第06講-菱形的性質與判定-教案

1、 第06講 菱形 溫故知新我們之前學習了平行四邊形，下面簡單的回顧一下：1、四邊形平行四邊形四邊形 2、平行四邊形的性質：邊： 角： 對角線：3、我們又學習了哪種特殊的平行四邊形？滿足什么條件即可？它相比平行四邊形而言，特殊在哪？ 課堂導入探究活動：讓我們一起通過折紙、剪紙的方法得到菱形。我們一起這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.觀察得到的菱形，猜想菱形有什么性質？邊：菱形的兩組對邊分別平行。（這是平行四邊形具有的性質）菱形的四條邊都相等。（這是菱形特有的性質，如何進行證明呢？）角：菱形的兩組對角分別相等。菱形的鄰角互補。對角線：菱形的對角線互相平分、垂直

2、，且每條對角線平分一組對角。知識要點一菱形的定義與性質1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。注意：（1）菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等。二者必須同時具備，缺一不可。（2）菱形的定義既是菱形的基本性質，也是菱形的基本判定方法。 2、性質： （1）菱形的四條邊都相等； （2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角； （3）菱形具有平行四邊形的一切性質； （4）菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在直線； （5）利用菱形的性質可證線段相等，角相等； （6）菱形的面積計算： 菱形的面積等于底乘高；菱形的面積等于對角線乘積的一半，對角線互相垂直的四邊形的

3、面積都可以用兩條對角線乘積的一半來進行計算。 典例分析例1、菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（）A對邊相等 B對角相等C對角線互相平分 D對角線互相垂直【解答】選D例2、如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，則DH等于（）A BC5 D4【解答】選A例3、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB=2，ABC=60，則BD的長為（） A2 B3 C D2【解答】選：D例4、如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6，過點O作OHAB，垂足為H，則點O到邊AB的距離OH等于（）A2 B C D【解答】四邊形ABCD是菱形，AC

4、=8，BD=6，BO=3，AO=4，AOBO，AB=5OHAB，AOBO=ABOH，OH=，故選D例5、如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為60的菱形，剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30或60【解答】四邊形ABCD是菱形，ABD=ABC，BAC=BAD，ADBC，BAC=60，BAD=180ABC=18060=120，ABD=30，BAC=60剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應為30或60故答案為30或60例6、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC=8，BD=6，OEBC，垂足為點E，則OE=【解答】四邊形ABCD為菱形，ACBD，OB=OD=BD

5、=3，OA=OC=AC=4，在RtOBC中，OB=3，OC=4，BC=5，OEBC，OEBC=OBOC，OE=故答案為例7、如圖，在菱形ABCD中，點E為AB的中點，請只用無刻度的直尺作圖（1）如圖1，在CD上找點F，使點F是CD的中點；（2）如圖2，在AD上找點G，使點G是AD的中點【解答】如圖所示：學霸說：（1）菱形具有平行四邊形的一切性質；（2）菱形的四條邊都相等；（3）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）掌握菱形的性質和三角形中位線定理。 舉一反三1、如圖，菱形ABCD的周長為24cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長等于（

6、）A3cm B4cm C2.5cm D2cm【解答】菱形ABCD的周長為24cm，AB=244=6cm，對角線AC、BD相交于O點，OB=OD，E是AD的中點，OE是ABD的中位線，OE=AB=6=3cm故選A2、如圖，在菱形ABCD中，BAD=120，點E、F分別在邊AB、BC上，BEF與GEF關于直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上若EGAC，AB=6，則FG的長為3【解答】四邊形ABCD是菱形，BAD=120，AB=BC=CD=AD，CAB=CAD=60，ABC，ACD是等邊三角形，EGAC，AEG=AGE=30，B=EGF=60，AGF=90，F(xiàn)GBC，2SABC=BCF

7、G，2（6）2=6FG，F(xiàn)G=3故答案為33、如圖，菱形ABCD中，E是對角線AC上一點（1）求證：ABEADE；（2）若AB=AE，BAE=36，求CDE的度數(shù)【解答】（1）證明：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，CAB=CAD，在ABE和ADE中，ABEADE（SAS）；（2）解：AB=AE，BAE=36，AEB=ABE=，ABEADE，AED=AEB=72，四邊形ABCD是菱形，ABCD，DCA=BAE=36，CDE=AEDDCA=7236=36知識要點二菱形的判定 判定的方法：1、（定義法）：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、（對角線）：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3、（邊）

8、：四條邊相等的四邊形是菱形。注意：（1）判定菱形時，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的；（2）判定菱形的方法：若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四邊都相等。 典例分析例1、如圖，將ABC沿BC方向平移得到DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）AAB=BC BAC=BCCB=60 DACB=60【解答】將ABC沿BC方向平移得到DCE，ACED，四邊形ACDE為平行四邊形，當AC=BC時，則

9、DE=EC，平行四邊形ACED是菱形故選：B例2、如圖，在ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若增加一個條件，使ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是（）AAB=AD BACBDCAC=BD DBAC=DAC【解答】選C例3、如圖，已知ABC，AB=AC，將ABC沿邊BC翻轉，得到的DBC與原ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B四條邊相等的四邊形是菱形C對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D對角線互相垂直的平分四邊形是菱形【解答】選B例4、如圖，分別以直角ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向ABC外作等邊ABD和等邊ACE，F(xiàn)

10、為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，ACB=90，BAC=30給出如下結論：EFAC；四邊形ADFE為菱形；AD=4AG；FH=BD；其中正確結論的是（）A BC D【解答】正確，正確；不正確；正確，選：C例5、如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，且直線AC是對稱軸，ABCD，則下列結論：ACBD；ADBC；四邊形ABCD是菱形；ABDCDB其中正確的是（只填寫序號）【解答】因為l是四邊形ABCD的對稱軸，ABCD，則AD=AB，1=2，1=4，則2=4，AD=DC，同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四邊形ABCD是菱形根據(jù)菱形的性質，可以得出以下結論：所以ACBD，正確；

11、ADBC，正確；四邊形ABCD是菱形，正確；在ABD和CDB中，ABDCDB（SSS），正確故答案為：例6、如圖，在ABC中，ACB=90，D，E分別為AC，AB的中點，BFCE交DE的延長線于點F（1）求證：四邊形ECBF是平行四邊形；（2）當A=30時，求證：四邊形ECBF是菱形【解答】證明：（1）D，E分別為邊AC，AB的中點，DEBC，即EFBC又BFCE，四邊形ECBF是平行四邊形（2）ACB=90，A=30，E為AB的中點，CB=AB，CE=ABCB=CE又由（1）知，四邊形ECBF是平行四邊形，四邊形ECBF是菱形 舉一反三1、如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G

12、、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）AAB=AD BAC=BDCAD=BC DAB=CD【解答】選：D2、如圖，已知AD是ABC的角平分線，點E、F分別是邊AC、AB的中點，連接DE、DF，要使四邊形AEDF稱為菱形，還需添加一個條件，這個條件可以是AB=AC、B=C或AE=AF（答案不唯一）【解答】由題意知，可添加：AB=AC則三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性質知，頂角的平分線與底邊上的中線重合，即點D是BC的中點，DE，EF是三角形的中位線，DEAC，DFAB，四邊形AEDF是平行四邊形，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AB，A

13、C的中點，AE=AF，平行四邊形AEDF為菱形故答案為：AB=AC、B=C或AE=AF（答案不唯一）3、如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且AF=CE（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請回答并證明你的結論【解答】（1）ED是BC的垂直平分線，EB=EC，EDBC，3=4，ACB=90，F(xiàn)EAC，1=5，2與4互余，1與3互余，1=2，AE=CE，又AF=CE，ACE和EFA都是等腰三角形，5=F，2=F，在EFA和ACE中，EFAACE（AAS），AEC=EAF，AFCE，四邊形ACE

14、F是平行四邊形；（2）當B=30時，四邊形ACEF是菱形證明如下：B=30，ACB=90，1=2=60，AEC=60，AC=EC平行四邊形ACEF是菱形課堂闖關 初出茅廬 1、如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則ABD的周長等于（）A18 B16 C15 D14【解答】選B2、如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，若AC=6，BD=4，則菱形ABCD的周長是（）A24 B16C2 D4【解答】選：D3、某校的校園內有一個由兩個相同的正六邊形（邊長為2.5m）圍成的花壇，如圖中的陰影部分所示，校方先要將這個花壇在原有的基礎上擴建成一個菱形區(qū)域如圖所示，并在新擴充的部分種上草坪，則擴

15、建后菱形區(qū)域的周長為（）A20m B25mC30m D35m【解答】如圖，花壇是由兩個相同的正六邊形圍成，F(xiàn)GM=GMN=120，GM=GF=EF，BMG=BGM=60，BMG是等邊三角形，BG=GM=2.5（m），同理可證：AF=EF=2.5（m）AB=BG+GF+AF=2.53=7.5（m），擴建后菱形區(qū)域的周長為7.54=30（m），故選：C4、如圖，兩個完全相同的三角尺ABC和DEF在直線l上滑動，可以添加一個條件，使四邊形CBFE為菱形，下列選項中錯誤的是（）ABD=AE BCB=BFCBECF DBA平分CBF【解答】選：A5、如圖，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、AC的中點

16、若四邊形ADEF是菱形，則ABC必須滿足的條件是（）AABAC BAB=ACCAB=BC DAC=BC【解答】選B6、如圖，在菱形ABCD中，AB=4，線段AD的垂直平分線交AC于點N，CND的周長是10，則AC的長為6【解答】如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，AB=CD=4，MN垂直平分AD，DN=AN，CND的周長是10，CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，AC=6，故答案為：6 優(yōu)學學霸 1、如圖，已知ABC的頂點B、C為定點，A為動點（不在直線BC上），B是點B關于直線AC的對稱點，C是點C關于直線AB的對稱點，連接BC、CB、BB、CC（1）猜想線段BC與CB的

17、數(shù)量關系，并證明你的結論；（2）當點A運動到怎樣的位置時，四邊形BCBC為菱形？這樣的位置有幾個？請用語言對這樣的位置進行描述（不用證明）；（3）當點A在線段BC的垂直平分線（BC的中點及到BC的距離為的點除外上運動時，判斷以點B、C、B、C為頂點的四邊形的形狀，畫出相應的示意圖（不用證明）【解答】（1）猜想：BC=CBB是點B關于直線AC的對稱點，AC垂直平分BBBC=BC，同理BC=BC，BC=CB（2）要使BCBC是菱形根據(jù)菱形的性質，對角線互相垂直平分B是點B關于直線AC的對稱點，C是點C關于直線AB的對稱點AC垂直平分BBAB垂直平分CC，BB、CC應該同時過A點BAC=90，只要A

18、BAC即可滿足要求，這樣的位置有無數(shù)個（3）如圖，當A是BC的中點時，沒有形成四邊形當A到BC的距離為時，ABCACB=30，BAD=CAD=60，BBA=BBA=BAD=30，CCA=CCA=CAD=30，BBC=BCB=BBC=60，當A到BC的距離為時，BBC是等邊三角形當BC的中點及到BC的距離為的點除外時，BOC=BOC，OB=OC，OB=OC，OBC=OCB=OBC=OCB，BCBC，BC不平行CBBC=CB，四邊形BCBC為等腰梯形2、已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D點，在線段AD上任取一點P（A點除外），過P點作EFAB，分別交AC，BC于E，F(xiàn)點，作PM

19、AC，交AB于M點，連接ME（1）求證：四邊形AEPM為菱形；（2）當P點在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？【解答】（1）證明：EFAB，PMAC，四邊形AEPM為平行四邊形AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP，四邊形AEPM為菱形（2）解：P為EF中點時，S菱形AEPM=S四邊形EFBM四邊形AEPM為菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四邊形EFBM為平行四邊形作ENAB于N，則S菱形AEPM=EPEN=EFEN=S四邊形EFBM自我挑戰(zhàn) 1、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為BC的

20、中點，則下列等式中一定成立的是（）AAB=BE BAC=2ABCAB=2OE DAC=2OE【解答】選C2、如圖所示，在菱形ABCD中，BAD=70，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，則CDF等于（）A75 B70C60 D55【解答】選A3、如圖，菱形ABCD中，A=60，周長是16，則菱形的面積是（）A16 B16C16 D8【解答】選D4、如圖，等邊ABC沿射線BC向右平移到DCE的位置，連接AD，BD，則下列結論：AD=BC=CE；BD，AC互相平分；四邊形ACED是菱形；四邊形ABED的面積為AB2其中正確的個數(shù)是（）A4個 B3個 C2個 D1個【解答】正確，選A5、如圖，下列選項中能使平行四邊形AB