二次函數綜合題——等腰三角形

1、二次函數綜合題等腰三角形一解答題（共30小題）1（2014新余模擬）如圖，已知二次函數圖象的頂點為（1，3），并經過點C（2，0）（1）求該二次函數的解析式；（2）直線y=3x與該二次函數的圖象交于點B（非原點），求點B的坐標和AOB的面積；（3）點Q在x軸上運動，求出所有AOQ是等腰三角形的點Q的坐標2（2014秋懷寧縣校級月考）如圖，二次函數y=x2+mx+3的圖象與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且AOB的面積為6（1）求該二次函數的表達式；（2）如果點P在x軸上，且ABP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標3（2011淮安）如圖已知二次函數y=x2+bx+3的圖象與x軸的一個交點為

2、A（4，0），與y軸交于點B（1）求此二次函數關系式和點B的坐標；（2）在x軸的正半軸上是否存在點P使得PAB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由4（2014曲靖模擬）如圖，已知二次函數y=ax24x+c的圖象與坐標軸交于點A（1，0）和點C（0，5）（1）求該二次函數的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標（2）在上面所求二次函數的對稱軸上存在一點P（2，2），連接OP，找出x軸上所有點M的坐標，使得OPM是等腰三角形5（2008秋密云縣期末）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象分別經過點（0，3）（3，0）（2，5），（1）求這個二次函數的解析式；（2）

3、若這個二次函數的圖象與x軸交于點C、D（C點在點D的左側），且點A是該圖象的頂點，請在這個二次函數的對稱軸上確定一點B，使ABC是等腰三角形，求出點B的坐標6（2008海淀區(qū)二模）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象分別經過點（0，3），（3，0），（2，5）求：（1）求這個二次函數的解析式；（2）求這個二次函數的最值；（3）若設這個二次函數圖象與x軸交于點C，D（點C在點D的左側），且點A是該圖象的頂點，請在這個二次函數的對稱軸上確定一點B，使ACB是等腰三角形，求出點B的坐標7（2006松江區(qū)二模）如圖，已知二次函數y=x2+bx+c（c0）的圖象經過點A（2，m）（m0），與y軸交于點

4、B，ABx軸，且3AB=2OB（1）求m的值；（2）求二次函數的解析式；（3）如果二次函數的圖象與x軸交于C、D兩點（點C在左惻）問線段BC上是否存在點P，使POC為等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由8（2010秋永新縣校級月考）已知二次函數y=（x1）（x4）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C（1）求出A、B、C三點的坐標；（2）求ABC的面積；（3）在y軸上是否存在點P，使P、A、C能組成以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由9（2013德宏州）如圖，已知直線y=x與拋物線交于A、B兩點（1）求交點A、B的坐標；

5、（2）記一次函數y=x的函數值為y1，二次函數的函數值為y2若y1y2，求x的取值范圍；（3）在該拋物線上存在幾個點，使得每個點與AB構成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個滿足條件的點P的坐標10（2014曲阜市模擬）設二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然ABC為等腰三角形（1）當ABC為等腰直角三角形時，求b24ac的值；（2）當ABC為等邊三角形時，求b24ac的值11（2015赤峰）已知二次函數y=ax2+bx3a經過點A（1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D（1）求此二次函數解析式；

6、（2）連接DC、BC、DB，求證：BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由12（2013秋本溪期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B（0，4），動點C是從點A出發(fā)，向O點運動，到達0點時停止運動，過點C作ECx軸，交直線AB于點D，交拋物線于點E（1）求二次函數的解析式；（2）連接OE交AB于F點，連接AE，在動點C的運動過程中，若AOF的面積是AEF面積的2倍，求點C的坐標？（3）在動點C的運動過程中，DEF能否為等腰

7、三角形？若能，請直接寫出點F的坐標；若不能，請說明理由13（2011臨川區(qū)模擬）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過三點A（1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點為M，且正比例函數y=kx的圖象與二次函數的圖象相交于D、E兩點（1）求該二次函數的解析式和頂點M的坐標；（2）若點E的坐標是（2，3），且二次函數的值小于正比例函數的值時，試根據函數圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；（3）試探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PAC為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由14（2006孝感）如圖，已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸只有一個

8、公共點M，與y軸的交點為A，過點A的直線y=x+c與x軸交于點N，與這個二次函數的圖象交于點B（1）求點A、B的坐標（用含b、c的式子表示）；（2）當SBMN=4SAMN時，求二次函數的解析式；（3）在（2）的條件下，設點P為x軸上的一個動點，那么是否存在這樣的點P，使得以P、A、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由15（2011東營模擬）如圖，已知二次函數y=x2+bx+c（c0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M（1）求二次函數的解析式；（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x

9、軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；（3）探索：線段BM上是否存在點N，使NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由16（2010徐州）如圖，已知二次函數y=的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC（1）點A的坐標為，點C的坐標為；（2）線段AC上是否存在點E，使得EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個？1

10、7（2011呼倫貝爾）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A、C，與y軸相交于點B，A（），且AOBBOC（1）求C點坐標、ABC的度數及二次函數y=ax2+bx+3的關系式；（2）在線段AC上是否存在點M（m，0）使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點（與點B不同），且以點P、C、O為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由18（2013廊坊一模）如圖，二次函數y=ax2+x+c的圖象與x軸交于點A、B兩點，且A點坐標為（2，0），與y軸交于點C（0，3）（1）求出這個二次函數的解析式；（2）直接寫出點B的坐標為；（3）在x軸是否存在一點P，

11、使ACP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；（4）在第一象限中的拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABQC的面積最大？若存在，請求出Q點坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由19（2012景寧縣模擬）已知二次函數y=x2+4x+5圖象交x軸于點A、B，交y軸于點C，點D是該函數圖象上一點，且點D的橫坐標為4，連BD，點P是AB上一動點（不與點A重合），過P作PQAB交射線AD于點Q，以PQ為一邊在PQ的右側作正方形PQMN設點P的坐標為（t，0）（1）求點B，C，D的坐標及射線AD的解析式；（2）在AB上是否存在點P，使OCM為等腰三角形？若存在，求正方形PQ

12、MN 的邊長；若不存在，請說明理由；（3）設正方形PQMN與ABD重疊部分面積為s，求s與t的函數關系式20（2013徐州）如圖，二次函數y=x2+bx的圖象與x軸交于點A（3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E（1）請直接寫出點D的坐標：；（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；（3）是否存在這樣的點P，使PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由21（2013鞍山一模）如圖，已知二次函數y=

13、ax2+bx+8（a0）的圖象與x軸交與A，B兩點，與y軸交與點C，已知點A的坐標為（2，0），sinABC=，點D是拋物線的頂點，直線DC交x軸于點E（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；（2）在直線CD上是否存在一點Q，使以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點P是直線y=2x4上一點，過點P作直線PM垂直于直線CD，垂足為M，若MPO=75，求出點P的坐標22（2013菏澤）如圖，三角形ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數y=x+3的圖象與y軸、x軸的交點，點B在二次函數的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點

14、D使四邊形ABCD能構成平行四邊形（1）試求b，c的值，并寫出該二次函數表達式；（2）動點P從A到D，同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當P運動到何處時，有PQAC？當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形PDCQ的面積是多少？23（2014北塘區(qū)二模）已知二次函數y=mx25mx+1（m為常數，m0），設該函數圖象與y軸交于點A，圖象上一點B與點A關于該函數圖象的對稱軸對稱（1）求點A、B的坐標；（2）點O為坐標原點，點M為函數圖象的對稱軸上一動點，求當M運動到何處時MAO的周長最??；（3）若該函數圖象上存在點P與點A、B構成一個等腰三角形，且PAB的面積為10

15、，求m的值24（2015黔東南州）如圖，已知二次函數y1=x2+x+c的圖象與x軸的一個交點為A（4，0），與y軸的交點為B，過A、B的直線為y2=kx+b（1）求二次函數y1的解析式及點B的坐標；（2）由圖象寫出滿足y1y2的自變量x的取值范圍；（3）在兩坐標軸上是否存在點P，使得ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標；若不存在，說明理由25（2015曲靖一模）如圖，直線y=x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，已知二次函數的圖象經過點B、C和點A（1，0）（1）求B、C兩點坐標；（2）求該二次函數的關系式；（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點D，則在拋物線的對稱軸上是否存

16、在點P，使PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；（4）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標26（2014懷集縣二模）如圖，ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A、C分別是一次函數y=x+3的圖象與y軸、x軸的交點，點B在二次函數y=x2+bx+c的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點D使四邊形ABCD能構成平行四邊形（1）試求點B、D的坐標，并求出該二次函數的解析式；（2）P、Q分別是線段AD、CA上的動點，點P從A開始向D運

17、動，同時點Q從C開始向A運動，它們運動的速度都是每秒1個單位，求：當P運動到何處時，APQ是直角三角形？當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最?。看藭r四邊形PDCQ的面積是多少？27（2015銅仁市）如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使PBC為等腰三角形？若存在請求出點P的坐標）；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，

18、點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，MNB面積最大，試求出最大面積28（2015丹東）如圖，已知二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC（1）請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式；（2）判斷ABC的形狀，并說明理由；（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NMAC，交AB于點M，當AMN面積最大時，求此時點N的坐標29（2013無錫）如圖，直線x=4與x軸交于點E，一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A，交直線x=4于點B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3（1）求點A的坐標；（2）若OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數關系式30（2014遵義）如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），與y軸交于點C若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也