高一數(shù)學(xué)教案：任意角的三角函數(shù)1

1、課題： 4.3 任意角的三角函數(shù)（二）教學(xué)目的：1. 理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).2. 理解并掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.教學(xué)重點(diǎn)： 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào), 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等教學(xué)難點(diǎn)： 正確理解三角函數(shù)可看作以“實(shí)數(shù)”為自變量的函數(shù)授課類型 ：新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1. 設(shè) 是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（ x,y ）22x2y20則 P 與原點(diǎn)的距離 rxy2. 比值 y 叫做的正弦記作：sinyrr比值 x 叫做的余弦記作：cosxrr比值 y 叫做的正切記作：tanyxx比值

2、 x 叫做的余切記作：cotxyy比值 r叫做的正割記作：secrxx比值 r叫做的余割記作：cscryyP(x, y)r以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù) .3. 突出探究的幾個(gè)問題：角是 “任意角”，當(dāng)=2k + (kZ) 時(shí)， 與的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) r0 而 x,y 的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定.第1頁共7頁定義域：yRr|k , kZsincscryxRr|k, k Zcossecrx2y|k ,k Ztanx2xcot|k , kZy4.

3、注意 :(1) 以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2) OP 是角 的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說明角是任意的 .(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin ”與“”的積 . 其余五個(gè)符號(hào)也是這樣 .(4) 定義中只說怎樣的比值叫做的什么函數(shù)，并沒有說的終邊在什么位置( 終邊在坐標(biāo)軸上的除外) ，即函數(shù)的定義與的終邊位置無關(guān).(5) 比值只與角的大小有關(guān).二、講解新課：1. 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)規(guī)律：第一象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：.x0,

4、 y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：.x0, y0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0記憶法則：第一象限全為正,二正三切四余弦.第2頁共7頁sin為正全正csctan為正coscot為正secsin0sin0cos0tan0cot0sin0sin0cos0tan0cot0y2. 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等例如 390和 -330 都與 30終邊位置相同，由三角函數(shù)定義可知它們的三角函數(shù)值相同，即sin390 =sin30 cos390 =cos3

5、0240 00xsin(-330)=sin30cos(-330 )=cos30 -510 0誘導(dǎo)公式一 （其中 kZ ）:用弧度制可寫成sin(k360 )sinsin(2k)sincos(k360 )coscos(2k)costan(k360 )tantan(2k)tan這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02間角的三角函數(shù)值問題三、講解范例：例 1 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)(1)cos250 （2） sin()（ 3） tan （ 672）(4) tan(11 )43解： (1) 250是第三象限角 cos250 0(2) 是第四象限角，sin() 044(3)tan （ 67

6、2） tan （ 48 2 360） tan48 而 48是第一象限角，tan （ 672） 0(4)tan 11tan( 52 )tan 5333而 5是第四象限角，tan 110 .33例 2sin0求證角 為第三象限角的充分必要條件是0tan證明：必要性：是第三象限角，sin0tan0第3頁共7頁充分性： sin 0， 是第三或第四象限角或終邊在軸的非正半軸上 tan 0， 是第一或第三象限角 . sin 0， tan 0 都成立 . 為第三象限角 .例 3 求下列三角函數(shù)的值(1)sin1480 10 (2) cos 9（ 3） tan( 11 ) .46解 :(1)sin1480 1

7、0 sin （ 40 10 4 360） Sin40 10 0.6451(2) cos 9cos(2 )cos24442(3) tan( 11) tan(2) tan63 .663例 4 求值： sin(-1320 )cos1110 +cos(-1020 )sin750 +tg4950 解：原式 =sin(-4 360+120 ) cos(3 360 +30 )+cos(-3 360 +60 )sin(2 360 +30)+tg(360 +135 ) =sin120 cos30 +cos60 sin30 +tg135 =3311 -1=02222四、課堂練習(xí)：1.確定下列各式的符號(hào)(1)sin

8、100 cos240 (2)sin5+tan5分析 :由角所在象限分別判斷兩個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào),再確定各式的符號(hào).解 (1) 100是第二象限的角,240是第三象限的角. sin100 0,cos240 0,于是有 sin100 cos2400.(2)35 2 , 5 是第四象限的角2 sin5 0,tan50,于是有 sin5+tan5 0.sin xcos x2. .x 取什么值時(shí) ,有意義 ?分析：因?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域?yàn)?R，故只要考慮正切函數(shù)的定義域和分式的分母不能為零 .第4頁共7頁tan x0xk (k Z)解 :由 意得xk (k Z)解得 :k ( k Z)x22k(kZ

9、)即 : x2所以 ,當(dāng) xk( kZ ) ， sin xcos x 有意 .x x2tan x3若三角形的兩內(nèi)角， 足 sin cos0， 此三角形必 （B ）A 角三角形B 角三角形C 直角三角形D 以上三種情況都可能4若是第三象限角， 下列各式中不成立的是（B ）A： sin+cos0B ： tansin0C： coscot0D： cot csc05已知 是第三象限角且 cos0 ， 2是第幾象限角？2解： (2k1)(2k 1)2(k Z )3 kk( kZ )則是第二或第四象限角2242又 cos0則是第二或第三象限角22必 第二象限角2sin 216已知1 ， 第幾象限角？2解：

10、由 1sin 21 sin2022k2 2k +(k Z ) kk +2 第一或第三象限角五、小 本 我 重點(diǎn) 了兩個(gè)內(nèi)容， 一是三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，二是一 公式，兩者的作用分 是：前者確定函數(shù) 的符號(hào)，后者將任意角的三角函數(shù)化 0到 360角的三角函數(shù)， 兩個(gè)內(nèi)容是我 日后學(xué) 的基 .六、 后作 ：1. 確定下列三角函數(shù) 符號(hào)：第5頁共7頁2. 化簡 tan 2cot 211.sin 2cos2 acos2sin 2解法一： ( 定義法 )設(shè)點(diǎn) P( x, y) 是角 終邊上的一點(diǎn)， 且 | OP|=r,則將 sin = y ,cos = x ,tanrr = y ,cot = x 代

11、入得：xy( y ) 2( x )2rr( y 4x 4 )r 2r 2 ( y 2x2 )原式 =xy)2)2yx(x 2 y 2 ( y 2x 2 )x y 2(22xy)( )rr2r 22x 2cos2解法二： ( 化弦法 )原式 = (sin)2(cos)2sin 2cos2cossinsin 2cos2sin 2cos2sin 2cos2sin 2cos22sin 2cos2sin 2cos2cos2解法三： ( 換元法 )設(shè) cos 2=a, 則 sin 2 =1- a,tan 2 =1 a , 代入得a第6頁共7頁1aa(1 a) 2a 2原式a1 a111 2a(1a)aa1

12、aa(1 a)(12a)a(1 a)112a22a(1a)a(1a)acos2評(píng)注：“切化弦”與“弦化切”是三角變形的基本方法，而通過定義、換元方法，使得三角式的化簡問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡問題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想 .七、板書設(shè)計(jì) （略）八、課后記：已知 sin3+cos 3=1, 求下列各式的值：(1)sin+cos ； (2)sin4 +cos 4分析：對(duì)已知式的左邊利用代數(shù)公式進(jìn)行變形，使原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin +cos 的方程，然后求解 .(1) 解法一： (sin +cos) 3=sin 3+3sin 2cos +3sin cos 2+cos3=(sin3+cos 3)+3(1-c

13、os2)cos +3(1-sin2)sin 33=1+3cos-3cos +3sin -3sin33=1+3(sin +cos )-3(sin+cos )=3(sin +cos )-2. (sin +cos ) 3-3(sin +cos )+2=0.令 sin +cos =t , 則 t 3-3 t +2=0( t -1) 2( t +2)=0. t =1 或 t =-2即 sin +cos =1 或 sin +cos =-2( 舍去 ).解 法 二 ： sin 3 +cos 3 =(sin +cos )(sin2 -sin cos +cos2 )=(sin +cos )(1-sin cos ). (sin +cos )(1-sincos )=1.注意到 sin cos 可用 sin +cos 表示，并令sin +cos =t , 則 sin cos = t 21 , 故上式化為