《常微分方程》答案 習題5.2

習題 2412 02 02412 03 t = 122是方程組 x = 2102x,x=21任何不包含原點的區(qū)間 a 上的基解矩陣。 解：令 t 的第一列為 1 (t)=,這時 1 (t)=22t= 21021 (t)故1 (t)是一個解。同樣如果以 2 (t)表示 t 第二列，我們有 2 (t)= 01 = 21022 (t)這樣 2 (t)也是一個解。因此 t 是解矩陣。又因為t = t 是基解矩陣。 x =A(t)x (中 A(t)是區(qū)間 a 上的連續(xù) n 的元素為 t),i ,j=1,2,n a) 如果 t),t),xn(t)是 (任意 n 個解，那么它們的伏朗斯基行列式 Wt),t),xn(t) W(t)滿足下面的一階線性微分方程 W =t)+t)+t)W b) 解 上 面 的 一 階 線 性 微 分 方 程 ， 證 明 下 面 公 式 ：W(t)=W(t0)e (.)()( 22110 t0,t a,b 解： w (t)=.111211+ .22111211+ .+ .+. . . . . （ +. +w(t) =（ t)+t)） w(t) b)由于 w (t)= t)+t) w(t),即)( )( t)+t)邊從 t 積分 (0 tt nn (. . .)( 11即w(t)=w(t0)e )(.)(0 11 ,t a,b (t)為區(qū)間 a 上的連續(xù) n t 為方程 x =A(t)而 x= (t)為其一解，試證： a) 對于方程 y =t)y= (t)必有 T (t) (t)=常數； b) (t)為方程 y =t)，使 T (t) (t)=C. 解 a) T (t) (t) = T (t)+ T (t)= T (t)+ T (t)A(t) 又因為 =t) (t)，所以 T =- T (t) A(t) T (t) (t) =- T (t) (t)A(t)+ T (t) A(t) (t)=0, 所以對于方程 y =t)y= (t)必有 T (t) (t)=常數 b) “ ”假設為方程 y =t) T (t) (t) = T (t) t + T (t) (t)=- A T (t) (t) t + T (t) t) ) t + T (t) A(t) (t)=- T (t) t) t + T (t) t) t =0,故 T (t) (t)=C “ ”若存在非奇異常數矩陣 C， 0,使 T (t) (t)=C， 則 T (t) (t) = T (t)+ T (t)=0，故 T (t) (t)=- T (t) (t)A(t) T (t)=- T (t) A(t) 所以 T (t)=- T (t) A(t), (t)=- T (t) t)即 (t)為方程 y =t)t 為方程 x =A為 n 標準基解矩陣（即 （ 0）=E），證明 : t 1 (= (t- 其中 某一值 . 證明：（ 1） t , (t- 基解矩陣。 （ 2）由于 t 為方程 x =解矩陣，所以 t 1 (是x =當 t= (1 (E, (t- （ 0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 t 1 ( (t- (t),f(t)分別為在區(qū)間 a 上連續(xù)的 n 明方程組 x =A(t)x+f(t)存在且最多存在 n+1個線性無關解。 證明：設 x 1 ,x 2 ,x =A(t)x 的 n 個線性無關解， x 是x =A(t)x+f(t)的一個解，則 x , x , xn+x ,x 都是非齊線性方程的解，下面來證明它們線性無關，假設存在不全為零的常數I=1,2,n) 使得 )(1ni c 1n x =0,從而 x 1 + x , x 2 + x , xn+x ,x 在 a 上線性相關，此與已知矛盾，因此 x , x , xn+x ,x 線性無關，所以方程組 x =A(t)x+f(t)存在且最多存在 n+1個線性無 關解。 6、試證非齊線性微分方程組的疊加原理： )()( 1 )()( 2 的解，則 )()( 21 是方程組 )()()( 21 的解。 證明： )()( 1 （ 1） )()( 2 （ 2） 分別將 )(),( 21 入（ 1）和（ 2） 則 )()( 111 )()( 22 則 )()()()()( 212121 )()()()()()()( 212121 令 )()( 21 即證 )()()( 21 7考慮方程組 )( ，其中 20 12A 21 a)試驗證 是 的基解矩陣； b)試求 )( 的滿足初始條件 11)0(的解 )(t 。 證明： a)首先驗證它是基解矩陣 以 )(1 t 表示 )(t 的第一列 0)(21 則 )(20120201202)(1221 故 )(1 t 是方程的解 如果以 )(2 t 表示 )(t 的第二列 (我們有 )(2012201222)(2222222 故 )(2 t 也是方程的解 從而 )(t 是方程的解矩陣 又 00)(d e 故 )(t 是 的基解矩陣； b)由常數變易公式可知，方程滿足初始條件 11)0(的解 t 11 )()()0()()( 而 422211010)( i o i c o )2715(25 1c o ss i ()(220 222222228、試求 )( ，其中 20 12A 21 0)(滿足初始條件 11)0(的解 )(t 。 解：由第 7題可知 的基解矩陣 則 422211010)( 若方程滿足初始條件 0)0( 則有 101010)()()()( 若 11)0(則有 ()211(21110)()()(11)0()()( 9、試求下列方程的通解： a)22,s e c 知對應的齊線性方程 0 基本解組為s ,c 21 這時 1c (),(21 由公式得 tt 0 c i n)t a nc s i ns e c1 s i nc i n)( 通解為 1 b) 8 解：易知對應的齊線性方程 08 基本解組為 .)( 21 s ,3c o s)( 32 2 是方程的特征根 故方程有形如 的根 代入得1212321 121)3s o s( c) 96 解：易知對應的齊線性方程 096 應的特征方程為3,12 故方程的一個基本解組為 tt 231 )(,)( 333363333321412141)(33)(),(因為 tt 3 , 是對應的齊線性方程的解 故 1 也是原方程的一個解 故方程的通解為 10、給定方程 )(78 其中 f(t)在 連續(xù)，試利用常數變易公式，證明： a)如果 f(t)在 有界，則上面方程的每一個解在 b)如果當 t 時， 0)( 則上面方程的每一個解 )(t （當t 時）。 證明： a) )( 有界 存在 M0,使得 ),0,)( 又 tt , 是齊線性方程組的基本解組 非齊線性方程組的解 6)(7)(0 87707777 178(66)( 70 77 又對于非齊線性方程組 的滿足初始條件的解 x(t)，都存在固定的常數 21,使得 )()( 271 從而 )( 21271 故上面方程的每一個解在 有界 b) t 時， 0)( N ,0 當 t)(由 a)的結論 )(,214214)()( 21271 故 t 時，原命題成立 11、給定方程組 ( （ 這里 A(t)是區(qū)間 上的連續(xù) 矩陣，設 )(t 是（ 一個基解矩陣， (t,x)在 ， x 上連續(xù)， ,0 試證明初值問題： )(),()(0 （ *） 的唯一解 )(t 是積分方程組 )(,(0()()()()( 0 101 （ *） 的連續(xù)解。反之，（ *）的連續(xù)解也是初值問題（ 8）的解。 證明：若 )(t 是（ *）的唯一解 則由非齊線性方程組的求解公式 t