數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結(jié)合近幾年的高考情況，對數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法給以歸納總結(jié)。一、 累加法形如 (n=2、3、4.) 且可求，則用累加法求。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例1. 在數(shù)列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通項(xiàng)公式。 解： 這n-1個(gè)等式累加得：= 故 且也滿足該式 ().例2在數(shù)列中，=1， (),求。 解：n=1時(shí), =1以上n-1個(gè)等式累加得=，故 且也滿足該式 ()。二、 累乘法形如 (n=2、3、4)，且可求，則用累乘法求。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3在數(shù)列

2、中，=1，求。解：由已知得 ，分別取n=1、2、3(n-1),代入該式得n-1個(gè)等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以時(shí)，故且=1也適用該式 ().例4已知數(shù)列滿足=，求。解：由已知得，分別令n=1，2，3，.(n-1),代入 上式得n-1個(gè)等式累乘，即= 所以，又因?yàn)橐矟M足該式，所以。三、構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列既不等差，也不等比。若把中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或= 其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。例5、（06福建理22）已知數(shù)列滿足=1，= ()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等

3、比數(shù)列即= 整理得：=使之滿足= p=1即是首項(xiàng)為=2，q=2的等比數(shù)列= = 例6、（07全國理21）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，=，n=2、3、4（）求的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即= 整理得：=滿足=得 = p=-1 即新數(shù)列首項(xiàng)為，的等比數(shù)列 = 故 =+1例7、（07全國理22）已知數(shù)列中，=2，= （）求的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列= 整理得：=+使之滿足已知條件 =+2解得 是首項(xiàng)為 的等比數(shù)列，由此得= =例8、已知數(shù)列中，=1，=，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個(gè)數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的

4、系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即= 整理得：=滿足 = 得 新數(shù)列是首項(xiàng)為=，q=2的等比數(shù)列 = =例9、（07天津文20）在數(shù)列中，=2，= ，求數(shù)列的通項(xiàng)。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則= 整理得：=滿足=，即得新數(shù)列的首項(xiàng)為，q=4的等比數(shù)列 四、構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，從而間接求出。例10（07石家莊一模）數(shù)列滿足且。求、 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由。解：由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假設(shè)

5、存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即= = = 該數(shù)為常數(shù)= 即為首項(xiàng)，d=1的等差數(shù)列=2+=n+1 =例11、數(shù)列滿足= ()，首項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：= 兩邊同除以得=+1數(shù)列是首項(xiàng)為=1，d=1的等差數(shù)列=1+ 故=例12數(shù)列中，=5，且 （n=2、3、4），試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即 整理得+3l，讓該式滿足取，得，d=1 ，即是首項(xiàng)為，公差d=1的等差數(shù)列。 故 =例13、（07天津理21）在數(shù)列中，=2，且 （）其中0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得 即是首項(xiàng)為，公差d=1的等差數(shù)列。 。五、 取倒數(shù)法有些關(guān)于

6、通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。例14、已知數(shù)列，= ， ，求=？解：把原式變形得 兩邊同除以得是首項(xiàng)為，d=的等差數(shù)列故。例15、（06江西理22）已知數(shù)列滿足，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：把原式變形成 兩邊同除以得即 構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q= 的等比數(shù)列即整理得： 滿足式使 數(shù)列是首項(xiàng)為，q= 的等比數(shù)列 。例16（06江西文22）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：把原式變形為兩邊同除以得 移項(xiàng)得：所以新數(shù)列是首項(xiàng)為 q=2的等比數(shù)列。故 解關(guān)于的方程得。六利用公式求通項(xiàng)有些數(shù)列

7、給出的前n項(xiàng)和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。例17.(07重慶21題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足1且6= n 求的通項(xiàng)公式。解：由=解得=1或=2，由已知1，因此=2又由=得=0 0 從而是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列的前k項(xiàng)和為，且=(k)其中=1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)k=1時(shí)，=及=1得=2； 當(dāng)k2時(shí)，由=得=20=2從而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m) 故=k (k).例19.(07福建文21)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

8、=1， ( n),求的通項(xiàng)公式。解：由=1，=2，當(dāng)n2時(shí)=得=3，因此是首項(xiàng)為=2，q=3的等比數(shù)列。故= (n2),而=1不滿足該式 所以=。例20.(06全國理22)該數(shù)列的前n項(xiàng)和 (n=1、2、3) 求的通項(xiàng)公式。解：由 (n=1、2、3)得= 所以=2 再= （n=2、3）將和相減得：=整理得 （n=2、3）因而數(shù)列是首項(xiàng)為,q=4的等比數(shù)列。即=，因而。七重新構(gòu)造新方程組求通項(xiàng)法有時(shí)數(shù)列和的通項(xiàng)以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構(gòu)造關(guān)于和的方程組，然后解新方程組求得和。例21.（07遼寧第21題）：已知數(shù)列，滿足=2，=1且（）,求數(shù)列，的通項(xiàng)公式。解析：兩式相加得 則是首

9、項(xiàng)為，d=2的等差數(shù)列，故=3+2(n-1)=2n+1(1)而兩式相減得= 則是首項(xiàng)為=1，q=的等比數(shù)列，故=(2)聯(lián)立(1)、(2)得 由此得，。分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而 再通過解方程組很順利求出、的通項(xiàng)公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例22.在數(shù)列、中=2，=1，且（n）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式。解析：顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列其中為的常數(shù)。則=+=令得=2或=3 則為首項(xiàng)，q=+2的等比數(shù)列。即=2時(shí)，是首項(xiàng)為4，q=4的等比數(shù)列，故=4=； =3時(shí)，是首項(xiàng)為5，q=5的等比數(shù)列，故=5=聯(lián)立二式解得，。注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法解：構(gòu)造新數(shù)列，則=+=令得=1或=即=1時(shí)，新數(shù)列中，=（） 新數(shù)列是首項(xiàng)為，d=2的等差數(shù)列 =(1)當(dāng)=時(shí)，新數(shù)列是首項(xiàng)為=1，q=