第3章運(yùn)動(dòng)定理1動(dòng)量

1、力學(xué)易凡第三章牛頓力學(xué)的運(yùn)動(dòng)定理（一）動(dòng)量3.11.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理= m drp = mv動(dòng)量的定義dt動(dòng)量的單位Kg.m/ s量綱式 LMT-1 = ma =d (mv )=dp由牛頓第二定律FdtdtFdt = dp或動(dòng)量定理（微分形式）意義：力的時(shí)間積累效應(yīng)導(dǎo)致動(dòng)量發(fā)生變化。F=dpdtFdt= dp2.力的沖量（impulse）力的時(shí)間積累稱為沖量 dI= Fdt = dp （動(dòng)量定理的微分形式）元沖量沖量定義（動(dòng)量定理的積分形式）動(dòng)量定理的意義：力F作用于質(zhì)點(diǎn)m的時(shí)間積累（沖量導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量變化。tttI= tdI= tFdt = td p =

2、p(t ) - p(t0 )000動(dòng)量定理的說明動(dòng)量P和沖量I為矢量，在直角坐標(biāo)系描述為p = pxi+ py j + pzk = mvxi+ mvy j + mvzkI= Ixi+ I y j + Izk= ( px - px 0 )i+ ( py - py0 ) j + ( pz- pz 0 )k其中tIx= tFxdt = mvx - mvx 00tI y =Iz=Fydt = mvy - mvy0Fzdt = mvz - mvz 0t0tt0動(dòng)量定理的說明上述形式僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量tI= tFdt = m(v - v0 )由沖量定義0沖量是過程量，當(dāng)慣性系

3、選定后，它與參照點(diǎn)選擇無關(guān)。動(dòng)量定理形式特征：（過程量）=（狀態(tài)量的增量）動(dòng)量定理常用于碰撞過程。動(dòng)量定理的說明碰撞一般泛指物體間相互作用時(shí)間很短（瞬間）的過程。在這短暫過程中，相互作用力往往很大而且隨時(shí)間改變。這種 瞬間過程，也稱作沖擊過程，作用力通常叫做沖力。沖擊過程的特征：相比沖擊力，某些常規(guī)作用力，如重力，摩擦力等可忽略沖擊力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用的效果是速度發(fā)生陡變，位移可以不計(jì)。p碰撞過程的平均沖擊力：rFdt r It-t0trrrp- p0tF =0t-tt-t00【例3.1】質(zhì)量 m的壘球以速率 v=140g=40m/s沿水平方向飛向擊球手，被擊后以相同速率沿仰角 60o飛出。求棒對(duì)壘球

4、的平均打擊力。設(shè)棒和球的接觸時(shí)間為Dt=1.2ms。因打擊力很大，所以由碰撞引起的質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變，基本上由打擊力的沖量決定。重力、阻力的沖量可以忽略。 r rrFDt = mv2- mv1 r rrmv2FDt = mv- mvF Dt21v= v= v2160o30o1F= 2mv cos 30mvDtm=140g= 20.1440cos 301.210-3= 8.1103 (N)平均打擊力約為壘球自重的5900倍！在碰撞過程中，物體之間的碰撞沖力是很大的?！纠?.2】一圓錐擺，質(zhì)量為m的小球繞著鉛直軸以轉(zhuǎn)動(dòng)，擺繩與軸成角。a、b為圓周直徑的兩點(diǎn)。求小球由ab的過程中，繩的張力施于小球的沖量

5、。zbb Tmyootytaaxxmg【解】建立如圖的坐標(biāo)系oxyz 。張力T為Tx TzT = Txi + Ty j + Tzk= -T sinq coswt，Ty = -T sinq sinwt= T cosqp /wp /wIx= 0Tdt =0-T sinq coswtdtp /w= -T sinq 0coswtdt = 0p /wp /wIy = 0Tydt =0-T sinq sin wtdtTwp /wT sinqsin wtdt =sinq (cosp - cos 0)= -0= - 2T sinqwT cosqdt = T cosqp /wp /w00I=T dt =wzzm

6、gcosqT cosq= mgT=or= p= - 2 mg tanq，I I= 0，ImgwwxyzI= - 2 mg tanq j + pmgkwwmgw4 tan2 q + pI=+ I=222Iyz三質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1.由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1和m2構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系t0時(shí)刻，m1、m2的速度和動(dòng)量分別為, p10 =m1v10、p20 = m2v20v10、v20t時(shí)刻，m1、m2的速度和動(dòng)量分別為= m2v2v1、v2, p1 =m1v 、 p2在作用過程中外力F1，內(nèi)力 f12外力F2，內(nèi)力 f21m1受力：m2受力：（ m2施予的力）（ m1施予的力）選定參照系（慣性系）對(duì)于m 有t+)dt

7、= m v- m v(Ff=p -p111211110110t0t對(duì)于m 有+f)dt = m v- m v(F=p-p222122220220t0兩式相加tttt+f)dt +(F+f(F)dt11222100tt=+ F)dt +( f12 +(F1f21 )dt2tt00= (m1v1 + m2v2 ) - (m1v10 + m2v20 )= ( p1 +p2 ) - ( p10 +p20 )令（合外力）（總動(dòng)量）F= F1 + F2p =p1 +p2、p0 =+p10p20而 - f21+ 0f12f12f21 ttFdt =p -p0得到0 與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理形式完全一樣2.N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)

8、成的質(zhì)點(diǎn)系N個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2、mi、mN構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系外力（externalforce）：系統(tǒng)外部對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力內(nèi)力（internalforce）：系統(tǒng)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力特點(diǎn)：成對(duì)出現(xiàn)；大小相等方向相反推論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零。i jfij =02.N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2、 mi、 mN構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組考慮第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)miNfiN= fij受力Fi （外力）+ +（內(nèi)力）fi1fi 2jit0時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為t時(shí)刻的速度和動(dòng)量分別為vi 0、 pi 0vi 、 pi據(jù)動(dòng)量定理應(yīng)有t(F+ f)dt = m v- miv=p- piijiii 0ii 0t0j將N

9、個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方程相加，左邊為NNNtt(Fi + fij )dt = ttFi dt + (ttfij )dt =( fij )dti , j j i000j ititjiitt Fi dt + ti=F )dt +fijdt(ttt0000iijiF = Fii令（質(zhì)點(diǎn)系的合外力） fiji, j j ii ( i j )=( fij +f ji ) 0且左邊為tFdtt0NNN(mivii- mivi 0 ) = mivii- mivi 0i右邊NNp = mivii= mivi 0i令p0（質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量）則右邊=p -p0ttFdt =p - p0最后得到0質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 （積分形式）：

10、系統(tǒng)總動(dòng)量的變化等于質(zhì)點(diǎn)系所受到合外力的沖量。n 說明質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定律形式與單質(zhì)點(diǎn)一樣，但式中F是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受到的合外力，p是系統(tǒng)的總動(dòng)量。tI=Fdt =p - p0令為合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的沖量t0上式是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律的積分形式Fdt=dp質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式 質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的時(shí)間變化率等于所受合外力動(dòng)量定理僅適用于慣性系，在非慣性系中，須引入慣性力的沖量內(nèi)力的沖量不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量，但會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。或者說，內(nèi)力將導(dǎo)致各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量重新分配動(dòng)量定理與牛頓定律的關(guān)系：牛頓定律僅適用于單質(zhì)點(diǎn)，動(dòng)量定理卻適用于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，牛頓定律說的是力的瞬時(shí)效果，而動(dòng)量定理說的是力對(duì)時(shí)

11、間的積累效果。孤立體系的動(dòng)量守恒定律F= Ft= 0I=Fdt = 0p(t0 ) = A若合外力則it0ip(t) -p(t0 ) = 0p(t) =即有或則稱系統(tǒng)的動(dòng)量守恒F= Fi 0Fx，y，z之一為0若合外力但ipx=px 0，p =p0，p =p0則有 常稱為質(zhì)點(diǎn)系在某個(gè)方向的動(dòng)量不變或“守恒”n 孤立體系的動(dòng)量守恒定律： 不受外力或所受外力的矢量和為零的體系，系統(tǒng)的總動(dòng)量不變（恒矢量）。動(dòng)量守恒定律的幾點(diǎn)說明動(dòng)量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系動(dòng)量若在某一慣性系中守恒，則在其它一切慣性系中均守恒當(dāng)外力內(nèi)力且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞）可認(rèn)為動(dòng)量近似

12、守恒動(dòng)量守恒定律雖然由牛頓第三定律導(dǎo)出，但它比牛頓第三定律適用范圍更廣。在牛頓第三定律不成立時(shí)，只要計(jì)及場的動(dòng)量，動(dòng)量守恒定律仍然成立。動(dòng)量守恒定律可以直接從空間的平移不變性（一種時(shí)空對(duì)稱性）導(dǎo)出。時(shí)空對(duì)稱性原理是比牛頓定律更高層次的定律， 動(dòng)量守恒定律比牛頓定律更普遍更基本，在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。例3.3長為L，質(zhì)量為m的軟繩盤放在水平臺(tái)上。用手抓住繩的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時(shí)受的拉力。Txv0xo【解】以軟繩為質(zhì)點(diǎn)系。p = m xvt時(shí)刻：繩提起高度x ，動(dòng)量0Lp = m ( x + dx)vt+dt時(shí)刻：繩提起高度 x+x ，動(dòng)量0L繩受力：重力mg，手拉力T

13、，地面彈力N。應(yīng)用動(dòng)量定理(T + N - mg)dt =p - p =m ( x + dx)v- m xv= m v dx000LLL即m vdx= m v2 ; dx(T + N - mg) = v dt000LdtLN=m (L - x) gLT + m (L - x) g - mg =m v2 0LL T=x mg + m v2 最后得0LLT= m v2當(dāng)x = 0,0LT= mg + m v2x = L, 0L例3.4質(zhì)量密度為的鏈條從光滑的桌面上由靜止開始下滑，求鏈條下滑運(yùn)動(dòng)規(guī)律。ox【解】以鏈條為質(zhì)點(diǎn)系，以桌面為參照系。t時(shí)刻，鏈條下滑長x ，動(dòng)量p = l xvtdt時(shí)刻，鏈

14、條下滑長xdx ，動(dòng)量p = l( x + dx)(v + dv) = l xv + lvdx + l xdv + ldxdv據(jù)動(dòng)量定理Fdt = dp =p -p =lvdx + l xdv + ldxdvFdt = lvdx + l xdv忽略二階小量，則有F= l ( x + dx) gFdt = l ( x + dx) gdt = l xgdt得到即l xgdt = lvdx + l xdvx dv + v dx - xg = 0dtdtdx而得到微分方程= vdtx dv + v2 - gx = 0dt1 dv2dvdvdxdv解微分方程= v=dtdxdtdx2dx dv= 2(

15、gx - v)22x dv2方程為+v- gx = 022dxdxxdv2= 2( gx - v2 ) =2v2即有2g -dxxxy = 2 gx - v2令則3dv22v2dy= 22g -3=g - 2 g +3=dxdx= -x2v2- 42232 yg +xg - v) = -2(3xxxdy = - 2dx即解得yxln y = -ln x2 + cyx2 = c ln yx2 = cort = 0, x = 0即得c = 0初始條件 2 xg - v2 x = 0所以 323= 0 dx 223或即= =v2xgxg - v2 dtdx2gdt即= 2dx=3xg t + c =

16、x6因?yàn)樗詔 = 0, x = 0c = 0gtg t2最后得到x =x =66四 .質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心參考系1.質(zhì)心F = dp= d p由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：dtdti它在形式上相同與牛頓定律的動(dòng)量表示式相同，但其含義并不相同。F =ma牛頓第二定律是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，等價(jià)于而質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況各不相同，加速度也不相同，不能簡單等效于： F= ma（m是質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量）1.質(zhì)心F= maC但對(duì)質(zhì)點(diǎn)系而言，確實(shí)存在一個(gè)特殊點(diǎn)C，而使成立，這里ac是該特殊點(diǎn)的加速度。定義該特殊點(diǎn)為質(zhì)心，并認(rèn)為體系的總質(zhì)量都集中在質(zhì)心處。2.質(zhì)心的位置由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系mi;i= 1,2, ,。N在

17、確定的參照系中，各質(zhì)點(diǎn)的位矢為 ri定義：對(duì)于確定的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位置用質(zhì)心位矢rc表示：Nmi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12NN2.質(zhì)心的位置mi ri i=1mii=1m r+ mr+ + mrrc=1 122NNm+ m+ + mN12N說明質(zhì)心位矢rc是矢量，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)心的坐標(biāo)為：NNNmi ximimi zi i =1mii =1yixc=yc=zc= i =1, i =1,NNNmii =1mii =1推廣至連續(xù)質(zhì)量分布的質(zhì)點(diǎn)系111M M M x=y=xdm,ydm,zzdmccc( M = dm)質(zhì)心的位

18、矢并不是各質(zhì)點(diǎn)位矢的算術(shù)平均值，而是以質(zhì)量為權(quán)重的加權(quán)平均。選擇不同坐標(biāo)系，質(zhì)心位矢rc表達(dá)式不同。但質(zhì)心與各質(zhì)點(diǎn) 間的相對(duì)位置僅與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布有關(guān)，與參照系的選擇z無關(guān)。mNrmjrcNm1rjr1miyrior2m2x3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的速度vc d m r m rm vdt iiiiiidr d v=icdt iM iMcdt M質(zhì)心的動(dòng)量Pcpc = Mvc= mivi= pi = pii 質(zhì)心動(dòng)量的意義：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)全部集中在質(zhì)心上，以vc速度運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)心的動(dòng)量 Pc 等于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量P；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式Ni=1NNdp= d ddt ddrF=pi=

19、mivi= =miidtdtdt dti=1i=1Nd 2 mi rid 2d 2rNNmi rimi i=1 = M= c dt 2dt 22Ndt i=1 i=1mii=1d 2rF= Fii=M=Mac c dt 2d 2rM = mi ,i=ac c dt 2n 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：體系質(zhì)心的加速度等于質(zhì)量為體系總質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下的加速度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述了物體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。體系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心的動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式dpdpcF=Fdt = dpcdtdtttFdt = Mvc- Mvc 00n 上式即是質(zhì)心的動(dòng)量定理外力對(duì)體系的沖量等于質(zhì)心動(dòng)量的增量例3.5用

20、質(zhì)心概念求解例3.3m x xx2質(zhì)心坐標(biāo)= L2=xcm2L質(zhì)點(diǎn)系外力：拉力T，彈力N，重力mgd 2 x= T + N - mg應(yīng)有m c dt22xv0x=xx =x =x;( x = v)c02LLLv2vx=x = 0L 0 Lcm v2mx= T + N- mgcL0N=1 (L - x)mgLT=x mg + m v20LL與例3.3的結(jié)果一樣4.質(zhì)心參照系（質(zhì)心系）定義：某坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)在質(zhì)心處，坐標(biāo)軸與固定系的坐標(biāo)軸始終保持平行， 這樣的坐標(biāo)系即稱為質(zhì)心坐標(biāo)系，簡稱質(zhì)心系。zmiSriczriocxrcSyyori = ric+ rcx（1）各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視為兩部分運(yùn)動(dòng)的疊

21、加質(zhì)點(diǎn)mi的位矢相對(duì)慣性系（靜系s） 相對(duì)質(zhì)心系（動(dòng)系s）riric= r + rr應(yīng)有icic 質(zhì)心系的特點(diǎn)r= r + rv= v + v速度即iicciicc各質(zhì)點(diǎn)隨質(zhì)心一起作平移運(yùn)動(dòng)（相對(duì)質(zhì)心靜止）質(zhì)心系不一定是慣性系，也可能不是慣性系?。?）質(zhì)心系是零動(dòng)量系v= v + vm v= m v + m v證明即由iicciiiicicm vm v+ m v=對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)m 求和iiiiciciiiii= m v- m vm v即iiciiiciimivii= pi = pi，mivc = Mvc = pc = pim v 0iici（3）在質(zhì)心系，可不考慮平動(dòng)慣性力的影響Fii= F =

22、0ac = 0則質(zhì)心系為慣性系若Fi= F 0ac 0若i則質(zhì)心系為非慣性系，各質(zhì)點(diǎn)有平動(dòng)慣性力= -miacFioFo= Fio= -miac = (-mi )ac= -F合慣性力iiiFo + F 0則在質(zhì)心系下，質(zhì)點(diǎn)系的合外力被慣性力抵消，所以質(zhì)心系是零動(dòng)量系。例3.6在光滑平面上，m1和m2以v1和v2碰撞后合為一體（完全非彈性碰撞）。求碰撞后二者的共同速度v。在質(zhì)心參考系觀察，碰撞前后二者的運(yùn)動(dòng)如 何？在慣性系中觀察= m1v1 +m1v2vc碰撞前質(zhì)心速度：m1 +m2無外力，質(zhì)心速度不變。碰撞后二者共同速度為質(zhì)心速度= m1v1 +m1v2v = vcm1 +m2n 在質(zhì)心系中觀

23、察五經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題1. 經(jīng)典力學(xué)中討論的變質(zhì)量體系的特征所研究的體系質(zhì)量不為常數(shù)，而是隨時(shí)間變化。這種變化是由于外部不斷有新質(zhì)量進(jìn)入體系，或體系內(nèi)部不斷有質(zhì)量輸送給外部；變化部分的質(zhì)量無限小，可視為質(zhì)量元dm；體系中所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，因而可用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來描寫體系的運(yùn)動(dòng)這樣的“變質(zhì)量體系”，質(zhì)量發(fā)生變化， dm 0dt稱之為“經(jīng)典力學(xué)中的變質(zhì)量問題”。幾點(diǎn)注意體系中的總質(zhì)量（質(zhì)量主體與質(zhì)量附體）不變；變化的是質(zhì)量主體研究質(zhì)量元不斷的加入或離去對(duì)質(zhì)量主體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，實(shí)質(zhì)是質(zhì)量元與質(zhì)量主體的碰撞問題；變質(zhì)量問題（模型）有：軟繩下落、火箭升空、流星對(duì)地球的撞擊、冰的融化等等；2.變質(zhì)量體

24、系的運(yùn)動(dòng)方程ttdtdmvvdvvdvu質(zhì)量離去 dm0方程推導(dǎo)的出發(fā)點(diǎn)非變化的主要質(zhì)量部分為質(zhì)量主體，變化的（將進(jìn)入或離去）的質(zhì)量元為質(zhì)量附體體系總質(zhì)量主體質(zhì)量附體質(zhì)量將質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理的微分形式應(yīng)用該問題中m+dmmn 方程推導(dǎo)（設(shè)質(zhì)量減少，dm0） t時(shí)刻，體系質(zhì)量：m（主體附體） 速度：v動(dòng)量： p = mv t+dt時(shí)刻，主體質(zhì)量： m + dm(dm 0)，附體質(zhì)量 dmv + dvv + dv + u 主體速度： 動(dòng)量：， 附體速度：p = (m + dm)(v + dv ) - dm(v + dv + u)= mv + mdv + vdm + dmdv - vdm - dmdv

25、 - udm= mv + mdv - udm u是附體脫離主體瞬間，它相對(duì)于主體的速度在相互作用瞬間，體系的動(dòng)量變化dp =p - p = mv + mdv - udm - mv dp = mdv - udmFdt = dp = mdv - udm由可得= m dv- dm uFdtdt即 上式為變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程m dv= F+dm u dtdt方程說明F是作用于質(zhì)量主體上的外力設(shè)F= F+ FDmm在主體與附體的相互作用（碰撞）瞬間，通常外力與質(zhì)量成正比（如重力）此時(shí)DmFDm當(dāng)Dt 0,Dm 0, 0FDm所以F= Fm方程說明u是質(zhì)量元dm相對(duì)質(zhì)量主體m的速度m與時(shí)間有關(guān)質(zhì)量元dm，若是離開主體dm0反作用力Fpm dv= dm u設(shè)外力F=0，則有dtdt=dm um dv若令即有= FFppdtdtFp定義為反作用力，它源于質(zhì)量元dm對(duì)質(zhì)量主體m的作用，即碰撞。附體離開主體時(shí)：dm0F= dm u 0若u與v反方向，F(xiàn)p為推力dt附體加入主體時(shí)：dm0F= dm u 0若 u 與 v 同方向，F(xiàn)為推力ppdt反