《理論力學》第13章教案

1、四川理工學院理論力學教案授課教師梁智權開課系機電工程系開課學期0708學年第1學期課程名稱理論力學授課系專業(yè)及班級機械設計及自動化專業(yè)20XX級01班機械設計及自動化專業(yè)20XX級02班機械設計及自動化專業(yè)20XX級10班機械設計及自動化專業(yè)20XX級11班課程類型必修課（）選修課（）考核方式考試（）考查（）課程教學總學時數(shù)72學分數(shù)4.5學時分配理論課70 學時；實踐課2學時教材名稱理論力學作者出版社及出版時間哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研室高等教育出版社20XX年第6版參考書目書 名作 者出版社及出版時間理論力學范欽珊，劉燕，王琪清華大學出版社20XX年第1版理論力學洪嘉振，楊長俊高等教育出版

2、社20XX年第2版理論力學，上冊，中冊清華大學理論力學教研組高等教育出版社1994年第4版章節(jié)名稱 第13章 動能定理13-1 力的功/ 13-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能13-3 動能定理/ 13-4 功率功率方程機械效率13-5 勢力場勢能機械能守恒定律13-6 普遍定理的綜合應用舉例授課類別理論課（）；實驗課（ ）教學時數(shù) 6教學目的及 要求（1）能夠熟練計算重力的功、彈性力的功、定軸轉動剛體上作用力的功、平面運動剛體上力系的功。（2）掌握計算質(zhì)點的動能和質(zhì)點系的動能（平移剛體的動能、定軸轉動剛體的動能、平面運動剛體的動能）的方法。（3）掌握質(zhì)點的動能定理和質(zhì)點系的動能定理，能夠應用動能定理解

3、題，熟悉應用動能定理解題的步驟。（4）掌握功率的概念，能夠應用功率方程計算機械效率。（5）能夠計算重力場中的勢能、彈性力場中的勢能、萬有引力場中的勢能。（6）掌握機械能守恒定律及應用機械能守恒定律解題的步驟。（7）能夠聯(lián)合運用質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理（動量定理、動量矩定理和動能定理）求解比較復雜的問題。 教 學 內(nèi) 容 提 要備注能量轉換與功之間的關系是自然界中各種形式運動的普遍規(guī)律，在機械運動中則表現(xiàn)為動能定理。不同于動量和動量矩定理，動能定理是從能量的角度來分析質(zhì)點和質(zhì)點系的動力學問題，有時這是更為方便和有效的，同時，它還可以建立機械運動與其他形式運動之間的聯(lián)系。重力作功僅質(zhì)點與運動開始和末

4、了位置的高度差有關，與運動軌跡的形狀無關：對于質(zhì)點系，設質(zhì)點i的質(zhì)量為mi，運動始末的高度差為，則全部重力作功之和為質(zhì)心下降，重力作正功；質(zhì)心上移，重力作負功。質(zhì)點系重力作功與質(zhì)心的運動軌跡形狀無關。彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關，與力作用點的軌跡形狀無關：力F在定軸轉動剛體從到轉動過程中作的功為如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計算，其中Mz為力偶對轉軸z的矩，也等于力偶矩矢M在z軸上的投影。為力系主矢，MC為力系對質(zhì)心的主矩。剛體質(zhì)心C由C1移到C2，同時剛體又由轉到角度時，力系作功為平面運動剛體上力系的功等于力系向質(zhì)心簡化所得的力與力偶作功之和，這個結論也適

5、用于作一般運動的剛體，基點也可以是剛體上任意一點。剛體作平移時，各質(zhì)點的速度都相同，可以質(zhì)心速度vC為代表，于是得平移剛體的動能為剛體對于z軸的轉動慣量是，繞定軸轉動剛體的動能為作平面運動的剛體的動能，等于隨質(zhì)心平移的動能與繞質(zhì)心轉動的動能的和質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功：質(zhì)點動能定理的積分形式，即在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功：動能定理重力作功彈簧力作功定軸轉動剛體上作用力的功平面運動剛體上力系的功平移剛體的動能定軸轉動剛體的動能平面運動剛體的動能質(zhì)點動能定理教 學 內(nèi) 容 提 要（續(xù)一）備注質(zhì)點系動能定理的微分形式，即質(zhì)

6、點系動能的增量，等于作用在質(zhì)點系上全部力所作的元功之和：質(zhì)點系在某一段運動過程中的起點和終點的動能分別是T1和T2，質(zhì)點系動能定理的積分形式，即質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和：約束力作功等于零的約束稱為理想約束。在理想約束的條件下，質(zhì)點系動能的改變只與主動力作功有關。工程中很多約束可視為理想約束，此時未知的約束力并不作功，這對動能定理的應用是非常方便的。理想約束的約束力不做功，而質(zhì)點系的內(nèi)力作功之和并不一定等于零。應用動能定理解題的步驟如下：（1）選取某質(zhì)點系（或質(zhì)點）作為研究對象；（2）選定應用動能定理的一般過程；（3）分析

7、質(zhì)點系的運動，計算選定過程起點和終點的動能；（4）分析作用于質(zhì)點系的力，計算各力在選定過程中所作的功；（5）應用動能定理建立方程，求解為未知量。需要知道一部機器單位時間內(nèi)能做多少功。單位時間內(nèi)力的所作的功稱為功率，以P表示。功率的數(shù)學表達式為，式中v是力F作用點的速度。功率等于切向力與力作用點速度的乘積。作用在轉動剛體上的力的功率式中Mz是力對轉軸z的矩，是角速度。即作用于轉動剛體上的力的功率等于該力對軸的矩與角速度的乘積。在國際單位制中，每秒鐘力所作的功等于1J時，其功率定為1W（瓦）（W=J/s）。工程中常用千瓦（kW）做單位。取質(zhì)點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，

8、即質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。每部機器的功率都可分為輸入功率、無用功率（損耗功率）和有用功率（輸出功率）三部分。在一般情形下功率方程可寫成工程中要用到有效功率的概念。，有效功率與輸入功率的比值稱為機器的機械效率，用表示，即對于有n級傳動的系統(tǒng)，總效率等于各級效率的連乘積，即質(zhì)點系動能定理理想約束應用動能定理解題的步驟功率功率方程機械效率教 學 內(nèi) 容 提 要（續(xù)二）備注機械效率表明機器對輸入功率的有效利用程度，它是評定機器質(zhì)量好壞的指標之一，一般情況下。如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。物體在

9、地球表面的任何位置都要受到一個確定的重力的作用，稱地球表面的空間為重力場。如果物體在力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌跡形狀無關，這種力場稱為勢力場（或保守力場）。在勢力場中，物體受到的力稱為有勢力或保守力。重力、彈性力作的功都是保守力，重力場、彈性力場都是勢力場。在勢力場中，質(zhì)點從點M運動到任選的點M0，有勢力對質(zhì)點所作的功，稱為質(zhì)點在點M相對于點M0的勢能，以V表示為點M0的勢能等于零，稱為零勢能點。在勢力場中，勢能的大小是相對于零勢能點而言的。零勢能點M0可以任意選取，對于不同的零勢能點，在勢力場中同一位置的勢能可有不同的數(shù)值。重力場中，以

10、鉛垂軸為z軸，z0處為零勢能點。質(zhì)點于z坐標處的勢能V等于重力mg由z到z0處所作的功，即設彈簧的一端固定，另一端與物體連接，彈簧的剛度系數(shù)為k，以變形量為處為零勢能點，則變形量為處的彈簧勢能V為如果取彈簧的自然位置為零勢能點，則有，于是得如果質(zhì)點系受到多個有勢力的作用，各有勢力可以有各自的零勢能點。質(zhì)點系的“零勢能位置”是各質(zhì)點都處于其零勢能點的一組位置。質(zhì)點系從某位置到其“零勢能位置”的運動過程中，各有勢力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點系在該位置的勢能。與質(zhì)點系重力作功表達式相似，質(zhì)點系重力勢能可寫為其中m為質(zhì)點系全部質(zhì)量，zC為質(zhì)心的z坐標，zC0為零勢能位置質(zhì)心的z坐標。質(zhì)點系在勢力場中運動，

11、有勢力的功可通過勢能計算。設某個有勢力的作用點在質(zhì)點系的運動過程中，從點M1到點M2，該力所作的功為W12。若取M0為零勢能點，則從M1到M0和從M2到M0有勢力所作的功分別為M1到M2位置的勢能V1到V2。因為有勢力的功與軌跡形狀無關，而由M1經(jīng)M2到達M0時，有勢力的功為注意到W10 = V1，W20 = V2，得即有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。機械效率力場重力場有勢力保守力勢能零勢能點重力場中的勢能彈性力場中的勢能質(zhì)點系重力勢能有勢力所作的功教 學 內(nèi) 容 提 要（續(xù)三）備注質(zhì)點系在某瞬時的動能與勢能的代數(shù)和稱為機械能。設質(zhì)點系在運動過程的初始和終了瞬時的

12、動能分別為T1和T2，所受力在這過程中所作的功為W12，根據(jù)動能定理有如果系統(tǒng)運動中，只有有勢力作功，而有勢力的功可用勢能計算，即移項后得上式就是機械能守恒定律的數(shù)學表達式，即質(zhì)點系僅在有勢力的作用下運動時，其機械能保持不變。此類質(zhì)點系稱為保守系統(tǒng)。應用機械能守恒定律解題步驟如下：（1）選取某質(zhì)點或質(zhì)點系為研究對象，分析研究對象所受的力，所有作功的力都應為有勢力；（2）確定運動過程的始末位置；（3）確定零勢能位置，分別計算兩位置的動能和勢能；（4）應用機械能守恒定律求解未知量。有勢力在直角坐標軸上的投影等于勢能V對于該坐標的偏導數(shù)冠以負號：，由勢能的函數(shù)表達式，應用上式可以求得作用于物體的有勢

13、力。如果質(zhì)點系受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)。非保守系統(tǒng)的機械能是不守恒的。設保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為，由動能定理有，當質(zhì)點系受到摩擦阻力等力作用時，是負功，質(zhì)點系在運動過程中機械能減小，稱為機械能耗散；當質(zhì)點系受到非保守的主動力作用時，如果是正功，則質(zhì)點系在運動過程中機械能增加，這時外界對系統(tǒng)輸入了能量。重力場中，同一水平面上各點的勢能都相等，因此重力場中等勢能面為水平的平面。彈性力場的等勢能面是以彈簧的固定端為中心的球面。勢力場中任何一點的勢能只有一個數(shù)值，此點只通過一個等勢能面，即等勢能面不相交。勢能等于零的等勢能面稱為零勢能面。有勢力的方向垂直于等勢能面，指向勢能

14、減小的方向。質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理。這些定理可分為兩類：動量定理和動量矩定理屬于一類，動能定理屬于另一類。前者是矢量形式，后者是標量形式；兩者都用于研究機械運動，而后者還可以用來研究機械運動與其他運動形式有能量轉化的問題。動能定理是標量形式，在很多實際問題中約束力又不作功，因而應用動能定理分析系統(tǒng)的速度變化是比較方便的。功率方程可視為動能定理的另一種微分形式，便于計算系統(tǒng)的加速度。但應注意，在有些情況下質(zhì)點系的內(nèi)力作功并不等于零，應用時要具體分析質(zhì)點系內(nèi)力作功問題。普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法，而在求解比較復雜的問題時，往往需要根據(jù)各定理的特點，聯(lián)合

15、應用。機械能機械能守恒定律解題步驟有勢力非保守系統(tǒng)等勢能面質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理教學重點難點教學重點：（1）重力的功、彈性力的功、定軸轉動剛體上作用力的功、平面運動剛體上力系的功。（2）質(zhì)點的動能和質(zhì)點系的動能（平移剛體的動能、定軸轉動剛體的動能、平面運動剛體的動能），質(zhì)點的動能定理和質(zhì)點系的動能定理。（3）功率、功率方程和機械效率。（4）重力場中的勢能、彈性力場中的勢能、萬有引力場中的勢能。（5）機械能守恒定律。教學難點：（1）計算重力的功、彈性力的功、定軸轉動剛體上作用力的功、平面運動剛體上力系的功。（2）計算質(zhì)點的動能和質(zhì)點系的動能，應用動能定理解題的步驟。（3）應用功率方程計算機械效率

16、。（4）應用機械能守恒定律解題的步驟。（5）聯(lián)合運用質(zhì)點和質(zhì)點系的普遍定理（動量定理、動量矩定理和動能定理）求解比較復雜的問題。教學過程的組織第1學時講授力的功。首先通過力的功的定義（圖13-1），引入元功的概念，給出力在全路程上作的功。然后介紹重力的功（圖13-2）、彈性力的功（圖13-3、13-4）、定軸轉動剛體上作用力的功（圖13-4）、平面運動剛體上力系的功（圖13-6）等幾種常見力所作的功的計算方法。第2學時講授質(zhì)點和質(zhì)點系的動能。首先介紹質(zhì)點的動能和動能單位。然后介紹質(zhì)點系的動能（平移剛體的動能、定軸轉動剛體的動能（圖13-7）、平面運動剛體的動能（圖13-8、13-9）的計算方法

17、。第3學時講授動能定理。重點介紹質(zhì)點的動能定理（質(zhì)點動能定理的微分形式、質(zhì)點動能定理的積分形式）、質(zhì)點系的動能定理（質(zhì)點系動能定理的微分形式、質(zhì)點系動能定理的積分形式）和理想約束及內(nèi)力作功。通過例13-1（求彈簧的最大壓縮量）、例13-2（求圓柱中心C經(jīng)過路程s時的速度與加速度）、例13-3（求沖斷試件需用的能量），總結應用動能定理解題的5個步驟。重點講解例13-2（卷揚機鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱由靜止沿斜坡上拉）第4學時講授功率功率方程機械效率。主要介紹功率、功率方程和機械效率有關定義和概念。通過功率的定義，介紹作用在轉動剛體上的力的功率的計算方法及功率單位。然后由質(zhì)點系動能定理的微分形

18、式導出功率方程，介紹機器功率包括的輸入功率、無用功率（損耗功率）和有用功率（輸出功率）三部分功率的定義及其計算方法。最后介紹機器的機械效率的定義，通過例13-4（問允許切削力的最大值為多少）、例13-5（試建立此系統(tǒng)的運動微分方程）講授其計算方法。第5學時講授勢力場勢能機械能守恒定律。介紹勢力場和勢能的概念，重點講解重力場中的勢能、彈性力場中的勢能、萬有引力場（選講）中的勢能的計算方法。重點講授機械能守恒定律，通過演算例13-6（求此后鋼索的最大張力）、例13-7（求擺的角速度與角的關系），總結應用機械能守恒定律解題步驟。對于勢力場的其他性質(zhì)可以簡略介紹。第6學時講授普遍定理的綜合應用舉例。通

19、過講解例13-8（建立例12-12中圓輪質(zhì)心的運動微分方程）、例13-9（試求重物下降h時的速度、加速度以及滾輪與地面間的摩擦力）、例13-10（求桿剛剛達到地面時的角速度和地面約束力），介紹應用普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法，在求解比較復雜的問題時，往往需要根據(jù)各定理的特點聯(lián)合應用。討論作業(yè)習題的安排討論作業(yè)：（1）思考題13-1：摩擦力可能做正功嗎？舉例說明。（2）思考題13-2：三個質(zhì)量相同的質(zhì)點，同時由點A以大小相同的初速度v0拋出，但其方向各不相同，如圖13-27所示。如不計空氣阻力，這三個質(zhì)點落到水平面H-H時，三者的速度大小是否相等？三者重力的功是否相等？三者重力的沖量是否相等？（3）思考題13-3：均值圓輪無初速地沿斜面純滾動，輪心降落同樣高度而達到水平面，如圖13-28所示。忽略滾動摩阻和空氣阻力，問達到水平面時，輪心的速度v與圓輪半徑大小是否相關？當輪半徑趨于零時，與質(zhì)點滑下結果是否一致？輪半徑趨于零，還能只滾不滑嗎？（4）思考題13-9：兩個均值圓盤