第12章隨機(jī)信號(hào)處理初步

第十二章 隨機(jī)信號(hào)處理初步l本章介紹隨機(jī)信號(hào)處理的一些基本概念，并且借助 Matlab，給出了一些譜估計(jì)的方法。l在許多信號(hào)處理的場(chǎng)合，信號(hào)是確定性的，例如電力系統(tǒng)里面的正弦波，而在更多的場(chǎng)合，系統(tǒng)并不知道要處理的信號(hào)的確定信息，比如我們?cè)谑章犘侣剰V播的時(shí)候，并不知道播音員下一分鐘將說(shuō)些什么，因此用確定性函數(shù)來(lái)描述這樣一個(gè)信息是不合適的。l如果信號(hào)的值是確定值，那么信號(hào)稱為 確定性信號(hào) ；l如果信號(hào)的值是隨機(jī)變量，那么信號(hào)稱為 隨機(jī)信號(hào) 。l隨機(jī)信號(hào)的處理涉及很多的理論和方法，本章只對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行一些基本的分析和討論。為了分析方便起見，只討論離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào) 。12.1 隨機(jī)過程我們用 隨機(jī)過程 (Random Process)來(lái)描述隨機(jī)信號(hào)。 對(duì) 于一個(gè)隨機(jī)信號(hào) ， 對(duì) 于某一個(gè)固定的是一個(gè)隨機(jī) 變 量。 變 化形成的隨機(jī) 變 量的集合就是一個(gè)隨機(jī) 過 程。 一方面 隨機(jī) 過 程 既可以看成另一方面 隨機(jī) 過 程 也可以看成所有 實(shí) 例的集合， 實(shí) 例或者 說(shuō)樣 本 是一個(gè)確定性的信號(hào)。 隨機(jī)變量的集合；變化形成的我 們 用各種概率函數(shù)來(lái)描述隨機(jī) 變 量，以及隨機(jī) 變 量之 間 的概率的隨機(jī) 變 量概率分布函數(shù) (probability destribution function)來(lái)描述其分布情況。對(duì)于某一個(gè)確定 ，我們用概率分布的情況： 概率分布函數(shù)固定值 自變量概率密度函數(shù) 固定值自變量如果隨機(jī)變量的取值被量化了，也就是說(shuō)，的取值離散地分布在有限個(gè)數(shù)值等級(jí)上，例如：我們?cè)谟?jì)算機(jī)里面用一個(gè)字節(jié)（unsigned char）來(lái)存儲(chǔ)一個(gè)數(shù)值，則在 256個(gè)數(shù)值等級(jí)上取值。 概率質(zhì)量函數(shù) 固定值 自變量我們用聯(lián)合概率分布函數(shù)來(lái)描述多個(gè)隨機(jī)變量之間的相互依從關(guān)系， 聯(lián)合概率分布函數(shù)固定值 自變量聯(lián)合概率密度函數(shù)固定值自變量如果隨機(jī)變量的取值被量化了，我們用聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)，聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù) 固定值 自變量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 :l如果一個(gè)隨機(jī)過程的所有概率函數(shù)與時(shí)間原點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，則稱之為 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 或者 狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程 ，這種隨機(jī)過程的概率函數(shù)有以下特征： 12.2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征l在很多情況下，單用概率函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)變量和隨機(jī)過程并不合適。用隨機(jī)變量和隨機(jī)過程的一些統(tǒng)計(jì)特征來(lái)描述或者刻畫它們，可能會(huì)更加合適。隨機(jī)變量的 均值 （ mean）定義為： 隨機(jī)變量的函數(shù)仍然是隨機(jī)變量，其均值為： 兩個(gè)隨機(jī)變量、的函數(shù)仍然是一個(gè)隨機(jī)變量，它的均值定義為： 容易證明均值的下列性質(zhì)： 如果兩個(gè)隨機(jī)變量和是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，容易證明： 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立只是上式的充分條件，不是必要條件，我們把滿足上的兩個(gè)隨機(jī)變量和稱為是 線性獨(dú)立 (linearly independent)的。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量一定線性獨(dú)立，線性獨(dú)立的隨機(jī)變量不一定統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 隨機(jī)變量的 均方值 (Mean-Square Value )定義為： 隨機(jī)變量的 方差 （ variance）定義為 ：容易證明： 方差的平方根或者 標(biāo) 準(zhǔn)差 （ standard deviation）。被稱為 均方差 (mean square deviation)對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程隨機(jī)過程，它在不同時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量之間的統(tǒng)計(jì)特征主要用自相關(guān)序列和自協(xié)方差序列來(lái)表征。 自相關(guān)序列 (Autocorrelation Sequence)定義為： 自協(xié)方差序列 (autocovariance sequence)定義為： 容易證明： 對(duì) 于隨機(jī) 過 程 和隨機(jī) 過 程它 們 的相互依 賴 關(guān)系可以用互相關(guān)序列和互 協(xié) 方差序列來(lái)表征?；ハ嚓P(guān)序列 (Crosscorrelation Sequence)定 義為 ：互協(xié)方差序列 (crosscovariance sequence)定義為： 容易證明： 一般而言，隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征是隨時(shí)間變化而變化的，但是對(duì)于狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程來(lái)說(shuō)，由于其概率函數(shù)與時(shí)間起始點(diǎn)無(wú)關(guān)，容易得出：也就是說(shuō)，均值和方差是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。狹義平穩(wěn)充分條件充分條件必要條件 必要條件狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)序列有：也就是 說(shuō) ，自相關(guān)序列 僅僅 是 時(shí)間 差是一個(gè)一 維 序列。的函數(shù)，l在很多情況下，并不需要分析隨機(jī)過程的概率函數(shù)，而只要了解它的統(tǒng)計(jì)特征就夠了，因此我們引入廣義平穩(wěn)過程的概念。l如果一個(gè)隨機(jī)過程滿足 (12.29)和 (12.31)式，且均方值有界，則稱為 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 (generalized stationary random process)或者 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 。因?yàn)橛辛?“均方值有界 ”這么個(gè)條件，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。一個(gè)隨機(jī)信號(hào)可以看成是一個(gè) 樣 本信號(hào)集這 個(gè) 樣 本集中的每一個(gè)元素是一個(gè)確定性信號(hào)。在 實(shí)際 操作 過 程中，我 們 并不能 夠 得到所有的 樣 本信號(hào)。大部分情況下，只能 夠 得到 樣 本集中的一個(gè)確定性信號(hào)，而我 們 的問題 是利用 這 個(gè)確定性信號(hào)來(lái) 計(jì) 算隨機(jī)信號(hào)的 統(tǒng)計(jì) 特征。中的任意一個(gè)確定性信號(hào)我 們 定 義 如下：對(duì)于樣本信號(hào)集如果 對(duì) 于所有的 樣 本信號(hào)都有：我 們 稱 該 隨機(jī) 過 程是 各 態(tài) 遍 歷 (ergodic)的。有了 這 個(gè)各 態(tài) 遍 歷 假 設(shè) ，我 們 就可以根據(jù)一個(gè)確定性的 樣本信號(hào)來(lái) 計(jì) 算隨機(jī)信號(hào)的 統(tǒng)計(jì) 特征。在 實(shí)際 中，我 們 并不能 進(jìn) 行 (12.32)