2017年河南省平頂山市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

2017 年河南省平頂山市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1若集合 A=x|x| 1 ， B=x| 1，則 A B=（ ） A（ 1， 1 B 1， 1 C（ 0， 1） D（ ， 1 2若復(fù)數(shù)（ 1+2i）（ 1+純虛數(shù)（ i 為虛數(shù)單位），則實數(shù) a 的值是（ ） A 2 B C D 2 3某幾何體的三視圖如圖所示，它的表面積為（ ） A 66 B 51 C 48 D 33 4下列說法正確的是（ ） A “ x R， 0”的否定是 “ x R，使 0” B若 x+y 3（ x， y R），則 x 2 或 y 1 C “x 1 x 2）恒成立 ”等價于 “（ x） （ 1 x 2） ” D “若 a= 1，則函數(shù) f（ x） =x 1 只有一個零點 ”的逆命題為真命題 5已知向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = + ，如果 那么實數(shù) =（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 6若對于任意的 x 0，不等式 a 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A a B a C a D a 7甲袋中裝有 3 個白球和 5 個黑球，乙袋中裝有 4 個白球和 6 個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出一個球放回甲袋中，則甲袋中白球沒有減少的概率為（ ） A B C D 8若執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的 s 值為（ ） A 2016 B 2016 C 2017 D 2017 9高為 5，底面邊長 為 4 的正三棱柱形容器（下有底）內(nèi)，可放置最大球的半徑是（ ） A B 2 C D 10已知點 p（ x， y）滿足 過點 p（ x， y）向圓 x2+ 做兩條切線，切點分別是點 A 和點 B，則當(dāng) 大時， 的值是（ ） A 2 B 3 C D 11過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點 D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 12已知 f（ x）是定義在（ 0， + ）的函數(shù)對任意兩個不相等的正 數(shù) 有 0，記 a= ， b= ， c= ，則（ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè)隨機(jī)變量 N（ 2， 4），若 P（ a+2） =P（ 2a 3），則實數(shù) a 的值為 14若 的展開式中第 3 項的二項式系數(shù)是 15，則展開式中所有項的系數(shù)之和為 15在 ， a=3， b=2 ， B=2 A，則 c= 16已知函數(shù) f（ x） = 若 a 0，則函數(shù) y=f（ f（ x） 1 有 個零點 三 、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 12 分）已知 數(shù)列 前 n 項和，且 22（ n N*） （ ）求 （ ）若 bn=），求數(shù)列 前 n 項和 18（ 12 分）某校高一共錄取新生 1000 名，為了解學(xué)生視力情況，校醫(yī)隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生進(jìn)行視力測試，并得到如下頻率分布直方圖 （ ）若視力在 學(xué)生有 24 人，試估計高一新生視力在 上的人數(shù)； 1 50名 951 1000名 近視 41 32 不近視 9 18 （ ）校醫(yī)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)成績較高的學(xué)生近視率較高，又在抽取的 100 名學(xué)生中，對成績在前 50 名的學(xué)生和其他學(xué)生分別進(jìn)行統(tǒng)計，得到如右數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，校醫(yī)能否有超過 95%的把握認(rèn)為近視與學(xué)習(xí)成績有關(guān)？ （ ）用分層抽樣的方法從（ ）中 27 名不近視的學(xué)生中抽出 6 人，再從這 6人中任抽 2 人，其中抽到成績在前 50 名的學(xué)生人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 附： P（ k） k 9（ 12 分）如圖，在四棱錐 P ， 平面 B=C=2 （ ）求證：平面 平面 （ ）求二面角 C B 的余弦值 20（ 12 分）如圖，點 P 為圓 E：（ x 1） 2+y2=r 1）與 x 軸的左交點，過點 P 作弦 y 軸交于 中點 D （ ）當(dāng) r 在（ 1， + ）內(nèi)變化時，求點 Q 的軌跡方程； （ ）已知點 A（ 1， 1），設(shè)直線 別與（ ）中的軌跡交于另一點 證：當(dāng) Q 在（ ）中的軌跡上移動時，只要 存在，且重合，則直線 過定點，并求該定點坐標(biāo) 21（ 12 分）設(shè)函數(shù) f（ x） = （ 1）證明： f（ x）在（ ， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， + ）單調(diào)遞增； （ 2）若對于任意 1， 1，都有 |f（ f（ | e 1，求 m 的取值范圍 請考生從（ 22）、（ 23）兩題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑（本小題滿分 10 分） 選修 4標(biāo)系與 參數(shù)方程 22（ 10 分）在直角坐標(biāo)系 ，以坐標(biāo)原點為極點，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 =2 （ ）將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程： （ ）如果過曲線 C 上一點 M 且斜率為 的直線與直線 l： y= x+6 交于點 Q，那 么當(dāng) |得最小值時，求 M 點的坐標(biāo) 選修 4等式選講 23已知函數(shù) f（ x） =|x 2|+|x+1| （ ）解不等式 f（ x） 5； （ ）若 f（ x） 對任意實數(shù) x 恒成立，求 a 的取值范圍 2017 年河南省平頂山市 高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1若集合 A=x|x| 1 ， B=x| 1，則 A B=（ ） A（ 1， 1 B 1， 1 C（ 0， 1） D（ ， 1 【考點】 并集及其運(yùn)算 【分析】 分別求出集合 A、 B 的范圍，取并集即可 【解答】 解：集合 A=x|x| 1 =（ 1， 1）， B=x| 1=（ 0， 1， 則 A B=（ 1， 1， 故選： A 【點評】 本題考查了 集合的并集的運(yùn)算，考查不等式問題，是一道基礎(chǔ)題 2若復(fù)數(shù)（ 1+2i）（ 1+純虛數(shù)（ i 為虛數(shù)單位），則實數(shù) a 的值是（ ） A 2 B C D 2 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù)（ 1+2i）（ 1+=1 2a+（ 2+a） i 是純虛數(shù)，則 1 2a=0， 2+a 0，解得 a= 故選： B 【點評】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題 3某幾何體的三視圖如圖所示，它 的表面積為（ ） A 66 B 51 C 48 D 33 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一組合體，上部為半球體，直徑為6下部為母線長為 5 的圓錐，分別求面積，再相加即可 【解答】 解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一組合體，上部為半球體，直徑為 6下部為母線長為 5 的圓錐 半球表面積為 2 32=18 圓錐的側(cè)面積為 3 5=15 所以所求的表面積為 +15=33 故選 D 【點評】 本題考查由三視圖考查由三視圖還原幾何體直觀圖，求幾何體的表 面積，屬于基礎(chǔ)題 4下列說法正確的是（ ） A “ x R， 0”的否定是 “ x R，使 0” B若 x+y 3（ x， y R），則 x 2 或 y 1 C “x 1 x 2）恒成立 ”等價于 “（ x） （ 1 x 2） ” D “若 a= 1，則函數(shù) f（ x） =x 1 只有一個零點 ”的逆命題為真命題 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 A， “ x R， 0”的否定是 “ x R，使 0”； B，命題 “若 x+y 3（ x， y R），則 x 2 或 y 1”的 逆否命題是： “若 x=2 且 y=1，則 x+y=3“為真命題，故原命題為真命題； C，例 a=2 時， x 2x 在 x 1， 2上恒成立，而（ x） 2； D， a=0 時，函數(shù) f（ x） =x 1 只有一個零點； 【解答】 解：對于 A， “ x R， 0”的否定是 “ x R，使 0”，故錯； 對于 B，命題 “若 x+y 3（ x， y R），則 x 2 或 y 1”的逆否命題是： “若 x=2且 y=1，則 x+y=3“為真命題，故原命題為真命題，故正確； 對于 C，例 a=2 時， x 2x 在 x 1， 2上恒成立，而（ x） 2，故錯； 對于 D，原命題的逆命題為：若函數(shù) f（ x） =x 1 只有一個零點，則 a= 1“， a=0 時，函數(shù) f（ x） =x 1 只有一個零點，故錯； 故選： B 【點評】 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題 5已知向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = + ，如果 那么實數(shù) =（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考點】 數(shù)量積判 斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 【分析】 先利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出 ， ，再由 ，利用向量垂直的條件能求出實數(shù) 【解答】 解： 向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 1）， = + ， m =（ 0， 3）， =（ 1+， 2+）， =0 3（ 2+） =0， 解得 =2 故選： C 【點評】 本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的 合理運(yùn)用 6若對于任意的 x 0，不等式 a 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） A a B a C a D a 【考點】 基本不等式 【分析】 由 x 0，不等式 = ，運(yùn)用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得 a 的范圍 【解答】 解：由 x 0， = ， 令 t=x+ ，則 t 2 =2 當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時， t 取得最小值 2 取得最大值 ， 所以對于任意的 x 0，不等式 a 恒成立， 則 a ， 故選： A 【點評】 本題考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力 ，屬于中檔題 7甲袋中裝有 3 個白球和 5 個黑球，乙袋中裝有 4 個白球和 6 個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出一個球放回甲袋中，則甲袋中白球沒有減少的概率為（ ） A B C D 【考點】 古典概型及其概率計算公式 【分析】 白球沒有減少的情況有： 抓出黑球，抓入任意球，概率是： 抓出白球，抓入白球，概率是 ，再把這 2 個概率相加，即得所求 【解答】 解：白球沒有減少的情況有： 抓出黑球，抓入任意球，概率是： 抓出白球，抓入白球，概率是 = ， 故 所求事件的概率為 = ， 故選 C 【點評】 本題考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 8若執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的 s 值為（ ） A 2016 B 2016 C 2017 D 2017 【考點】 程序框圖 【分析】 由程序框圖求出前幾次運(yùn)行結(jié)果，觀察規(guī)律可知，得到的 S 的結(jié)果與 程序框圖可得當(dāng) n=2017 時，退出循環(huán)，由此能求出結(jié)果 【解答】 解：模擬程序的運(yùn)行，可得 n=1， s=0 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s= 1， n=2 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán) 體， s= 1+3=2， n=3 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s= 1+3 5= 3， n=4 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s= 1+3 5+7=4， n=5 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s= 5， n=6 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s=6， n=7 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s= 2015， n=2016 滿足條件 n 2017，執(zhí)行循環(huán)體， s=2016， n=2017 不滿足條件 n 2017，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 2016 故選： B 【點評】 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng) 模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題 9高為 5，底面邊長為 4 的正三棱柱形容器（下有底）內(nèi)，可放置最大球的半徑是（ ） A B 2 C D 【考點】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 由題中條件知高為 5，底面邊長為 4 的正三棱柱形容器（下有底）內(nèi)，可放置最大球的半徑，即為底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑，然后解答即可 【解答】 解：由題意知， 正三棱柱形容器內(nèi)有一個球，其最大半徑為 r r 即為底面正三角形的內(nèi)切圓半徑， 底面邊長為 4 的 r=2 故選 B 【點評】 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特 征、球的性質(zhì)，考查學(xué)生空間想象能力，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造球的大圓溝通條件之間的聯(lián)系 10已知點 p（ x， y）滿足 過點 p（ x， y）向圓 x2+ 做兩條切線，切點分別是點 A 和點 B，則當(dāng) 大時， 的值是（ ） A 2 B 3 C D 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求確定當(dāng) 最小時， P 的位置，利用向量的數(shù)量積公式，求解即可 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，要使 大， 則 P 到圓心的距離最小即可， 由圖象可知當(dāng) 直直線 x+y 2 =0 時 P 到圓心的距離最小，此時| =2， |1， 設(shè) ，則 ， = 此時 ， = = 故選： D 【點評】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵 11過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的右焦點 D 作直線 y= x 的垂線，垂足為 A，交雙曲線左支于 B 點，若 =2 ，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 2 C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)題意直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程，求出A 的坐標(biāo)，進(jìn)而求得 B 的表達(dá)式，代入雙曲線方程整理求得 a 和 c 的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率 【解答】 解：設(shè) F（ c， 0），則直線 方程為 y= （ x c）代入雙曲線漸近線方程 y= x 得 A（ ， ）， 由 =2 ，可得 B（ ， ）， 把 B 點坐標(biāo)代入雙曲線方程 =1， 即 =1，整理可得 c= a， 即離心率 e= = 故選： C 【點評】 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)解題的關(guān)鍵是通過分析題設(shè)中的信息，找到雙曲線方程中 a 和 c 的關(guān)系 12已知 f（ x）是定義 在（ 0， + ）的函數(shù)對任意兩個不相等的正數(shù) 有 0，記 a= ， b= ， c= ，則（ ） A a b c B b a c C c a b D c b a 【考點】 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 【分析】 由題意可得函數(shù) 是（ 0， + ）上的增函數(shù)，比較大小可得 可得答案 【解答】 解： f（ x）是定義在（ 0， + ）上的函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)有 0， 函數(shù) 是（ 0， + ）上的增函數(shù)， 1 3， 0 1， 2， c a b 故選： C 【點評】 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用能力，屬于中檔題 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè)隨機(jī)變量 N（ 2， 4），若 P（ a+2） =P（ 2a 3），則實數(shù) a 的值為 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 直接利用正態(tài)分布的對稱性，列出方程求解即可 【解答】 解：由題意可知隨機(jī)變量 N（ 2， 4），滿足正態(tài)分布，對稱軸為 =2， P（ a+2） =P（ 2a 3）， 則： a+2+2a 3=4，解得 a= 故答案為 【點評】 本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力 14若 的展開式中第 3 項的二項式系數(shù)是 15，則展開式中所有項的系數(shù)之和為 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 求出展開式的通項，令 r=2 求出展開式第 3 項的二項式系數(shù)，列出方程求出 n；令二項式中的 x=1 求出展開式的所有項的系數(shù)和 【解答】 解：展開式的通項為 當(dāng) r=2 時是展開式中第 3 項的二項式系數(shù)為 5 解得 n=6 令二項式中的 x=1 得 展開式中所有項的系數(shù)之和 為 故答案為： 【點評】 本題考查了二項式這部分的兩個重要的題型：求展開式的特定項、求展開式的系數(shù)和問題 15在 ， a=3， b=2 ， B=2 A，則 c= 5 【考點】 余弦定理 【分析】 由 B=2 A，得到 用正弦定理化簡將 a 與b 的值代入求出 值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將 a， b， 值代入即可求出 c 的值 【解答】 解： B=2 A， 利用正弦定理化簡得： b=2 把 a=3， b=2 代入得： 2 =6 ， 由余弦定理得： a2=b2+2 9=24+8c， 解得： c=5 或 c=3， 當(dāng) c=3 時， a=c，即 A= C， B=2 A=2 C， A+ C= B，即 B=90， 而 32+32 （ 2 ） 2，矛盾，舍去； 則 c=5 故答案為： 5 【點評】 此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵 16已知函數(shù) f（ x） = 若 a 0，則函數(shù) y=f（ f（ x） 1 有 3 個零點 【考點】 根的存 在性及根的個數(shù)判斷 【分析】 函數(shù) y=f（ f（ x） 1=0，求出 f（ x）的值，然后利用分段函數(shù)的表達(dá)式求解 x 的值，推出結(jié)果 【解答】 解：函數(shù) y=f（ f（ x） 1，令 f（ f（ x） 1=0， 當(dāng) f（ x） 0 時，可得 x） =1，解得 f（ x） =2， 則 ，解得 x=4， =2，解得 x= （舍去） 當(dāng) f（ x） 0，可得 x） +1=1，解得 f（ x） =0， 則 ，解得 x=1， =0，解得 x= 所以函數(shù)的零點 3 個 故答案為： 3 【點評】 本題考查分段函數(shù)的應(yīng) 用，函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（ 12 分）（ 2017平頂山一模）已知 數(shù)列 前 n 項和，且 22（ n N*） （ ）求 （ ）若 bn=），求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 （ ）由 22 可求得 ；當(dāng) n 2 時， 1，從而可知數(shù)列 首項為 2，公比為 3 的等比數(shù)列，繼而可得 （ ）由（ ）知 n 1，從而可得 bn=n， n，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列 前 n 項和 【解答】 解：（ ） 22， n=1 時， 22，解得 ； 當(dāng) n 2 時， 21=31 2， 221=331， 231， 1， 數(shù)列 首項為 2，公比為 3 的等比數(shù)列， 3n 1， =3n 1， （ ） 3n 1， n 1， bn=） =n， n， +4+6+ +2n= =n2+n 【點評】 本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的判定與通項公式、求和公式的應(yīng)用，突出考查等差數(shù)列的求和，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017平頂山一模）某校高一共錄取新生 1000 名，為了解學(xué)生視力情況，校醫(yī)隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生進(jìn)行視力測試，并得到如下頻率分布直方圖 （ ）若視力在 學(xué)生有 24 人，試估計高一新生視力在 上的人數(shù)； 1 50名 951 1000名 近視 41 32 不近視 9 18 （ ）校醫(yī)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)成績較高的學(xué)生近視率較高，又在抽取的 100 名學(xué)生中，對成績在前 50 名的學(xué)生和其他學(xué)生分別進(jìn)行統(tǒng)計，得到如右數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，校醫(yī)能否有超過 95%的把握認(rèn)為近視與學(xué)習(xí)成績有關(guān)？ （ ）用分層抽樣的方法從（ ）中 27 名不近視的學(xué)生中抽出 6 人，再從這 6人中任抽 2 人，其中抽到成績在前 50 名的學(xué)生人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 附： P（ k） k 考點】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）利用頻率分布表，求出前四組學(xué)生的視力在 下的人數(shù)，然后求解視力在 上的人數(shù) （ ）求出 可說明校醫(yī)有超過 95%的把握認(rèn)為近視與成績有關(guān) （ ）依題意， 6 人中年級名次在 1 50 名和 951 1000 名的分別有 2 人和 4 人，所以 可取 0， 1， 2求出概率，頂點分布列，然后求解期望即可 【解答】 解：（ ）由圖可知，前四組學(xué)生的視力在 下，第一組有 100=3 人，第二組有 100=7 人，第 三組 100=27 人，第四組有 24 人 （ 2 分） 所以視力在 上的人數(shù)為 人 （ ） ，因此校醫(yī)有超過 95%的把握認(rèn)為近視與成績有關(guān) （ 8 分） （ ）依題意， 6 人中年級名次在 1 50 名和 951 1000 名的分別有 2 人和 4 人，所以 可取 0， 1， 2. ， ， ， 的分布列為 0 1 2 P （ 10 分） 的數(shù)學(xué)期望 （ 12 分） 【點評】 本題考查頻率分布直方圖以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力 19（ 12 分）（ 2017平頂山一模）如圖，在四棱錐 P ， 平面 D B=C=2 （ ）求證：平面 平面 （ ）求二面角 C B 的余弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ ）分別取 中點 E， F，連結(jié) 明 F 出 平面 后證明 平面 可證明平面 平面 （ ）解法 1：連結(jié) 明 出 平面 E 作 足 為 M，連結(jié) 明 二面角 C B 的平面角在 ，求解即可 解法 2：以 A 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面面 法向量，由空間向量的數(shù)量積求解二面角 C B 的余弦值即可 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ ）證明：如圖，分別取 中點 E， F， 連結(jié) 題意知，四邊形 矩形， （ 2 分） 又 等邊三角形， ， 平面 又 平面 平面 平面 平面 （ ）解法 1：連結(jié) （ ）知， 平面 E 作 足為 M，連結(jié) 二面角 C B 的平面角 （ 7 分） 由題意知， C= ， ， ， ， 在 ， （ 10 分） 又 ， ， （ 12 分） （ ）解法 2：如圖，以 A 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則， A（ 0， 0，0）， B（ 0， 2， 0）， ， C（ 0， 2， 2）， D（ 0， 0， 1） ， ， （ 8 分） 設(shè)平 面 面 法向量分別為 ， ， 由 ，得 ，令 y= 1 得 ； 由 ，得 ，令 a=1 得 （ 10 分） 二面角 C B 的余弦值為 （ 12 分） 【點評】 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力 20（ 12 分）（ 2017平頂山一模）如圖，點 P 為圓 E：（ x 1） 2+y2=r 1）與 x 軸的左交點，過點 P 作弦 y 軸交于 中點 D （ ）當(dāng) r 在（ 1， + ）內(nèi)變化時，求點 Q 的軌跡方程； （ ）已知點 A（ 1， 1），設(shè)直 線 別與（ ）中的軌跡交于另一點 證：當(dāng) Q 在（ ）中的軌跡上移動時，只要 存在，且重合，則直線 過定點，并求該定點坐標(biāo) 【考點】 直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ ）設(shè) Q（ x， y），則 中點 ，由題意 ，代入坐標(biāo)得答案； （ ）分別設(shè)出 Q、 坐標(biāo)，結(jié)合 A， Q， 線， E， Q， 線可把坐標(biāo)用 Q 的坐標(biāo)表示，得到線 方程，再由直線系方程可得直線過定點，并求該定點坐標(biāo) 【解 答】 （ ）解：設(shè) Q（ x， y），則 中點 ， E（ 1， 0）， ， 在圓 E 中， ，則 點 Q 的軌跡方程 x（ x 0）； （ ）證明：設(shè) Q（ 2t）， ， ， 則直線 方程為（ t1+y 2x 2 由 A， Q， 線，得 ，從而 （ ，否則 存在）， 由 E， Q， 線，得 ，從而 （ t 0，否則 存在）， ， ， 直線 方程化為 y 4x） +2t（ x+1） +（ y+4） =0， 令 ，得 x= 1， y= 4 直線 過定點（ 1， 4） 【點評】 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題 21（ 12 分）（ 2015新課標(biāo) ）設(shè)函數(shù) f（ x） = （ 1）證明： f（ x）在（ ， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， + ）單調(diào)遞增； （ 2）若對于任意 1， 1，都有 |f（ f（ | e 1，求 m 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）利用 f（ x） 0 說明函數(shù)為增函數(shù)，利用 f（ x） 0 說明函數(shù)為減函數(shù)注意參數(shù) m 的討論； （ 2）由（ 1）知，對任意的 m， f（ x）在 1， 0單調(diào)遞減，在 0， 1單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題從而求得 m 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）證明： f（ x） =m（ 1） +2x 若 m 0，則當(dāng) x （ ， 0）時， 1 0， f（ x） 0；當(dāng) x （ 0， + ）時， 1 0， f（ x） 0 若 m 0，則當(dāng) x （ ， 0）時， 1 0， f（ x） 0；當(dāng) x （ 0， + ）時， 1 0， f（ x） 0 所以， f（ x）在（ ， 0）時單調(diào)遞減，在（ 0， + ）單調(diào)遞增 （ 2）由（ 1）知，對任意的 m， f（ x）在 1， 0單調(diào)遞減，在 0， 1單調(diào)遞增，故 f（ x）在 x=0 處取得最小值 所以對于任意 1， 1， |f（ f（ | e 1 的充要條件是即 設(shè)函數(shù) g（ t） =t e+1，則 g（ t） =1 當(dāng) t 0 時， g（ t） 0；當(dāng) t 0 時， g（ t） 0故 g（ t）在（ ， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， + ）單調(diào)遞增 又 g（ 1） =0， g（ 1） =e 1+2 e 0，故當(dāng) t 1， 1時 ， g（ t） 0 當(dāng) m 1， 1時， g（ m） 0， g（ m） 0，即合式成立； 當(dāng) m 1 時，由 g（ t）的單調(diào)性， g（ m） 0，即 m e 1 當(dāng) m 1 時， g（ m） 0，即 e m+m e 1 綜