江蘇省南通市如皋市2017年高考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

2017 年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)一模試卷 一、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分） 1設(shè)全集 U=x|x 3， x N，集合 A=x|10， x N，則 2復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 3拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5， 6），則事件 “向上的數(shù)字為奇數(shù)或向上的數(shù)字大于 4”發(fā)生的概率為 4如圖所示的流程圖，當(dāng)輸入 n 的值為 10 時(shí)，則輸出的 S 的值為 5已知等差數(shù)列 前 11 項(xiàng)的和為 55， ，則 6若點(diǎn)（ x， y）位于曲線 y=|2x 1|與 y=3 所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則 2x y 的最小值為 7已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ， M 是棱 中點(diǎn)，則三棱錐體積為 8已知圓 C 過點(diǎn)（ 2， ），且與直線 x y+3=0 相切于點(diǎn)（ 0， ），則圓C 的方程為 9已知 別是雙曲線 =1 的左、右焦點(diǎn)，過 x 軸的垂線與雙曲線交于 A、 B 兩點(diǎn)， G 是 重心，且 =0，則雙曲線的離心率為 10已知三角形 單位圓 的內(nèi)接三角形， C=1，過點(diǎn) A 作 垂線交單位圓于點(diǎn) D，則 = 11已知函數(shù) f（ x） = ，則不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集為 12將函數(shù) f（ x） =2圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象，若對(duì)滿足 |f（ g（ |=4 的 |x2|，則= 13已知函數(shù) f（ x） =（ x 1） y=f（ x 0， 上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 14設(shè)實(shí)數(shù) x、 y 滿足 42 3，則 取值范圍是 二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分） 15（ 14 分）如圖，直三棱柱 ， B， N 是中點(diǎn) （ 1）求證：直線 平面 （ 2）若 M 在線段 ，且 平面 證： M 是 中點(diǎn) 16（ 14 分）在 ，已知 （ 1）求角 B 的大??； （ 2）若 A ） = ，求 17（ 15 分）如圖，矩形公園 ， 園的左下角陰影部分為以 O 為圓心，半徑為 1 圓面的人工湖，現(xiàn)計(jì)劃修建一條與圓相切的觀光道路 E、 F 分別在邊 ）， D 為切點(diǎn) （ 1）試求觀光道路 度的最大值； （ 2）公園計(jì)劃在道路 側(cè)種植草坪，試求草坪 積 S 的最大值 18（ 15 分）如圖，已知 F 為橢圓 + =1 的左焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 且互相垂直的兩條直線分別交橢圓于 A、 B 及 C、 D （ 1）求證： + 為定值； （ 2）若直線 直線 l： x= 于點(diǎn) P，試探究四邊形 否為平行四 邊形，并說明理由 19（ 16 分）已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = （ a R） （ 1）若 a=2，求證： f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； （ 2）討論 h（ x） =f（ x） g（ x）的單調(diào)性； （ 3）求證：當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x+1） 20（ 16 分）已知數(shù)列 通項(xiàng)公式為 n（ 1） n， n N* （ 1）在數(shù)列 ，是否存在連續(xù) 3 項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)，若不存在，說明理由； （ 2）試證在數(shù)列 ，一定存在滿足條件 1 r s 的正整數(shù) r、 s，使得 ar、等差數(shù)列；并求出正整數(shù) r、 s 之間的關(guān)系； （ 3）在數(shù)列 是否存在某 4 項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的項(xiàng)；若不存在，說明理由 附加題 21（ 10 分）已知 a、 b 是實(shí)數(shù)，矩陣 M= 所對(duì)應(yīng)的變換 T 將點(diǎn)（ 2， 2）變成了點(diǎn) P（ 1， +1） （ 1）求實(shí)數(shù) a、 b 的值； （ 2）求矩陣 M 的逆矩陣 N 22（ 10 分）已知曲線 極坐標(biāo)方程為 2 44=0，曲線 曲線 = 對(duì)稱，求曲線 極坐標(biāo)方程 23（ 10 分）甲、乙、丙三名同學(xué)參加歌唱、圍棋 、舞蹈、閱讀、游泳 5 個(gè)課外活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)彼此獨(dú)立地選擇參加 3 個(gè)活動(dòng)，其中甲同學(xué)喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機(jī)選 2 個(gè)，同學(xué)乙和丙從 5 個(gè)課外活動(dòng)中任選 3 個(gè) （ 1）求甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率； （ 2）設(shè) X 表示參加舞蹈的同學(xué)人數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 24（ 10 分）已知集合 A=a n（ n N*），規(guī)定：若集合 （ m 2， m N*），則稱 ， 集合 A 的一個(gè)分拆，當(dāng)且僅當(dāng)： 1， 2， A m=， ， ， 同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為 m）例如：當(dāng) n=1， m=2 時(shí)，集合A=所有分拆為： ， 即 2） =3 （ 1）求 2）； （ 2）試用 m、 n 表示 m）； （ 3）證明： i）與 m 同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)（當(dāng) i=1 時(shí)，規(guī)定 1） =1） 2017 年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、填空題（共 14 小題，每小題 5 分，滿分 70 分） 1設(shè)全集 U=x|x 3， x N，集合 A=x|10， x N，則 3 【考點(diǎn)】 補(bǔ)集及其運(yùn)算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，列舉出解集中的自然數(shù)解確定出 A，求出 【解答】 解： 全集 U=x|x 3， x N， A=x|10， x N=x|x ， x N， x|3 x ， x N=3， 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了補(bǔ)集及其運(yùn)算，熟練掌握補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵 2復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代 數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案 【解答】 解： z= = ， = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 3拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5， 6），則事件 “向上的數(shù)字為奇數(shù)或向上的數(shù)字大于 4”發(fā)生的概率為 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 分別求出 P（向上的數(shù)字為奇數(shù)）， p（向上的數(shù)字大于 4）， p（向上的數(shù)字為奇數(shù)且向上的數(shù)字大于 4），從而求出向上的數(shù)字為奇數(shù) 或向上的數(shù)字大于 4”發(fā)生的概率即可 【解答】 解： P（向上的數(shù)字為奇數(shù)或向上的數(shù)字大于 4） =P（向上的數(shù)字為奇數(shù)） +p（向上的數(shù)字大于 4） p（向上的數(shù)字為奇數(shù)且向上的數(shù)字大于 4） = + = ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了古典概型問題，是一道基礎(chǔ)題 4如圖所示的流程圖，當(dāng)輸入 n 的值為 10 時(shí)，則輸出的 S 的值為 30 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖及已知可得：進(jìn)入循環(huán)的條件為 n 2，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到輸出的 S 值 【解答】 解：模擬程序的運(yùn)行，可得 n=10， S=0 不滿足條件 n 2，執(zhí)行循環(huán)體， S=10， n=8 不滿足條件 n 2，執(zhí)行循環(huán)體， S=18， n=6 不滿足條件 n 2，執(zhí)行循環(huán)體， S=24， n=4 不滿足條件 n 2，執(zhí)行循環(huán)體， S=28， n=2 不滿足條件 n 2，執(zhí)行循環(huán)體， S=30， n=0 滿足條件 n 2，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 30 故答案為： 30 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時(shí)，我們常使用模擬循環(huán)的變法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時(shí)，要用表格法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行管理，屬于基礎(chǔ)題 5已知等差數(shù)列 前 11 項(xiàng)的和 為 55， ，則 13 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出第 14 項(xiàng) 【解答】 解： 等差數(shù)列 前 11 項(xiàng)的和為 55， ， ， 解得 ， d=1， 3d=0+13=13 故答案為： 13 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)列的第 14 項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用 6若點(diǎn)（ x， y）位于曲線 y=|2x 1|與 y=3 所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則 2x y 的最小值為 5 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè) z=2x y，利用 z 的幾何意義，即可得到結(jié)論 【解答】 解：作出曲線 y=|2x 1|與 y=3 所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）如圖： 設(shè) z=2x y，則 y=2x z， 平移直線 y=2x z， 由圖象可知當(dāng)直線 y=2x z 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，直線 y=2x z 的截距最小，此時(shí) z 最大， 由 ，解得 A（ 1， 3），此時(shí) z= 2 1 3= 5， 故答案為： 5 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵 7 已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ， M 是棱 中點(diǎn)，則三棱錐體積為 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 三棱錐 體積為 ，由此能求出結(jié)果 【解答】 解： 棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ， M 是棱 中點(diǎn)， 三棱錐 體積為： = = = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用 8已知圓 C 過點(diǎn)（ 2， ），且與直線 x y+3=0 相切于點(diǎn)（ 0， ），則圓C 的方程為 （ x 1） 2+ 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用知圓 C 過點(diǎn)（ 2， ），且與直線 x y+3=0 相切于點(diǎn)（ 0， ），結(jié)合斜率公式，求出圓心與半徑，即可求圓的方程 【解答】 解：設(shè)圓心為（ a， b），則 ， 解得 a=1， b=0， r=2 即所求圓的方程為（ x 1） 2+， 故答案為（ x 1） 2+ 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，正確求出圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵 9已知 別是雙曲線 =1 的左、右焦點(diǎn)，過 x 軸的垂線與雙曲線交于 A、 B 兩點(diǎn)， G 是 重心，且 =0，則雙曲線的離心率為 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè) c， 0）， c， 0），將 x=c 代入雙曲線的方程，可得 A， 由三角形的重心坐標(biāo)公式，求得 G 的坐標(biāo)，得到 ， 的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得 a， b， c 的方程，由離心率公式，解方程可得 【解答】 解：設(shè) c， 0）， c， 0）， 令 x=c 代入雙曲線的方程，可得 y2= 1） = ， 解得 y= ， 可設(shè) A（ c， ）， B（ c， ）， 由重心坐標(biāo)公式可得 = c； ， 即 G（ c， 0）， =（ c， ）， =（ 2c， ）， 由 = c2c+（ ） （ ） =0， 即 4 即為 2（ 由 e= ，可得 2e =0， 解得 e= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用重心坐標(biāo)公式和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題 10已知三角形 單位圓的內(nèi)接三角形， C=1，過點(diǎn) A 作 垂線交單位圓于點(diǎn) D，則 = 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由題意畫出圖形，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得答案 【解答】 解：由題意作圖如下， 則 A（ 1， 0）， B（ ， ）， C（ ， ）， D（ 1， 0） = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 11已知函數(shù) f（ x） = ，則不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集為 （ 2， 1） 【考點(diǎn)】 其他不等式的解法 【分析】 畫出函數(shù) f（ x）的，可知 f（ x）是定義域?yàn)?R 的奇函數(shù)也是增函數(shù)，即可 求不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = ， 其圖象如下： f（ x）是定義域?yàn)?R 的奇函數(shù)也是增函數(shù)， 不等式 f（ 2） +f（ x） 0， f（ 2） f（ x） 等價(jià)于 2 x， 解得： 2 x 1， 原不等式的解集為（ 2， 1） 故答案為：（ 2， 1） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查不等式的解法，利用了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 12將函數(shù) f（ x） =2圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x）的圖象，若對(duì)滿足 |f（ g（ |=4 的 |x2|，則= 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由題意求出 g（ x）的解析式，對(duì)滿足 |f（ g（ |=4 的 x2|，即兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為 4 時(shí)，有 |x2|，不妨設(shè) ，則 ，根據(jù) 0 ，可得 的值 【解答】 解：將函數(shù) f（ x） =2圖象向右平移 （ 0 ）個(gè)單位后得到函數(shù) g（ x） =22x 2）， 對(duì)滿足 |f（ g（ |=4 的 |x2|， 即兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為 4 時(shí)，有 |x2|， 不妨設(shè) ，則 ， 0 ， 若 ， ， 此時(shí) g（ =222） = 2，解得 = （舍去） 若 ， ， 此時(shí) g（ =222） = 2，解得 = ，滿足題意 的值為 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角函數(shù)的平移，函數(shù)的最值以及周期的運(yùn)用，考查了分析能力屬于中檔題 13已知函數(shù) f（ x） =（ x 1） y=f（ x 0， 上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)的零點(diǎn)列出不等式組求解即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =（ x 1） 得 f（ x） =x（ 2a）， 令 x（ 2a） =0 可得， x=0 或 a，當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，并且 x=0是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)， 并且 f（ 0） = 1 0，若 y=f（ x 0， 上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 也就是若 y=f（ x）在 x 1， 1上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 可得： ，即 ，可得 a 當(dāng) a 0 可得：函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)為： x=0， x=2a），如果 2a） 0，因?yàn)?f（ 0） 0，可知不滿足題意； 如果 2a） 0，必有可得： ，即 ，可得 a 與 a 0 矛盾； 綜上： a 故答案為： a 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 14 設(shè)實(shí)數(shù) x 、 y 滿足 4 2 3 ， 則 取值范圍是 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 設(shè) y2= x=y= 入 42 3，可得= ，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解：設(shè) y2= x=y= 42 3， = = ， = 1 時(shí)， 得最小值： =10 4 ； =1 時(shí)， 得最大值： =10+4 綜上可得： 即 取值范圍是 故答案為： 【 點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、換元方法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題 二、解答題（共 6 小題，滿分 90 分） 15（ 14 分）（ 2017如皋市一模）如圖，直三棱柱 ， B， N 是 中點(diǎn) （ 1）求證：直線 平面 （ 2）若 M 在線段 ，且 平面 證： M 是 中點(diǎn) 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）證明 可證明直線 平面 （ 2）證明 用 N 是 中點(diǎn)，可得結(jié)論 【解答】 證明：（ 1） 直三棱柱 平面 面 ， 平面 （ 3 分） 面 B，且 N 是 中點(diǎn)， ， 直線 平面 （ 7 分） （ 2）證明： 平面 N 是 中點(diǎn)， M 是 中點(diǎn) （ 14 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考 查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 16（ 14 分）（ 2017如皋市一模）在 ，已知 （ 1）求角 B 的大?。?（ 2）若 A ） = ，求 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【分析】 （ 1）利用三角形內(nèi)角和定理消去 C，化簡(jiǎn)可得 B 的大小 （ 2）利用換元法，把 A 換出來，與三角形內(nèi)角和定相結(jié)合，把 C 表示出來即可求值 【解答】 解：（ 1）由 +（ ） =0， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理消去 C， 則 +（ ） = A+B） +（ ） = ； 由 0，則有 B （ 0， ）， 故得 B= （ 2） A ） = ， 令 A =t，即 ， ， ， 則 A= ， 那么： A B） =） =2t+ ） = 由 ， ， ， ， 故得 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和二倍角，兩角和與差的公式的靈活運(yùn)用和化簡(jiǎn)計(jì)算能力屬于中檔題 17（ 15 分）（ 2017如皋市一模）如圖，矩形公園 ， 園的左下角陰影部分為以 O 為圓心，半徑為 1 圓面的人工湖，現(xiàn)計(jì)劃修建一條與圓相切的觀光道路 E、 F 分別在邊 ）， D 為切點(diǎn) （ 1）試求觀光道路 度的最大值； （ 2）公園計(jì)劃在道路 側(cè)種植草坪，試求草坪 積 S 的最大值 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【分析】 （ 1）求出 ，分別求出 而求出 表達(dá)式，求出 最大值即可； （ 2）求出 S=S 矩形 S 梯形 表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 S 的最大值即可 【解答】 解：（ 1）設(shè) ，因?yàn)辄c(diǎn) E、 F 分別在邊 ， 所以 0 ，則 ， 在 ， DE= 在 ， DF= ） = = ， E+DF= = ， 0 ， 當(dāng) = 時(shí)， ， ； （ 2）在 ， ， 由（ 1）可得 F= ， S=S 矩形 S 梯形 + （ 0 ）， S= ，令 S 0，解得： 0 ， （ 0， ） （ ， ） S + 0 S 極大值 因?yàn)?S 在 （ 0， 時(shí)有且僅有一個(gè)極大值， 因此這個(gè)極大值也即 S 的 最大值 當(dāng) = 時(shí)， ； 答：（ 1）觀光道路 度的最大值為 2 （ 2）草坪面積 S 的最大值為 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題 18（ 15 分）（ 2017如皋市一模）如圖，已知 F 為橢圓 + =1 的左焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 且互相垂直的兩條直線分別交橢圓于 A、 B 及 C、 D （ 1）求證： + 為定值； （ 2）若直線 直線 l： x= 于點(diǎn) P，試探究四邊形 否為平行四邊形，并說明理由 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系 【分析 】 （ 1）當(dāng)直線 一平行于 x 軸時(shí)， + = ，當(dāng)直線 D 都不平行于 x 軸時(shí)，設(shè) A（ B（ 直線 y=k（ x+1），則直線 y= （ x+1），將直線直線 橢圓方程聯(lián)立 ，得（ 3+412=0，由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出 理求出 此能證明 = （ 2）假設(shè)四邊形 平行四邊形，即 ，此時(shí)直線 不平行于 x 軸 P（ ， ），則 =（ =（ ， ），推導(dǎo)出 ，無解，由此得到四邊形 可能是平行四邊形 【解答】 證明：（ 1）當(dāng)直線 一平行于 x 軸時(shí)， + = = = ， （ 2 分） 當(dāng)直線 不平行于 x 軸時(shí)，設(shè) A（ B（ 直線 AB：y=k（ x+1）， 則直線 y= （ x+1）， 將直線直線 橢圓方程聯(lián)立 ， 整理，得（ 3+412=0， x1+， | = = ， 同理： ， （ 6 分） = = = 綜上： = 故 + 為定值 （ 8 分 ） （ 2）假設(shè)四邊形 平行四邊形，即 ，此時(shí)直線 不平行于 x 軸 由（ 1），得 P（ ， ），則 =（ =（ ， ）， ，即 ， （ 12 分） 又 x1+，則 y1+y2=k（ ） +k（ ） =k（ x1+） ，解得 ，無解 （ 14 分） 四邊形 可能是平行四邊形 （ 15 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查代數(shù)式的值為定值的證明，考查四邊形是否是平行四邊形的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用 19（ 16 分）（ 2017如皋市一模）已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = （ a R） （ 1）若 a=2，求證： f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； （ 2）討論 h（ x） =f（ x） g（ x）的單調(diào)性； （ 3）求證：當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x+1） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可； （ 2）求出函數(shù) h（ x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的范圍，判斷 h（ x）的單調(diào)性即可； （ 3）問題轉(zhuǎn)化為證明 ，即證 22x 2 0，設(shè) （ x） =2ex2x 2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可 【解答】 證明：（ 1）當(dāng) a=2 時(shí)，設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x） =， h（ x） = = ， 所以 h（ x） 0 在（ 1， + ）恒成立， h（ x）在（ 1， + ）上單調(diào)遞增， 所以 h（ x） h（ 1） =0， 所以 f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； 解：（ 2） h（ x） = ， 令 h（ x） =0，即 2（ a 1） x+1=0， =4（ a 1） 2 4=0，解得： a=0 或 a=2， 若 0 a 2，此時(shí) 0， h（ x） 0 在（ 0， + ）恒成立， 所以 h（ x）在（ 0， + ）單調(diào)遞增； 若 a 2，此時(shí) 0， 方程 2（ a 1） x+1=0 的兩根為 2=（ a 1） ，且 2 0， 所以 h（ x）在（ 0， a 1 ）上單調(diào)遞增， 在（ a 1 ， a 1+ ）上單調(diào)遞減， 在（ a 1+ ， + ）上單調(diào)遞增； 若 a 0，此時(shí) 0， 方程 2（ a 1） x+1=0 的兩根為 2=（ a 1） ，且 2 0， 所以 h（ x）在（ 0， + ）上單調(diào)遞增； 綜上，若 a 2， h（ x）在（ 0， + ）單調(diào)遞增， 若 a 2， h（ x）在（ 0， a 1 ），（ a 1+ ， + ）上單調(diào)遞增， 在（ a 1 ， a 1+ ）上單調(diào)遞減； 證明：（ 3）由（ 1）可知 在（ 1， + ）恒成立， 所以 f（ x+1） =x+1） 在（ 0， + ）恒成立， 下證 ，即證 22x 2 0， 設(shè) （ x） =22x 2， （ x） =22x 2， （ x） =22， 易知 （ x） 0 在（ 0， + ）恒成立， 所以 （ x）在（ 0， + ）單調(diào)遞增， 所以 （ x） =22x 2 （ 0） =0， 所以 （ x）在（ 0， + ）單調(diào)遞增， 所以 （ x） （ 0） =0， 所以 ， 即當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x+1） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題 20（ 16 分）（ 2017如皋市一模）已知數(shù)列 通項(xiàng)公式為 n（ 1） n，n N* （ 1）在數(shù)列 ，是否存在連續(xù) 3 項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)，若不存在，說明理由； （ 2）試證在數(shù)列 ，一定存在滿足條件 1 r s 的正整數(shù) r、 s，使得 ar、等差數(shù)列；并 求出正整數(shù) r、 s 之間的關(guān)系； （ 3）在數(shù)列 是否存在某 4 項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的項(xiàng)；若不存在，說明理由 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 （ 1）若存在連續(xù)的三項(xiàng) ， 成等差數(shù)列， k N*，則 2=ak+，代入化簡(jiǎn)即可得出 （ 2）若 等差數(shù)列，則 22r（ 1） r=3+2s（ 1） s，化簡(jiǎn)即可得出 （ 3）由于 n+1（ 1） n+1 2n+（ 1） n=2n+2（ 1） n 0，不妨設(shè) aq，等 差數(shù)列，其中 1 q r s t于是 aq+at=ar+ 2q（ 1） q+2t（ 1） t=2r（ 1） r+2s（ 1） s，化簡(jiǎn)即可得出 【解答】 解：（ 1）若存在連續(xù)的三項(xiàng) ， 成等差數(shù)列， k N*， 則 2=ak+， 即： 22k+1（ 1） k+1=2k（ 1） k+2k+2（ 1） k+2， （ 1 分） 所以 2k= 4（ 1） k， （ 2 分） 由于 = 4（ 1） k= 4， 2k=4，即 k=2 所以當(dāng)且僅當(dāng) k=2 時(shí)， ， 成等差數(shù)列 （ 4 分） （ 2）若 等差數(shù)列，則 22r（ 1） r=3+2s（ 1） s， 2s 2r+1=（ 1） s 2（ 1） r 3 （ 6 分） r s， 2s 2r+1 0， 而（ 1） s 2（ 1） r 3 0， （ 8 分） 2s 2r+1=0，可得 s=r+1，且 s 為大于等于 4 的偶數(shù) （ 10 分） （ 3）由于 n+1（ 1） n+1 2n+（ 1） n=2n+2（ 1） n 0， （ 12 分） 不妨設(shè) 等差數(shù)列，其中 1 q r s t 于是 aq+at=ar+ 2q （ 1） q+2t（ 1） t=2r（ 1） r+2s（ 1） s， 所以 2q+2t 2r 2s=（ 1） q+（ 1） t（ 1） r（ 1） t（ *） 因?yàn)椋?*）式左邊 22+2=6， （ *）式右邊 4， 所以（ *）式無解，故在數(shù)列 不存在某 4 項(xiàng)成等差數(shù)列 （ 16 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 附加題 21（ 10 分）（ 2017如皋市一模）已知 a、 b 是實(shí)數(shù)，矩陣 M= 所對(duì)應(yīng)的變換 T 將點(diǎn)（ 2， 2）變成了點(diǎn) P（ 1， +1） （ 1）求實(shí)數(shù) a、 b 的值； （ 2）求矩陣 M 的逆矩陣 N 【考點(diǎn)】 逆矩陣與投影變換；幾種特殊的矩陣變換 【分析】 （ 1）由題意，得 2a 1= 1， 1+2b= +1，解得即可， （ 2）由（ 1）， |N|=1，即可求矩陣 M 的逆矩陣 N 【解答】 解：（ 1）由題意，得 2a 1= 1， 1+2b= +1， 所以 a=b= （ 2）由（ 1）， |N|=1，得矩陣 M 的逆矩陣 N= 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到矩陣的乘法，逆矩陣，屬于中檔題 22（ 10 分）（ 2017如皋市一模）已知曲線 極坐標(biāo)方程為 2 44=0，曲線 曲線 于直線 = 對(duì)稱，求曲線 極坐標(biāo)方程 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 根據(jù) 2=x2+y， x，將極坐標(biāo)方程 2 44=0 和直線 = 化為直角坐標(biāo)方程，利用對(duì)稱關(guān)系求解曲線 直角坐標(biāo)方程，在轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程 【解答】 解：由題意：極坐標(biāo)方程 2 44=0 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為： x2+4y 4=0， 直線 = 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為 x=y， 曲線 曲線 于直線 y=x 對(duì)稱， 曲線 直角坐標(biāo)方程為： x2+4x 4=0， 由 2=x2+y， x， 曲線 坐標(biāo)方程為： 2 44=0 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換 23（ 10 分）（ 2017如皋市一模）甲、乙、丙三名同學(xué)參加歌唱、圍棋、舞蹈、閱讀、游泳 5 個(gè)課外活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)彼此獨(dú)立地選擇參加 3 個(gè)活動(dòng)，其中甲同學(xué)喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機(jī)選 2 個(gè)，同學(xué)乙和丙從 5 個(gè)課外活動(dòng)中任選 3 個(gè) （ 1）求甲同 學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率； （ 2）設(shè) X 表示參加舞蹈的同學(xué)人數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）設(shè) A 表示事件 “甲同學(xué)選中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同學(xué)選中舞蹈 ”，C 表示事件 “丙同學(xué)選中舞蹈，事件 A、 B、 C 相互獨(dú)立，甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為 P（ A ） =P（ A） P（ ） P（ ） =P（ A） 1 P（ B） 1 P（ C） ，由此能求出結(jié)果 （ 2） X 可能的取值為 0， 1， 2， 3， 分別示出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（ X） 【解答】 解 （ 1）設(shè) A 表示事件 “甲同學(xué)選中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同學(xué)選中舞蹈 ”， C 表示事件 “丙同學(xué)選中舞蹈 ”， （ 1 分） 則 P（ A） = = ， P（ B） = = ， P（ C） = = 事件 A、 B、 C 相互獨(dú)立， 甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為： P（ A ） =P（ A） P（ ） P（ ） =P（ A） 1 P（ B） 1 P（ C） = = （ 4 分） （ 2） X 可能的取值為 0， 1， 2， 3，且取這些值的概率分別為 P（ X