高中數學必修內容復習(15)―探索性問題

1、高 中 數 學 必 修 內容 復 習 （15）探索性問題一、選擇題 （本題每小題5 分，共 60 分）1集合 A a，b，c ，集合 B 1，0，1 ，f是 A 到 B 的映射，且滿足條件 f(a)+f(b)+ f(c)=0 ，這樣的映射共有（）A 6 個B 7 個C 8 個D 9 個2 在ABC 中， sinAsinB是 AB 成立的（）A 充分非必要條件B必要非充分條件C 充要條件D既不充分也不必要條件3直線 xy1 與橢圓 x2y2相交于A、B兩點，該橢圓上點，使得APB的面43161P9積等于 3，這樣的點P 共有（）A 1 個B 2 個C 3 個D 4 個4設數集 Mx mxm3x

2、n1x n，且 M 、N 都是集合 x 0x 1, N34的子集，如果把 ba 叫做集合 x a xb 的“長度”，那么集合 MN 的“長度”的最小值是（）A 1B 2C 1D 53312125PQ 是異面直線 a，b 的公垂線， ab，Aa，Bb，C 在線段 PQ 上（異于 P,Q ），則 ABC的形狀是（）A 銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D三角形不定6用一張鋼板制作一容積為4m3 的無蓋長方體水箱，可用的長方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長寬的尺寸如各選項所示，單位均為m），若既要夠用，又要所剩最少，則應選鋼板的規(guī)格是（）A 2 5B 2 5.5C 2 6.1D 3 5第1頁共 14頁7

3、算機是將信息 成二 制數 行 理的，二 制即“逢2 進 1”，如（ 1101） 2表示二 制數 ,將它 成十 制形式是1 23+1 22+0 21+120=13，那么將二 制數（1111） （ 2004 個 1） 成十 制形式是（）2A 2 2004 2B 2 2003 2C 2 2004 1D 2 2003 18數列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第 1000 的 是（）A 42B 45C 48D 51在(1+ x)2+(1+ x)6+(1+ x)7 的展開式中，含x4 的系數是等差數列an=3n 10 的 （）9A 第 2 項B第 11 項C第 20 項

4、D第 24 項10已知集合 A= x|x2 2x 30,B=x|x2 +ax+b 0 ，若 A B=R ，A B=（ 3，4 有（）A a=3,b=4B a=3,b= 4C a= 3,b=4D a= 3,b= 4不等式22x a a的解集是（）ax 0)11+(A |x0 或x 5B | a xax2x a4C x|0 xaD x| ax 5 a 或 0 xa4x2y 21 的 A 1A2，短 B1B 2，將坐 平面沿y 折成一個二面角，使12 34A 1 點的平面 B1 A2B 2 上的射影恰好是 的右焦點， 此二面角的大小 （）A 30B 45C 60D 75二、填空 （本 每小 4 分，

5、共 16 分）13已知定點 A( 2， 3 ),F 是 x 2+ y 2=1 的右焦點，點 M 在 上移 ， 當|AM|+16122|MF| 取最小 ，點M 的坐 是.14 若(x2 1)n 的 展開式中含x 的 第 6 ， (1 x+2 x2)n=a0+a1x+a2 x2 + +a2nx2n ,則xa1+a2 +a3 + +a2n=.第2頁共 14頁15定義“等和數列” ：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.已知數列 an 是等和數列，且a1 2 ，公和為 5，那么 a18的值為 _，這個數列的前n 項和 Sn 的計算公

6、式為 _ .16定義集合 A 和 B 的運算： ABx xA, 且 xB .試寫出含有集合運算符號“”、“ ”、“”，并對任意集合A 和 B 都成立的一個等式：_.三、解答題 （本大題共6 小題，共74 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）：17（本小題滿分12 分）已知函數fxxk 2k 2kZ，且 f (2)f (3)( )（ 1）求 k 的值；（ 2）試判斷是否存在正數p ，使函數 g (x)1p f (x) 2 p 1 x 在區(qū)間 1,2上的值域為4,17.若存在，求出這個p 的值；若不存在，說明理由 .8第3頁共 14頁18（本小題滿分12 分）已知函數f(x)=( x a)

7、(xb)(x c)（ 1）求證： f (x)=(xa)(xb) (xa) (xc) (xb) (x c)；（ 2）若 f(x)是 R 上的增函數，是否存在點 P，使 f(x)的圖像關于點 P 中心對稱？如果存在，請求出點 P 坐標，并給出證明；如果不存在，請說明理由第4頁共 14頁19（本小題滿分12 分）已知奇函數fx 的定義域為全體實數，且當 x0 時， f x0 ，問是否存在這樣的實數，使得fcos23f42cosf0 對所有的0,均成立？若存在，則求出所有適合條件的實數；若不存在，試說明理由.2第5頁共 14頁20（本小題滿分12 分）在 ABC 中， A， B， C 的對邊分別為a,

8、b,c，且 b,a,c 成等差數列， bc，已知 B( 1,0),C(1,0) 。（ 1）求頂點A 的軌跡 L ；（ 2）是否存在直線m，使 m 過點 B 并與曲線L 交于不同的兩點P、Q，且 |PQ|恰好等于原點到直線m 的距離的倒數？若存在，求出m 的方程，若不存在，說明理由.第6頁共 14頁21（本小題滿分12 分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P ABC 中， ABC=60 0，PA=AC= a，PB=PD=2a ,點 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.（ 1）證明 PA平面 ABCD ；（ 2）求以 AC 為棱， EAC 與 DAC 為面的二面角的大?。唬?3）在棱 PC 上是否

9、存在一點F，使 BF/ 平面 AEC ？證明你的結論.PEADBC第7頁共 14頁22（本小題滿分14 分）已知數列 an 中， a1=4， an+1= 4an2 ，是否存在這樣的數列 b n ，an 1nBa nC ，其中 A 、 B 、C 為實常數，使得 b n 是等比數列而不是等差數列？證明你b =anA的結論，并求 an 的取值范圍 .第8頁共 14頁答 案一、選擇題（每小題5 分，共 60 分）：(1).B(2).C (3).B (4).C (5).C (6).D (7).C (8).B (9).C (10).D (11).C (12).C二、填空題（每小題4 分，共 16 分）(1

10、3). (23 ,3 ) ；(14). 255 ；(15). 3當 n 為偶數時， Sn5 n ；當 n 為奇數時， Sn5 n1222(16). A( AB)( AB) B ； B ( AB )( AB ) A ；( A B ) ( A B) ( A B ) ( B A) ；三、解答題（共74 分，按步驟得分）17.解：（ 1） f (2)f (3) ，k 2k20 ，即 k 2k 20 ， kZ ，k或0 12 p 1221（ 2） f ( x) x2，g (x) 1 p x22 p 1 xp x4 p2 p4 p當2 p11,2 ，即 p1 ,時，2 p44 p 2117 , p2, g

11、 ( 1)4, g (2)14 p8第9頁共 14頁2 p12,時， p0，這樣的p 不存在。當2 p當 2 p1, 1 ，即 p0, 1時， g(1)17 , g (2)4 ，這樣的 p 不存在。2 p48綜上得，p2 .18. 解：（ 1） f(x)=(x a)(x b)(x c) 3（ a+b + )x2 (ab+bc+ac)x abcf (x)=3 x2 2(a+b + )x (ab+bc+ ac)= x2 ( a+b) x ab x2 (a+c)x ac x2 (b+c) x bc=(x a)( xb) (x a)(x c) (x b)(xc)（ 2） f(x)是 R 上的單調函數，

12、f (x) 0，對 xR 恒成立，即 3x2 2(a+b+c)x+(ab+bc+ca) 0 對 xR 恒成立 0, 4(a+b+c) 2 12(ab+bc+ca) 0， (ab) 2 (ac） 2 (b c)2 0， a=b=c f(x)=(x a)3 ， f(x)關于點 (a， 0)對稱證明如下：設點P(x， y)是f(x)=( x a)3 圖像上的任意一點，y=(xa) 3，點 P 關于點 (a， 0)對稱的點 P (2ax， y)， (2a x a)3=(2 a x)3= (x 2a)3= y ，點 P在函數 f(x)=( xa)3 的圖像上，即函數f(x)=( x a)3 關于點 (

13、a， 0)對稱19. 解：因為 fx在 R 上為奇函數，又在0,上是增函數所以 fx 在 R 上也是增函數，且f 00因為 fcos23f 42cosf 00所以fcos23f42 cosf 2cos4故 cos232cos4cos2cos22 0第10頁共14頁要使不等式對任意0,恒成立，只要大于函數 y2cos2的最大值即可。22cos令 tcos0,1 ，則求函數 y2t 2t0,1的最大值，2t2t2t24t2方法 1（求導） y202t2t解得： t22，因 t0,1t22當 0t22，時， y0 ；當 1t22 時， y0故 ymax422 ，因此422,方法 2（判別式）把函數變

14、形為t2yt2 y20設 gtt 2yt2 y2，即 gt0在0,1 上有解當 y0時，必須g00y11，矛盾；g10且 y當 0y2時，g00或g20y 28y 8 0y28y 8 0g 00或g20y422 或 y422此時 ymax 4 22 ；y28 y80當 y2時，必須g00y1且 y1 ，矛盾；g 102t264t2 t22方法 3（不等式）y42t2t2t2 t42 2 ，此時 2t2t220,12t20. 解：（ 1）由題設知 b+c=2a ， |BC|=2,|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4,又 b c，故由橢圓的定義知，點A 的軌跡 L 是左半個橢圓（去掉左

15、頂點），第11頁共 14頁22軌跡方程為： xy+=1 （ 2x 0 ）。4 3（ 2 ）假設存在直線 m 滿足題意，當 m 斜率存在時，設m 的方程為 y=k( x+1) ，把它代入橢圓方程，消去 y 得 (4k 2+3) x2+8k 2 x12+4k 2=0 。設 P( x1 ,y1)Q( x2 ,y2 )，則 x1 +x2 =8k 2， x1 x2 =4k212 ，4k 234k 23又x1 0,x20 ，即 x1x20, k23，|PQ|=(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 = 12(k 21)4k 23設原點 O 到直線 m 的距離為 d，則 d=| k |k 2,1|P

16、Q|=1,12(k 21)=k 21 ，得 k2=153333 ，d4k 23| k |32這與 k2 3 矛盾，表明直線m 不存在。當斜率不存在時，m 的方程為 x= 1 ，此時 |PQ|=|y 1 y2 |=3,d=1 ，|PQ| 1 ，d所以不滿足題設。綜上，滿足題設的條件不存在。21. 證明 ： 因為底面 ABCD 是菱形， ABC=60 ，所以 AB=AD=AC=a，在 PAB 中，由 PA2+AB 2=2a2=PB2知 PA AB.同理， PA AD ，所以 PA平面 ABCD.（）解作 EG/PA 交 AD 于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD. 作 GH AC

17、 于 H，連結 EH ，則 EH AC ， EHG 即為二面角的平面角 .又 PE : ED=2 : 1 ，所以123.EGa, AGa,GH AG sin 603a33從而 tanEG3 ,30 .GH3（）解法一以 A 為坐標原點，直線AD 、 AP 分別為 y 軸、 z 軸，過 A 點垂直平面PAD 的直線為x 軸，建立空間直角坐標系如圖.由題設條件，相關各點的坐標分別為A(0,0,0), B(3 a,1 a,0), C (3 a, 1 a,0).222221a).D (0, a,0), P( 0,0, a), E(0,a,33第12頁共14頁所以AE(0, 2 a, 1 a), AC(

18、3 a, 1 a,0).3322AP(0,0, a), PC(3 a, 1 a, a).22BP31(a,a, a).22設點 F 是棱 PC 上的點， PFPC(3 a, 1 a ,a), 其中 01, 則22BF BP PF (3 a, 1 a,a) ( 3 a , 1 a , a )2222(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 BF1 AC 2 AE 得223a(1)32a 1 ,11 ,21)122 ,即 142 ,a(1a 1a12233a(1)1 a2 .11 2 .33解得1 , 11 , 23 .即1 時， BF1 AC3 AE.222222亦即， F 是 PC 的中點時，BF 、 AC 、 AE 共面 .又 BF 平面 AEC ，所以當 F 是棱 PC 的中點時， BF/ 平面 AEC.解法二 當 F 是棱 PC 的中點時， BF/ 平面 AEC ，證明如下，證法一 取 PE 的中點 M ，連結 FM ，則 FM/CE. 由EM1 PE ED , 知 E 是 MD 的中點 .