of Los Angeles, would win the election. When the votes were counted, however, he lost by a considerable margin. What happened?,1.4.6 Bayes公式,Bayes公式,全概率-由因求果貝葉斯-執(zhí)果求因, A,例1.4.7 數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號(hào)

34、，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時(shí)候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時(shí)候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào)。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設(shè)A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個(gè)“1”的信號(hào),0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),條件概率,小 結(jié),縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,練習(xí)1,課堂練習(xí)

35、,練習(xí),練習(xí) 袋中有十只球,其中九白一紅,十人 依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個(gè)人 取得紅球的概率是多少？第二、第三、 最后一個(gè)人取得紅球的概率各是多少？,練習(xí)4 盒中裝有5個(gè)產(chǎn)品,其中3個(gè)一等品,2個(gè)二等品, 從中不放回地取產(chǎn)品,每次1個(gè),求: （1）取兩次，兩次都取得一等品的概率 （2）取兩次，第二次取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取兩次，已知第二次取得一等品，求: 第一次取得的是二等品的概率,解答:,（1）,提問：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更簡(jiǎn)單,（3）,（2）,(4),課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),1.5

36、 事件的獨(dú)立性與相關(guān)性,1.5.1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性與相關(guān)性,1.5.2 有限個(gè)事件的獨(dú)立性,1.5.3 相互獨(dú)立事件的性質(zhì),1.5.4 Bernoulli概型,引例 箱中裝有10件產(chǎn)品:7件正品,3件次品,甲買走1件正品,乙要求另開一箱,也買走1件正品. 記甲取到正品為事件A,乙取到正品為事件B,則,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),從問題的實(shí)際意義理解，就是說事件A和事件B出現(xiàn)的概率彼此不受影響.,1.5.1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性與相關(guān)性,定義: 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A與B獨(dú)立。,推論1: A.B為兩個(gè)事件,若P(A)0, 則A

37、與B獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(A|B)=P(A).,證明：A.B獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:從直觀上講,A與B獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受另一個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.,證明 不妨設(shè)A.B獨(dú)立,則,其他類似可證.,推論2:在 A與 B, 與 B,A與 ，與 這四對(duì)事件中, 若有一對(duì)獨(dú)立,則另外三對(duì)也相互獨(dú)立。,注意: 判斷事件的獨(dú)立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷.,例1.5.1 某高校的一項(xiàng)調(diào)查表明：該校有30%的學(xué)生 視力有缺陷. 7%的

38、學(xué)生聽力有缺陷，3%的學(xué)生視力與聽力都有缺陷，記,=“學(xué)生視力有缺陷”，,=“學(xué)生聽力有缺陷”，,=“學(xué)生聽力與視力都有缺陷”，,現(xiàn)在來研究下面三個(gè)問題：,（1）事件,與,是否獨(dú)立？,由于,所以事件,與,不獨(dú)立，即該校學(xué)生視力與聽力,缺陷有關(guān)聯(lián).,（2）如果已知一學(xué)生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？,這要求計(jì)算條件概率,由定義知,（3）如果已知一學(xué)生聽力有缺陷，那么他視力也有缺 陷的概率是多少？,類似地可算條件概率,定義 設(shè),稱,為事件,與,的相關(guān)系數(shù),定理1.5.1 (1),當(dāng)且僅當(dāng),與,相互獨(dú)立；,(3),(2),;,定義 (n個(gè)事件的相互獨(dú)立性） 設(shè)有n個(gè)事A1,A2,An

39、,若對(duì)任何正整數(shù)m(2mn)以及,則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立.,若上式僅對(duì)m=2成立,則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.,注意: 從直觀上講,n個(gè)事件相互獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受其余一個(gè)或幾個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.,1.5.2 有限個(gè)事件的獨(dú)立性,例1.5.2 隨機(jī)投擲編號(hào)為 1 與 2 的兩個(gè)骰子事件 A 表示1號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),B 表示2號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù),C 表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù).,則,但,Exercise (Birthdays).Let A=“Alice and Betty have the same birthday” B= “Betty and Carol hav

40、e the same birthday” C= “Carol and Alice have the same birthday” .Each pair of events is independent but the three are not.,1.5.3 相互獨(dú)立事件的性質(zhì),性質(zhì)1: 如果n個(gè)事件,相互獨(dú)立，則,個(gè)事件改為相應(yīng)的對(duì)立事,將其中任何,件，形成新的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.,性質(zhì)2: 如果n個(gè)事件,相互獨(dú)立，則有,例1.5.3 三個(gè)元件串聯(lián)的電路中,每個(gè)元件發(fā)生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨(dú)立,求電路斷電的概率是多少?,解 設(shè)A1,A2,A3分別表示

41、第1,2,3個(gè)元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨(dú)立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互獨(dú)立,證明:事件,證:,事件,例1.5.5 設(shè)每個(gè)人的血清中含肝炎病毒的概率為0.4%, 求來自不同地區(qū)的100個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.,解:設(shè)這100 個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒為 事件 A, 第 i 個(gè)人的血清中含有肝炎病毒為事件 Ai (i =1,2,100 ).,則,若Bn表示 n 個(gè)人的血清混合液中含有肝炎病毒，則,注意:不能忽視小概率事件,小概率事件遲早要發(fā)生,

42、一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件 (或系統(tǒng))的可靠性.,系統(tǒng)由元件組成,常見的元件連接方式：,串聯(lián),并聯(lián),系統(tǒng)的可靠性問題,設(shè)兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作 的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩 系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.,S1:,S2:,例1.5.6 某射手在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次擊中目標(biāo)的概率是0.6,求：概率最大的擊中目標(biāo)次數(shù).,解：擊中目標(biāo)次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,設(shè)Bi(i=0,1,5)表示擊中目標(biāo)i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),則Ai (i=1,2,.,5)相互獨(dú)立,P(B0)

43、=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,例1.5.6 某射手在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次擊中目標(biāo)的概率是0.6,求：概率最大的擊中目標(biāo)次數(shù).,即,(i=0,1,2,3,4,5),類推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),解： 擊中目標(biāo)次數(shù)可能取值為0,1,2,3,4,5,設(shè)Bi(i=0,1,5)表示擊中目標(biāo)i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),則Ai (i=1,2,.,5)相互獨(dú)立,易計(jì)算：概率最大的擊中目標(biāo)次數(shù)為3.,一般地：設(shè)射擊次數(shù)為n，每次射擊擊中目標(biāo) 的概率為p，則： 當(dāng)（n+1）p為整數(shù)時(shí)，概率 最大的擊中

44、目標(biāo)次數(shù)為(n+1)p和(n+1)p-1; 當(dāng)（n+1）p不為整數(shù)時(shí)，概率最大的擊中目標(biāo) 次數(shù)為(n+1)p的整數(shù)部分.,若某個(gè)試驗(yàn)由n次基本試驗(yàn)構(gòu)成,且具有以下特點(diǎn): (1) 每次基本試驗(yàn)有且只有兩個(gè)可能結(jié)果：成功、失敗; (2) 每次基本試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率不變; (3) 基本試驗(yàn)之間相互獨(dú)立; (4) 在相同條件下,試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行.,則稱此試驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)或貝努里(Bernoulli)試驗(yàn);由于該試驗(yàn)由n次基本試驗(yàn)構(gòu)成,故亦稱之為n重貝努里試驗(yàn).,貝努里公式： 在n重貝努里試驗(yàn)中,如果“成功”在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,令Bk=“在n 次試驗(yàn)中“成功”出現(xiàn)k 次”,則,1.5.4

45、 Bernoulli概型,例1.5.7 同時(shí)擲四顆均勻的骰子,試計(jì)算: (1) 恰有一顆是6點(diǎn)的概率; (2) 至少有一顆是6點(diǎn)的概率.,解: 這是一個(gè)4重貝努里試驗(yàn), 擲每一顆骰子就是一個(gè)基本試驗(yàn).,每次基本試驗(yàn)中6點(diǎn)出現(xiàn)的概率是1/6,所以,(1) 恰有一顆是6點(diǎn)的概率為,(2) 至少有一顆是6點(diǎn)的概率為,例1.5.8 八門炮同時(shí)獨(dú)立地向一目標(biāo)各射擊一發(fā) 炮彈,若有不少于2發(fā)炮彈命中目標(biāo)時(shí),目標(biāo)就被擊 毀.如果每門炮命中目標(biāo)的概率為0.6, 求目標(biāo)被 擊毀的概率.,解：設(shè)一門炮擊中目標(biāo)為事件A, P(A)=0.6,設(shè)目標(biāo)被擊毀為事件B,則,解: 設(shè)取出的5個(gè)數(shù)按由小到大排列為,1,1,2,

46、3,3;,1,1,2,3,4;,所取的5個(gè)數(shù)字中至少有3個(gè)數(shù)字不大于4,例1.5.9 從1,2, ,10十個(gè)數(shù)字中有放回地任取5個(gè) 數(shù)字, 求取出的5個(gè)數(shù)字中按由小 到大排列, 中間 的那個(gè)數(shù)等于 4 的概率.,令 Ak 表示所取的5個(gè)數(shù)字中恰有k 個(gè)不大于4,則,由于,、事件獨(dú)立性的應(yīng)用,1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則,2、在可靠性理論上的應(yīng)用 如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn),假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為p,且各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率。,設(shè)A-L至R為通路,Ai-第i個(gè)繼電器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1.某型號(hào)火炮的命中率為

47、0.8，現(xiàn)有一架敵機(jī) 即將入侵，如果欲以 99.9 % 的概率擊中它，則 需配備此型號(hào)火炮多少門？,解答: 設(shè)需配備 n 門此型號(hào)火炮 設(shè)事件 表示第 i 門火炮擊中敵機(jī),故需配備 5 門此型號(hào)火炮.,課堂練習(xí),EX2:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書每家圖書館購(gòu)進(jìn)這種書的概率是1/2，購(gòu)進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是1/2各家圖書館是否購(gòu)進(jìn)該書相互獨(dú)立問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？,EX3:如果有5%的人是左撇子,而你和你的兄弟都是左撇子.那么你和你兄弟都是左撇子這樣事件的概率是不是0.05x0.05=0.0025?為什么？,EX4:一輛汽車的前燈在一年內(nèi)失效的概率為0.2,而

48、該汽車的電池在一年內(nèi)失效的概率為0.1.那么兩項(xiàng)同時(shí)失效的概率是不是0.2x0.1=0.02?如果電池是另外車上的,答案有所不同嗎?請(qǐng)用常識(shí)判斷,Genetics (Hardy-Weinberg equilibrium). Most animals and plants are diploid organisms: each cell has two copies of chromosome, with the exception of the chromosome that determines the individuals sex. In this case, a female has

49、two copies of the X chromosome and a male has one X and one Y. When reproduction occurs, a special cell division process called meiosis produces reproductive cells called gametes that have one copy of each chromosome. Two gametes are then combined to produce one new individual. Each hereditary chara

50、cteristic is carried by a pair of genes, one on each chromosome, so the new offspring gets one gene from its mother and one from its father. We will consider the situation in which each gene can take only two forms, called alleles, which we will denote by a and A. an example from the pioneering work

51、 of the Czech monk Gregor Mendel is A=“smooth skin” and a=“wrinkled skin” for the pea plants that he used for much of his experimental work. In this case A is dominant over a, meaning that Aa individuals (those with one A and one a) will have smooth skin.,課外學(xué)習(xí),Let us start from an idealized infinite

52、 population in which individuals are found in the following proportions, where the proportion are nonnegative and sum to 1:,If we assume that random mating occurs then each new individual picks two parents at random from the population and picks an allele at random from the two carried by each paren

53、t. To compute the proportions of the three types in the first generation of offspring, note that (i) since the first allele is picked at random from the population it will be A with probability,and a with probability,and (ii) the second allele will be independent and have the same distribution, so t

54、he proportions in the first generation of offspring will be,Something quite remarkable happens when we use these values to compute the fractions in the second generation of offspring. An allele picked at random from the first generation will be A with probability,So the proportions in the second gen

55、eration of offspring will be,Since the proportions of AA,Aa, and aa alleles reach equilibrium in one generation of offspring starting from an arbitrary distribution, it follows that if the fraction of A alleles in the population is p then the proportions of the genotypes will be,The last result is c

56、alled the Hardy-Weinberg Theorem. To illustrate its use suppose that in a proportions of pea plants, 91% have smooth skin (AA or Aa, ) and 9% have wrinkled skin (aa). Since the fractions of AA, Aa and aa individuals are p2, 2p(1-p), and (1-p)2 and only aa individuals have wrinkled skin, we can infer

57、 that (1-p)=0.3 and the three proportions must be 0.49, 0.42 and 0.009.,WANG ZHONGZHI,概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué),學(xué)科, 理論嚴(yán)謹(jǐn), 應(yīng)用廣泛, 發(fā)展迅速. 目前, 不,僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程, 而且從,上世紀(jì)末開始，這門課程特意被國(guó)家教委定為,本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一，希望大家能認(rèn)真,學(xué)好這門不易學(xué)好又不得不學(xué)的重要課程.,教材 概率論及其統(tǒng)計(jì)應(yīng)用,主要教學(xué)參考書,汪忠志等編 合肥工業(yè)大學(xué)出版社 2005年,國(guó)內(nèi)有關(guān)經(jīng)典著作,國(guó)外有關(guān)經(jīng)典著作,本學(xué)科的 A B C,概率(或然率或幾率)

58、隨機(jī)事件出現(xiàn),的可能性的量度 其起源與博弈問題有關(guān).,16世紀(jì)意大利學(xué)者開始研究擲骰子等賭博,中的一些問題；17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家B. 帕,斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C. 惠更斯 基于排列組合的方,法，研究了較復(fù)雜 的賭博問題， 解決了“ 合理,分配賭注問題” ( 即得分問題 ).,概率論是一門研究客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量,規(guī)律的 數(shù)學(xué)分支學(xué)科.,發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.,基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速,第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè),與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息,論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、,整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的,問題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策,和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的 數(shù)學(xué)分支學(xué)科.,論；使 概率論 成為 數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠,對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率,統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué),知識(shí)，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù),學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這,樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì),學(xué)是概率論的一種應(yīng)用. 但是它們是兩個(gè)并列,的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.,The Applications of Probability and statistics,概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有,科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)