2017年河南省洛陽市高考數(shù)學模擬試卷（文科）含答案解析

2017 年河南省洛陽市高考數(shù)學模擬試卷（文科）（ 3 月份） 一、選擇題（本題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1設復數(shù) z 滿足 =|1 i|+i（ i 為虛數(shù)單位），則復數(shù) z 為（ ） A i B +i C 1 D 1 2i 2已知集合 A= 1， 1， 3， B=1， 2a， B A，則實數(shù) a 的不同取值個數(shù)為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3已知 ， 是非零向量且滿足（ 2 ） ，（ 2 ） ，則 與 的夾角是（ ） A B C D 4已知等差數(shù)列 公差和首項都不等于 0，且 等比數(shù)列，則=（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 5設 a= b= （ ， c= ，則 a， b， c 的大小關系是（ ） A a b c B b a c C c a b D a c b 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（ ）A B C D 3 7意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究 兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)： 1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是 1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列 為“斐波那契數(shù)列 ”，則（ a ）（ a ）（ a ） （ a ）=（ ） A 1 B 1 C 2017 D 2017 8如圖所示，使用模擬方法估計圓周率值的程序框閏， P 表示估計的結果，剛圖中空白框內應填入 P=（ ） A B C D 9已知直線 x+y k=0（ k 0）與圓 x2+ 交于不同的兩點 A、 B， O 是坐標原點，且有 ，那么 k 的取值范圍是（ ） A B C D 10一個透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉動這個正方體，則水面在容器中的形狀可以是：（ 1）三角形；（ 2）四邊形；（ 3）五邊形；（ 4）六邊形，其中正確的結論是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 2）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 11已知直線 y=k（ x+2）（ k 0）與拋物線 C： x 相交于 A， B 兩點， F 為C 的焦點 ，若 |2|則點 A 到拋物線的準線的距離為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 12已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x 0 時， f（ x） =x+1），給出下列命題： 當 x 0 時， f（ x） =e x（ x 1）； 函數(shù) f（ x）有 2 個零點； f（ x） 0 的解集為（ ， 1） （ 0， 1）， R，都有 |f（ f（ | 2 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13中心在原點， 焦點在 x 軸上的雙曲線的一條漸近線經過點（ 2， 1），則它的離心率為 14設 a 0， b 0若 是 3a 與 32b 的等比中項，則 + 的最小值為 15已知 p： x ， ， 2x m（ ）， q：函數(shù) f（ x） =4x+2x+1+m 1 存在零點，若 “p 且 q”為真命題，則實數(shù) m 的取值范圍是 16已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ），動點 P（ x，y）滿足 0 2且 0 2，則點 的距離大于 的概率為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分） 17（ 12 分）已知 f（ x） = +x） x） 0）的最小正周期為 T= （ 1）求 f（ ）的值 （ 2）在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，若（ 2a c） 角 B 的大小以及 f（ A）的取值范圍 18（ 12 分）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各 5 個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示其中一個數(shù)字被污損 （ 1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù) 的概率 （ 2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了 4 位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）； 年齡 x（歲） 20 30 40 50 周均學習成語知識時間 y（小時） 3 4 表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程 = x+ ，并預測年齡為 50 歲觀眾周均學習成語知識時間 參考公式： = ， = 19（ 12 分）如圖，在四棱錐中 P ，底 面 菱形，且 0，D， M 為 中點，平面 平面 （ 1）求證： （ 2）若 0， ，求點 A 到平面 距離 20（ 12 分）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的左、右交點分別為 |4 ， A（ ， ）是橢圓上一點 （ 1）求橢圓 C 的標準方程和離心率 e 的值； （ 2）若 T 為橢圓 C 上異于頂點的任意一點， M， N 分別為橢圓的右頂點和上頂點，直線 y 軸交于點 P，直線 x 軸交于點 Q，求證： |定值 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若 a=2， F（ x） =f（ x） g（ x），求 F（ x）的單調區(qū)間； （ 2）若函數(shù) g（ x） =ax+b 是函數(shù) f（ x） =圖象的切線，求 a+b 的最小值 選修 4標系與參數(shù)方程 22（ 10 分）在直角坐標系 ，曲線 參數(shù)方程為 （ a 為參數(shù)），以坐標原點為極點，以 x 軸的正半周為極軸，建立極坐標系，曲線 極坐標方程為 ） =3 （ 1）寫出 普通方程和 直角坐標方程； （ 2）設點 P 在 ，點 Q 在 ，求 |最小值及此時 P 的直角坐標 選修 4等式選講 23已知關于 x 的不等式 |x+3|+|x+m| 2m 的解集為 R （ 1）求 m 的最大值； （ 2）已知 a 0， b 0， c 0，且 a+b+c=1，求 2最小值及此時 a， b，c 的值 2017 年河南省洛陽市高考數(shù)學模擬試卷（文科）（ 3 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1設復數(shù) z 滿足 =|1 i|+i（ i 為虛數(shù)單位），則復數(shù) z 為（ ） A i B +i C 1 D 1 2i 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)的模的計算公式、共軛復數(shù)的定義即可得出 【解答】 解：復數(shù) z 滿足 =|1 i|+i= +i，則復數(shù) z= i 故選： A 【點評】 本題考查了復數(shù)的模的計算公式、共軛復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 2已知集合 A= 1， 1， 3， B=1， 2a， B A，則實數(shù) a 的不同取值個數(shù)為（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 集 合的包含關系判斷及應用；交集及其運算 【分析】 根據(jù)題意，分析可得：若 B A，必有 2a= 1 或 2a=3，分 2 種情況討論可得答案 【解答】 解： B A， 2a= 1 或 2a=3 由 2a= 1 得 2a+1=0，解得 a=1 當 a=1 時， B=1， 1，滿足 B A 由 2a=3 得 2a 3=0，解得 a= 1 或 3， 當 a= 1 時， B=1， 3，滿足 B A， 當 a=3 時， B=1， 3，滿足 B A 綜上，若 B A，則 a= 1 或 a=3 故選： B 【點評】 本題考 查集合間包含關系的運用，注意分情況討論時，不要漏掉情況 3已知 ， 是非零向量且滿足（ 2 ） ，（ 2 ） ，則 與 的夾角是（ ） A B C D 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角 【分析】 利用兩個向量垂直，數(shù)量積等于 0，得到 = =2 ，代入兩個向量的夾角公式得到夾角的余弦值，進而得到夾角 【解答】 解： （ ） ，（ ） ， （ ） = 2 =0， （ ） = 2 =0， = =2 ，設 與 的夾角為 ， 則由兩個向量的夾角公式得 = = = ， =60， 故選 B 【點評】 本題考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的夾角公式的應用 4已知等差數(shù)列 公差和首項都不等于 0，且 等比數(shù)列，則=（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 【考點】 等比數(shù)列的性質 【分析】 利用等差數(shù)列 公差和首項都不等于 0，且 等比數(shù)列，可得 d=可求出 【解答】 解： 等差數(shù)列 公差和首項都不等于 0，且 等比數(shù)列， （ d） 2=（ a1+d）（ d）， d2= d 0， d= = =3 故選： B 【點評】 本題考查等差數(shù)列的性質，考查學生的計算能力，比較基礎 5設 a= b= （ ， c= ，則 a， b， c 的大小關系是（ ） A a b c B b a c C c a b D a c b 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 利用兩角和公式和倍角公式對 a， b， c 分別化簡，利用誘導公式再轉化成單調區(qū)間的正弦函數(shù)，最后利用正弦函 數(shù)的單調性求得答案 【解答】 解： a=40+127） = b= （ = 56 45） = = a c b 故選： D 【點評】 本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，考查了兩角和公式，二倍角公式，誘導公式的應用，正弦函數(shù)的單調性，屬于基 礎題 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（ ） A B C D 3 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面 平面 棱錐 A 高為 1，四邊形 邊長為 1 的正方形，分別計算側面積，即可得出結論 【解答】 解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面 平面 棱錐 A 高為 1，四邊形 邊長為 1 的正方形，則 S= ， S = ， S = ， 故選： B 【點評】 本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的側面積的求法，考查計算能力 7意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)： 1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是 1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列 為“斐波那契數(shù)列 ”，則（ a ）（ a ）（ a ） （ a ）=（ ） A 1 B 1 C 2017 D 2017 【考點 】 數(shù)列的應用 【分析】 利用 a =1 2 12=1， a =1 3 22= 1， a =25 32=1， ， a =1即可得出 【解答】 解： a =1 2 12=1， a =1 3 22= 1， a =2 5 32=1， ， a =1 （ a ）（ a ）（ a ） （ a ） =11008 （1） 1007= 1 故選： B 【點評】 本題考查了斐波那契數(shù)列的性 質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 8如圖所示，使用模擬方法估計圓周率值的程序框閏， P 表示估計的結果，剛圖中空白框內應填入 P=（ ） A B C D 【考點】 程序框圖 【分析】 由題意以及框圖的作用，直接推斷空白框內應填入的表達式 【解答】 解：由題意以及程序框圖可知，用模擬方法估計圓周率 的程序框圖，M 是圓周內的點的次數(shù)，當 i 大于 2017 時， 圓周內的點的次數(shù)為 4M，總試驗次數(shù)為 2017， 所以要求的概率 ， 所以空白框內應填入的表達式是 P= 故選： C 【 點評】 本題考查程序框圖的作用，考查模擬方法估計圓周率 的方法，考查計算能力，屬于基礎題 9已知直線 x+y k=0（ k 0）與圓 x2+ 交于不同的兩點 A、 B， O 是坐標原點，且有 ，那么 k 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 向量在幾何中的應用；直線與圓相交的性質 【分析】 利用平行四邊形法則，借助于正弦與圓的位置關系，利用直角三角形，即可求得結論 【解答】 解：設 點為 D，則 ， 直線 x+y k=0（ k 0）與圓 x2+ 交 于不同的兩點 A、 B， 4 4 k 0， 故選 C 【點評】 本題考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題 10一個透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉動這個正方體，則水面在容器中的形狀可以是：（ 1）三角形；（ 2）四邊形；（ 3）五邊形；（ 4）六邊形，其中正確的結論是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 2）（ 4） C（ 2）（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3）（ 4） 【考點】 平面的基本性質及推論 【分析】 利用正方體的結構特征求 解 【解答】 解：正方體容器中盛有一半容積的水， 無論怎樣轉動，其水面總是過正方體的中心 三角形截面不過正方體的中心，故（ 1）不正確； 過正方體的一對棱和中心可作一截面，截面形狀為長方形，故（ 2）正確； 正方體容器中盛有一半容積的水，任意轉動這個正方體， 則水面在容器中的形狀不可能是五邊形，故（ 3）不正確； 過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心得截面形狀為正六邊形，故（ 4）正確 故選： B 【點評】 本題考查水面在容器中的形狀的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng) 11已知直線 y=k（ x+2）（ k 0）與拋物線 C： x 相交于 A， B 兩點， F 為C 的焦點，若 |2|則點 A 到拋物線的準線的距離為（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考點】 直線與拋物線的位置關系 【分析】 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點，如圖過 A、 B 分別作 l 于 M，l 于 N，根據(jù) |2|推斷出 |2|點 B 為 中點、連接 知 | |推斷出 |進而求得點 B 的橫坐標，即可求得點 A 到拋物線的準線的距離 【解答】 解：設拋 物線 C： x 的準線為 l： x= 2， 直線 y=k（ x+2）恒過定點 P（ 2， 0） 如圖過 A、 B 分別作 l 于 M， l 于 N， 由 |2|則 |2| 點 B 為 中點、連接 則 | | |點 B 的橫坐標為 1， |6， 點 A 到拋物線的準線的距離為 6 故選： A 【點評】 本題考查了拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 12已知函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x 0 時， f（ x） =x+1），給出下列命題： 當 x 0 時， f（ x） =e x（ x 1）； 函數(shù) f（ x）有 2 個零點； f（ x） 0 的解集為（ ， 1） （ 0， 1）， R，都有 |f（ f（ | 2 其中正確命題的個數(shù)是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 根據(jù) f（ x）為奇函數(shù)，設 x 0，得 x 0，可求出 f（ x） =e x（ x 1）判定 正確； 由 f（ x）解析式求出 1， 1， 0 都是 f（ x）的零點，判定 錯誤； 由 f（ x）解析式求出 f（ x） 0 的解集，判斷 正確； 分別對 x 0 和 x 0 時的 f（ x）求導，根據(jù)導數(shù)符號判斷 f（ x）的單調性， 根據(jù)單調性求 f（ x）的值域，可得 R，有 |f（ f（ | 2，判定 正確 【解答】 解：對于 ， f（ x）為 R 上的奇函數(shù)，設 x 0，則 x 0， f（ x） =e x（ x+1） = f（ x）， f（ x） =e x（ x 1）， 正確； 對于 ， f（ 1） =0， f（ 1） =0，且 f（ 0） =0， f（ x）有 3 個零點， 錯誤； 對于 ， x 0 時， f（ x） =x+1），易得 x 1 時， f（ x） 0； x 0 時， f（ x） =e x（ x 1），易得 0 x 1 時， f（ x） 0； f（ x） 0 的解集為（ ， 1） （ 0， 1）； 正確； 對于 ， x 0 時， f（ x） =x+2），得 x 2 時， f（ x） 0， 2 x 0 時， f（ x） 0； f（ x）在（ ， 0）上單調遞減，在（ 2， 0）上單調遞增； x= 2 時， f（ x）取最小值 e 2，且 x 2 時， f（ x） 0； f（ x） f（ 0） =1； 即 e 2 f（ x） 1； x 0 時， f（ x） =e x（ 2 x）； f（ x）在（ 0， 2）上單調遞增，在（ 2， + ） 上單調遞減； x=2 時， f（ x）取最大值 e 2，且 x 2 時， f（ x） 0； f（ x） f（ 0） = 1； 1 f（ x） e 2； f（ x）的值域為（ 1， e 2 e 2， 1）； R，都有 |f（ f（ | 2； 正確； 綜上，正確的命題是 ，共 3 個 故選： B 【點評】 本題考查了奇函數(shù)的定義與應用問題，也考查了函數(shù)的零點以及不等式的解集、根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法，是綜合性題目 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線的一條漸近線經過點（ 2， 1），則它的離心率為 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 利用已知條件列出關系式求解即可 【解答】 解：中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線的一條漸近線經過點（ 2， 1）， 可得 2b a=0，即 44a2= 可得 4a2 e= 故答案為： 【點評】 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力 14設 a 0， b 0若 是 3a 與 32b 的等比中項，則 + 的最小值為 8 【考點】 基本不等式 【分析】 根據(jù)題意 ，由等比數(shù)列的性質可得 3a 32b=（ ） 2，變形化簡可得 a+2b=1，進而有 + =（ a+2b）（ + ） =4+（ + ），結合基本不等式可得 + 的最小值，即可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，若 是 3a 與 32b 的等比中項， 則有 3a 32b=（ ） 2，即 3a+2b=3， 則有 a+2b=1； 則 + =（ a+2b）（ + ） =4+（ + ） 4+2 =8； 即 + 的最小值為 8； 故答案為： 8 【點評】 本題考查基本不等式的運用，涉及等比數(shù)列的性質，關鍵是求出 a+2b=1 15已知 p： x ， ， 2x m（ ）， q：函數(shù) f（ x） =4x+2x+1+m 1 存在零點，若 “p 且 q”為真命題，則實數(shù) m 的取值范圍是 （ ， 1） 【考點】 復合命題的真假 【分析】 分別求出 p， q 為真時的 m 的范圍，取交集即可 【解答】 解：已知 p： x ， ， 2x m（ ）， 故 m ， 令 g（ x） = ，則 g（ x）在 ， 遞減， 故 g（ x） g（ ） = ， 故 p 為真時： m ； q：函數(shù) f（ x） =4x+2x+1+m 1=（ 2x+1） 2+m 2， 令 f（ x） =0，得 2x= 1， 若 f（ x）存在零點， 則 1 0，解得： m 1， 故 q 為真時， m 1；若 “p 且 q”為真命題， 則實數(shù) m 的取值范圍是：（ ， 1）， 故答案為：（ ， 1） 【點評】 本題考查了復合命題的判斷，考查函數(shù)恒成立問題以及指數(shù)函數(shù)的性質，是一道中檔題 16已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ），動點 P（ x，y）滿足 0 2 且 0 2，則點 P 到點 C 的距離大于 的概率為 1 【考點】 幾何概型；平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標公式將不等式進行化簡，作出不等式組對應的平面區(qū)域 ，利用幾何概型的概率公式即可得到結論 【解答】 解： A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ ， ）， 動點 P（ a， b）滿足 0 2 且 0 2， ， z=（ a ） 2+（ b ） 2 ， 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 點 P 到點 C 的距離大于 ， |，則對應的部分為陰影部分， 由 解得 ， 即 E（ ， ）， | = ， 正方形 面積為 ， 則陰影部分的面積為 ， 根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為 = ， 【點評】 本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，利用 數(shù)量積將不等式進行轉化，求出相應區(qū)域的面積是解決本題的關鍵 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017洛陽模擬）已知 f（ x） = +x） x） 0）的最小正周期為 T= （ 1）求 f（ ）的值 （ 2）在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，若（ 2a c） 角 B 的大小以及 f（ A）的取值范圍 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ 1） f（ x） = +x） x） = =2x ） 由最小正周期得 （ 2）由（ 2a c） （ 2 B，再求 f（ A）的取值范圍 【解答】 解：（ 1） f（ x） = +x） x） =2x ） 最小正周期為 T=， ， =1 f（ x） =2x ） f（ ） =2 ） = （ 2） （ 2a c） （ 2 2B+C） = 0， ， B （ 0， ）， A ， 2A ， 2A ） f（ A）的取值范圍：（ 1， 【點評】 本題考查了三角恒等變形，解三角形，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017洛陽模擬）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各 5 個城 市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示其中一個數(shù)字被污損 （ 1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率 （ 2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了 4 位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）； 年齡 x（歲） 20 30 40 50 周均學習成語知識時間 y（小時） 3 4 表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程 = x+ ，并預測年齡為 50 歲觀眾周均學習成語知識時間 參考公式： = ， = 【考點】 線性回歸方程；莖葉圖 【分析】 （ 1）求出基本事件的個數(shù)，即可求出概率； （ 2）求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，再預測年齡為 50 歲觀眾周均學習成語知識時間 【解答】 解：（ 1）設被污損的數(shù)字為 a，則 a 有 10 種情況 令 88+89+90+91+92 83+83+97+90+a+99，則 a 8， 東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)，有 8 種情況， 其概率為 = ； （ 2） =35， = = = = ， = = = x+ x=50 時， =時 【點評】 本題考查古典概型概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，屬于中檔題 19（ 12 分）（ 2017洛陽模擬）如圖，在四棱錐中 P ，底面 0， D， M 為 中點，平面 平面 （ 1）求證： （ 2）若 0， ，求點 A 到平面 距離 【考點】 點、線、面間的距離計算；平面與平面垂直的性質 【分 析】 （ 1）取 點 E，連接 明： 平面 可證明 （ 2）利用等體積方法，求點 A 到平面 距離 【解答】 （ 1）證明：取 點 E，連接 底面 菱形， E， M 分別是 中點， D， 平面 平面 面 平面 D， 平面 ， 平面 面 （ 2）解： D= ， 0， 0， B=， ， = ， B= =2 等邊三角形 ， ， S ， S = 設三棱錐 A 高為 h，則由等體積可得 ， h= ， 點 A 到平面 距離為 【點評】 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面距離的計算，考查等體積方法的運用，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2017洛陽模擬）已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的左、右交點分別為 |4 ， A（ ， ）是橢圓上一點 （ 1）求橢圓 C 的標準方程和離心率 e 的值； （ 2）若 T 為橢圓 C 上異于頂點的任意一點， M， N 分別為橢圓的右頂點和上頂點，直線 y 軸交于點 P，直線 x 軸交于點 Q，求證： |定值 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）由已知得 c=2 ， 2 ， 0）， 2 ），2a=| + =8，即可求方程、離心率 （ 2）寫出直線 M 的方程，得 P（ ，得 Q（ 0， ），即|4+ |=| | ，|2+ |=| | = 【解答】 解：（ 1）由已知得 c=2 ， 2 ， 0）， 2 ）， 2a=| + =8 a=4， b2=， e= 橢圓 C 的標準方程： e= （ 2） T（ （ 0， 0），則 M（ 0， 2）， N（ 4， 0）， 直線 方程為： ， 令 y=0，得 P（ ， 直線 方程： ， 令 x=0，得 Q（ 0， ） 則 |4+ |=| | 則 |2+ |=| | | = |定值 16 【點評】 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2017洛陽模擬）已知函數(shù) f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若 a=2， F（ x） =f（ x） g（ x），求 F（ x）的單調區(qū)間； （ 2）若函數(shù) g（ x） =ax+b 是函數(shù) f（ x） =圖象的切線，求 a+b 的最小值 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ 1）求出 F（ x）的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間 即可； （ 2）設切點（ m， ），求出 f（ x）的導數(shù)，由題意可得 a= + ， =ma+b，即可得到 a+b=+ 1，令 =t 0 換元，可得 a+b=（ t） = t 1，利用導數(shù)求其最小值即可得到 a+b 的最小值 【解答】 解：（ 1） a=2 時， F（ x） =f（ x） g（ x） = 2x b， F（ x） = + 2，（ x 0）， F（ x） = ， 令 F（ x） 0，解得： 0 x 1， 令 F（ x） 0，解得： x 1， 故 F（ x）在（ 0， 1）遞增，在（ 1， + ）遞減； （ 2）：設切點（ m， ），函數(shù) f（ x） =的導數(shù)為 f（ x） = + ， 即有切線的斜率為 + ， 若直線 g（ x） =ax+b 是函數(shù) f（ x） =圖象的切線， 則 a= + ， =ma+b， 即有 b= 1， a+b=+ 1， 令 =t 0，則 a+b= t+1，