Jordan標(biāo)準(zhǔn)型λ-矩陣.ppt

1、第2章：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹,Jordan Canonical Form,第2章：Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹,問(wèn)題： 對(duì)線性空間中的線性變換T，求一組基1，2 ， n和矩陣J ，使 T: 1，2 ， n J 矩陣J 盡可能簡(jiǎn)單。 矩陣J的結(jié)構(gòu)對(duì)任何變換可行 內(nèi)容： 首選A為對(duì)角形 線性變換的對(duì)角化問(wèn)題。 建立J 一般的結(jié)構(gòu) Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論。 Jordan方法及其應(yīng)用 方法： 用矩陣的相似化簡(jiǎn)研究問(wèn)題 Jordan化方法 重點(diǎn)：,2.1 線性變換的對(duì)角表示,背景： T(1 2 n) = (1 2 n),一、變換T的特征值與特征向量 定義(p35 ，定義2.1) 求解分析：(p35 ，定理2

2、.1),(12 n) 線性無(wú)關(guān) Ti= ii ； L i是不變子空間,(2.1),則稱為 T 的特征值，并稱 為T 的屬于（或?qū)?yīng) 于）特征值的特征向量。,定義2.1 設(shè) T 是數(shù)域 F 上線性空間V 的一個(gè)線性 變換，如果存在 F以及非零向量 V 使得,設(shè)V 是數(shù)域 F上的 n 維線性空間， 是V 的一組基，線性變換T在這組基下的矩陣為A。如 果是T的特征值， 是相應(yīng)的特征向量，則,把它代入(2.1)， 得,由于 線性無(wú)關(guān)，則,特征向量 的坐標(biāo) x 滿足齊次線性方程組,因?yàn)?, 所以 , 即齊次線性方程組(2.4) 有非零解。方程組(2.4)有非零解的充分必要條件 是它的系數(shù)矩陣行列式為零，

3、即,定義2.2 設(shè)A是數(shù)域 F上的 n 階矩陣， 是一個(gè) 文字，矩陣 稱為A 的特征矩陣，其行列式 稱為A 的特征多項(xiàng)式。方程 稱為 A的特征方程，它的根稱為A的特征根（或特征 值）。以A的特征值 代入齊次線性方程組(2.4) 所得的非零解 x 稱為A對(duì)應(yīng)于 的特征向量。,特征值 作為特征方程的根的重?cái)?shù)稱為 的代數(shù)重?cái)?shù).,線性變換T 與它在V的一組基下的矩陣 的特征值是相同的.,特征向量呢,?,A的特征值就是T的特征值 A的特征向量是T的特征向量的坐標(biāo),例題1(p37 ，例題2.1) 3、 特征向量的空間性質(zhì) 特征子空間： 特征子空間的性質(zhì)：(p36 ，定理2.2) Vi是不變子空間 i j，

4、則ViVi=0 若i是ki重特征值，則1dimViki 推論： 若i是單特征值，則dimVi =1 V1+V2+Vs= V1V2Vs V1V2Vs Vn（F）,設(shè) 是線性變換T 的任一特征值，記,T,線性變換T 對(duì)應(yīng)于特征值 的特征子空間.,則,設(shè) 是矩陣 的任一特征值，記,幾何重?cái)?shù).,定理2.1 設(shè) F ，則,其中 是A的所有k 階主子式之和, 特別地,定理2.2 設(shè) F ， 是A 的特征 值，則,子式,順序主子式,例1. 設(shè),矩陣 A 在控制論中稱為友矩陣或相伴矩陣，求A 的特征多項(xiàng)式。,解: 記,對(duì)di按第一行展開，有,由上式逐次遞推得,定理2.3 如果 n 階矩陣 A 與 B 相似，則

5、,(1) A與B 有相同的特征多項(xiàng)式；,(2) A與B 有相同的特征值；,(3) tr(A) = tr(B) .,定理2.4 設(shè) 是線性變換T（或矩陣A）的 r 個(gè)互不相同的特征值， 是對(duì)應(yīng)于 的 特征向量，則 線性無(wú)關(guān)。,則 為 的特征值.,對(duì)線性變換也有類似的結(jié)論.,二、線性變換矩陣對(duì)角化的充要條件,T可以對(duì)角化T有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki,定理2. 4(p39),T可以對(duì)角化T的變換矩陣A可以對(duì)角化。,例題2 已知1，2 ，3 是空間V3（F）的基，T是空間上如下定義的線性變換， T（ 1 ）= 1 T（ 2 ）=2 2 T（ 3 ）= 1 +t 2

6、+2 3,討論：t為何值，T有對(duì)角矩陣表示,例題3 證明冪等變換(T2=T)有對(duì)角矩陣表示。,2.2 Jordan 矩陣介紹,目標(biāo)：發(fā)展一個(gè)所有方陣都能與之相似的矩陣結(jié)構(gòu)-Jordan矩陣。 一、 Jordan 矩陣 Jordan 塊(p40，定義2.3) 形式： 確定因素： Jordan 塊矩陣的例子：,值 矩陣的階數(shù),例題1 下列矩陣哪些是Jordan塊？,形式： Jordan矩陣舉例 特點(diǎn),元素的結(jié)構(gòu) Jordan矩陣是上三角矩陣 對(duì)角矩陣是Jordan 矩陣,2 Jordan 矩陣,3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 定理2 . 5 (p41) 含義：,Jordan 矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。 惟

7、一性：Jordan 子塊的集合惟一。 A相似于BJA相似于JB,二、方陣A的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的求法,目標(biāo)：求可逆矩陣P和Jordan矩陣JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基礎(chǔ)上逆向分析矩陣JA 和P的構(gòu)成。 求法與步驟：,矩陣A和JA的特征值相等,細(xì)分矩陣Pi 和 Ji，在Jordan塊上，有,Jordan鏈條，y2，ynj,特征向量,廣義特征向量,方法步驟：,由特征值i 的代數(shù)重?cái)?shù)確定主對(duì)角線元素是的 i 的 Jordan 矩陣J(i ) 的階數(shù)。 由特征值i 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)確定 J(i) 中Jordan 塊的個(gè)數(shù) 由特征向量求得的Jordan 鏈條的

8、長(zhǎng)度確定Jordan塊的階數(shù) 鏈條中的向量合起來(lái)構(gòu)成可逆矩陣P，Jordan塊構(gòu)成JA,例題1 (p44，例題5) 例題2 (p45，例題6),例題3 將矩陣A化為Jordan 矩陣。,例題4 (p46，例題7),三、 -矩陣及其在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)形,3.1 -矩陣的基本概念,3.2 -矩陣的初等變換與等價(jià),3.3 -矩陣在等價(jià)下的標(biāo)準(zhǔn)形,3.1 -矩陣的基本概念,定義3.1 設(shè) 是數(shù)域F 上的多項(xiàng)式，以 為元素的 矩陣,稱為多項(xiàng)式矩陣或-矩陣，多項(xiàng)式 中的最高次數(shù)稱為A() 的次數(shù)，數(shù)域 F上 -矩陣的全體記為F 。,設(shè) F ，若 則稱A()與B()相等，記為A()=B() 。,-矩陣的運(yùn)算：,

9、-矩陣行列式的性質(zhì),利用行列式，可定義子式和代數(shù)余子式。,減法,數(shù)量乘法,乘法,轉(zhuǎn)置,加法,n 階-矩陣的行列式,對(duì)n階-矩陣A(), B(), 有 | A()B()|= |A()| B()|,定義3.2 設(shè) F ，如果A()中有一個(gè) r 階子式不為零，而所有r + 1階子式 (如果有的話）全為零，則稱A()的秩為 r，記為 rank (A() = r 。,定義3.3 設(shè) F ，如果存在一個(gè)n 階- 矩陣B()使得,則稱-矩陣A()是可逆的，并稱B()為A()的 逆矩陣，記作 。,3.2 -矩陣的初等變換與相抵,定義3.4 下列三種變換稱為- 矩陣的初等變換：,（1） -矩陣的兩行（列）互換位

10、置；,（2） -矩陣的某一行（列）乘以非零常數(shù) k；,（3） -矩陣某一行（列）的 倍加到另一行 （列），其中 是的多項(xiàng)式。,對(duì)單位矩陣施行上述三種初等變換便得相應(yīng)的 三種-矩陣的初等矩陣P (i, j)，P( i (k)， P (i, j( )，即,初等矩陣都是可逆的，并且,初等矩陣行列式都是非零常數(shù).,初等變換的表示,i, j表示第i, j行（列）互換位置；,i(k)表示用非零常數(shù) k 乘第 i 行（列）；,i + j( )表示將第 j 行的 倍加到 第i行;,定義3.5 設(shè) F ，如果A()經(jīng)過(guò)有 限次的初等變換化為B()，則稱-矩陣A()與 B()等價(jià)（相抵），記為 。,i + j(

11、)表示將第 i列的 倍加到第j列.,定理3.2 設(shè) F ，則A()與B()等 價(jià)的充分必要條件是存在 m 階初等矩陣 與 n 階初等矩陣 使得,注意:,等秩的兩個(gè)矩陣未必等價(jià).,等價(jià)的兩個(gè)矩陣行列式的只相差一個(gè)非零常數(shù).,定理3.3 設(shè) F ，且 ， 則 等價(jià)于如下“對(duì)角形”矩陣,其中 是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，并且 。,3.3 -矩陣在相抵下的標(biāo)準(zhǔn)形,定理3.3中的“對(duì)角形”矩陣 稱為 -矩陣 在等價(jià)下的標(biāo)準(zhǔn)形或Smith標(biāo) 準(zhǔn)形。,定義3.6 -矩陣 F 的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)形“主 對(duì)角線”上非零元 稱為 的 不變因子。,例1. 求下列矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形及不變因子,一般的,有:,4.3 矩陣的

12、行列式因子和初等因子,定義4.1 設(shè) F 且 ，對(duì)于正 整數(shù) ， 的全部 k 階子式的最大公因式 稱為 的 k 階行列式因子，記為 。,行列式因子是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,定理4.1 相抵的-矩陣具有相同的秩和相同的各 階行列式因子。,由定理4.1知，任意-矩陣的秩和行列式因子與其 Smith 標(biāo)準(zhǔn)形的秩和行列式因子是相同的。,經(jīng)一次初等變換后，任意-矩陣 的秩和行列式因子均不變,證明,同時(shí)含有第i，j行和不含第i行,含有第i行不含有第j行,設(shè)-矩陣 的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為,其中 是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，并且 。,容易求得 的各階行列式因子如下：,于是有,從而得如下結(jié)論,其余的i階子式都為0， i

13、=1,2,.,r.,推論4.1,定理4.2 -矩陣 的 Smith標(biāo) 準(zhǔn)形是唯一的。,行列式因子及不變因子均唯一.,定理4.3 設(shè) F ，則 與 等 價(jià)的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或 者它們有相同的不變因子。,行列式因子與不變因子相互完全確定.,定理4.4 設(shè) F ，則 可逆的充分必要 條件是 可表示為一系列初等矩陣的乘積。,證明,定理4.5 設(shè) F ，則 與 等價(jià) 的充分必要條件是存在兩個(gè)可逆-矩陣 F 與 F 使得 .,下面再引進(jìn)-矩陣的初等因子。 設(shè)-矩陣 的不變因子為 ， 在復(fù)數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的冪的乘積：,其中 是互異的復(fù)數(shù)， 是非負(fù)整數(shù)。,定義4.2 在不變因子

14、的分解式中，所有指數(shù)大 于零的因子,稱為-矩陣 的初等因子。,因?yàn)?，則,定理4.6 設(shè) F ，則 與 等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的秩和相同的 初等因子。,秩及初等因子與不變因子可相互唯一確定.,秩確定了不變因子的個(gè)數(shù)，,同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中，方冪次數(shù)最高的在 中，次高的在 中，依次類推下去，確定所有的不變因子.,-矩陣的秩不小于其初等因子中同一一次因式的方冪出現(xiàn)的最大個(gè)數(shù).,例1.,定理4.7 設(shè)-矩陣,為塊對(duì)角矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。,證明,定理4.7 設(shè)-矩陣,為塊對(duì)角矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。,證明,為塊對(duì)角矩陣，則

15、 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。,證明,先證明 與 的全部初等因子都是 的初等因子,定理4.7 設(shè)-矩陣,為塊對(duì)角矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。,證明,定理4.7 設(shè)-矩陣,為塊對(duì)角矩陣，則 與 的初等因子的全體是 的全部初等因子。,證明,證明除 與 的初等因子外， 再?zèng)]有別的初等因子.,定理4.7 設(shè)-矩陣,定理4.8 設(shè)-矩陣 等價(jià)于塊對(duì)角矩陣,則 各個(gè)初等因子的全體就是 的全部初等因子。,2.3 最小多項(xiàng)式 (minimal polynomials),討論n 階矩陣多項(xiàng)式的相關(guān)問(wèn)題： 矩陣多項(xiàng)式（重點(diǎn)是計(jì)算） 矩陣的化零多項(xiàng)式（Cayley 定理） 最小多項(xiàng)

16、式 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用 相似不變性 Jordan化的方法,一、矩陣多項(xiàng)式 定義,2 . 性質(zhì)（定理2 . 7） AX = 0 X g(A)X= g(0 )X P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B) ,3 矩陣多項(xiàng)式 g(A ) 的計(jì)算 方法：,mr,g（J）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 由第一行的元素生成,Jordan塊,例題1 設(shè) 對(duì)P38，eg3中的矩陣A，計(jì)算g（A）。 解,二、矩陣的化零多項(xiàng)式 (Annihilating polynomials of Matrices),問(wèn)題：AFnn ， A0，是否存在非零多項(xiàng)式g（），使 得 g( A )=0？ 化零多項(xiàng)式（P.52） 如果

17、g(A) = 0，則g()被稱為矩陣A的化零多項(xiàng)式。 要點(diǎn)： 矩陣A一旦有化零多項(xiàng)式，則有無(wú)窮多化零多項(xiàng)式。 g（ A ）= 0 的決定因素。 存在性問(wèn)題。 Cayley-Hamilton 定理（P.52， 定理、2 . 7）： AFnn，f ( )= det( IA)，則f ( A )= 0。 Cayley 定理的應(yīng)用舉例： 使Ak ( kn)降階至不超過(guò)n-1次的多項(xiàng)式。 f（ 0） 0，則A的逆矩陣可以用多項(xiàng)式表示。 對(duì)線性變換T，f ( T)=0，即f（ T ）為零變換。,三、最小多項(xiàng)式,1 定義（P.54， 定義2 . 5） mA（ ）是最小多項(xiàng)式,mA（ A） =0 mA（ ）在化

18、零多項(xiàng)式中次數(shù)最低。 mA（ ）最高次項(xiàng)系數(shù)是1。 mA（ ）整除任何化零多項(xiàng)式,2 mA（ ）的結(jié)構(gòu)： 設(shè)f（ ）= IA=,定理2.8：mA（ ）=,定理2.9：mA（ ）= 是i對(duì)應(yīng)的Jordan塊的指數(shù)。,P.54,3 變換對(duì)角矩陣表示的條件 定理2.10：線性變換T可以對(duì)角化的充要條件是T的最小多項(xiàng)式是一次因子的乘積。 例題1 （P.56， eg10） 例題2 設(shè)A R44 ，mA（ )=,求矩陣A的所有可能的Jordan矩陣。,例題3 設(shè) 是矩陣A的化零多項(xiàng)式，證明A可以相似于對(duì)角矩陣。,相似問(wèn)題中的一些矩陣結(jié)果,1. 冪等矩陣、冪零矩陣和乘方矩陣 冪等矩陣（idempotent）： A 2 =A 冪零矩陣（nilpotent）： A0， k為正整數(shù)，Ak=0 乘方矩陣（involutary）： A 2 = I,A為冪零矩陣的充要條件是A的特征值都是零。,A為乘方矩陣的充要條件是A相似于矩陣,A為冪等矩陣的充要條件是A相似于矩陣,2 (p47，例題8) 設(shè)A為階方陣，證明矩陣A和AT 相似。 證明思想： 證明A和AT 相似 證明