湖南省十三校聯(lián)考2017年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文）含答案解析

2017 年湖南省衡陽十三校重點中學(xué)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2，則集合 B=（ ） A 2， 4， 5 B 3， 4， 5 C 4， 5 D（ 2， 4） 2復(fù)數(shù) z=（ 1 i） 2+ （ i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3設(shè) p： 2x 1， q： x（ x+1） 0， 則 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4設(shè) x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ，則 | |=（ ） A B 5 C D 5實數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 2x y 的最大值為（ ） A B 1 C 2 D 4 6九章算術(shù) 商功中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為 “塹堵 ”，已知某“塹堵 ”的三視圖如圖所示，則該 “塹堵 ”的側(cè)面積為（ ） A 4 B 6+4 C 4+4 D 2 7如圖給出的是計算 1+ + + + 的值的一個程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A i 1009 B i 1009 C i 1010 D i 1010 8函數(shù) f（ x） =x|在 2， 2上的圖象大致為（ ） A B C D 9某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該民企 2016 年全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長 12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)： ） A 2017 年 B 2018 年 C 2019 年 D 2020 年 10在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 a=4 ， b=5， ，則向量 在 方向上的投影為（ ） A B C D 11將函數(shù) f（ x） =圖象向左平移 個單位，再向上平移 2 個單位，得到 g（ x）的圖象若 g（ g（ =9，且 2， 2，則 |最大值為（ ） A B 2 C 3 D 4 12拋物線 p 0）的焦點與雙曲線 的右焦點的連線在第一象限內(nèi)與 于點 M，若 點 M 處的切線平行于 一條漸近線，則 p=（ ） A B C D 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分 13在 1， 1上隨機地取一個數(shù) k，則事件 “直線 y=圓（ x 5） 2+ 相交 ”發(fā)生的概率為 14某校高三文科班 150 名男生在 “學(xué)生體質(zhì)健康 50 米跑 ”單項測試中，成績?nèi)拷橛?6 秒與 11 秒之間現(xiàn)將測試結(jié)果分成五組：第一組 6， 7；第二組（ 7，8， ，第五組（ 10， 11如 圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖按國家標(biāo)準(zhǔn)，高三男生 50 米跑成績小于或等于 7 秒認定為優(yōu)秀，若已知第四組共48 人，則該校文科班男生在這次測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)是 15已知四面體 P 四個頂點都在球 O 的球面上，若 平面 B ， B=2，則球 O 的表面積為 16若函數(shù) f（ x） =區(qū)間 ， 上的最小值大于零，則 a 的取值范圍是 三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17（ 12 分）在數(shù)列 ，已知 ， ， =3 2 （ ）證明數(shù)列 等比數(shù)列，并求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) bn=）， 前 n 項和為 證 2 18（ 12 分）如圖，在正方形 ，點 E， F 分別是 中點，將 別沿 起，使 A， C 兩點重合于 P設(shè) 于點 O，過點 P 作 足為 H （ ）求證： 底面 （ ）若四棱錐 P 體積為 12，求正方形 邊長 19（ 12 分）空氣質(zhì)量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)，參與空氣質(zhì)量評價的主要污染物為 六項空氣質(zhì)量按照 小分為六級：一級 0 50 為優(yōu)；二級 51 100 為良好；三級 101 150 為輕度污染；四級 151 200 為中度污染；五級 201 300 為重度污染；六級 300 為嚴(yán)重污染 某人根據(jù)環(huán)境監(jiān)測總站公布的數(shù)據(jù)記錄了某地某月連續(xù) 10 天 莖葉圖如圖所示： （ ）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個月總共 30 天計算） （ ）若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳（ 100）的這些天中，隨機地抽取三天深入分析各種污染指標(biāo)，求這三天的空氣質(zhì)量等級互不相同的概率 20（ 12 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，已知圓 E： y t） 2=t 0， r 0）經(jīng)過橢圓 C： 的左右焦點 橢圓 C 在第一象限的交點為 A，且 E， A 三點共線 （ ）求圓 E 的方程； （ ）設(shè)與直線 行的直線 l 交橢圓 C 于 M， N 兩點，求 面積的最大值 21（ 12 分）已知函 數(shù) f（ x） =a|x 1| （ ）當(dāng) a=0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間與極值； （ ）若 f（ x）有兩個零點，求實數(shù) a 的取值范圍 四、選考題：請考生在第（ 22） -（ 23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號 22（ 10 分）在直角坐標(biāo)系 ，曲線 ，曲線 y 1） 2=1，以坐標(biāo)原點 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ ）求曲線 極坐標(biāo)方程； （ ）若射線 l： =（ 0）分別交 A， B 兩點，求 的最大值 23已知函數(shù) f（ x） =|x 1|+a|x+2| （ ）當(dāng) a=1 時，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ ）當(dāng) a 1 時，若 f（ x）的圖象與 x 軸圍成的三角形面積等于 6，求 a 的值 2017 年湖南省衡陽十三校重點中學(xué)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1設(shè)全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2，則集合 B=（ ） A 2， 4， 5 B 3， 4， 5 C 4， 5 D（ 2， 4） 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 選由已知得 1， 2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素，由此能求出 B 【解答】 解： 全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2， 1， 2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素， B=3， 4， 5 故選： B 【點評】 本題考查集合的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意補集、交集定義的合理運用 2復(fù)數(shù) z=（ 1 i） 2+ （ i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第 三象限 D第四象限 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=（ 1 i） 2+ = 2i+ = 2i+1 i=1 3i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（ 1， 3）在第四象限 故選： D 【點評】 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題 3設(shè) p： 2x 1， q： x（ x+1） 0，則 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式的解法化簡 p， q，即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： p： 2x 1，解得 x 0 q： x（ x+1） 0，解得 1 x 0 則 p 是 q 成立的必要不充分條件 故選： B 【點評】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題 4設(shè) x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ，則 | |=（ ） A B 5 C D 【考點】 平面向量的坐標(biāo)運算 【分析】 由向量平行，先求出 ，再由平面向量運算法則求出 ，由此能 求出| | 【解答】 解： x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ， = ，解得 x= 2， =（ 2， 1）， =（ 2， 1）， | |= 故選： A 【點評】 本題考查向量的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面向量運算法則的合理運用 5實數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 2x y 的最大值為（ ） A B 1 C 2 D 4 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù) k 的幾何意義，進行平移，結(jié)合圖象得到 k=2x y 的最大值 【解答】 解： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分 令 k=2x y 得 y=2x k， 平移直線 y=2x k， 由圖象可知當(dāng)直線 y=2x k 經(jīng)過點 A 時，直線 y=2x k 的截距最小，由，可得 A（ 3， 2） 此時 k 最大將 A（ 3， 2）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù) 2 3 2=4， 即 2x y 的最大值為 4 故選： D 【點評】 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，利用 k 的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵 6九章算術(shù) 商功中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為 “塹堵 ”，已知某“塹堵 ”的三視圖如 圖所示，則該 “塹堵 ”的側(cè)面積為（ ） A 4 B 6+4 C 4+4 D 2 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的三棱柱，代入棱柱側(cè)面積公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的三棱柱， 底面周長為： 2+2 =2+2 ， 故棱柱的側(cè)面積 S=2 （ 2+2 ） =4+4 ， 故選： C 【點評】 本題考查的知識點是棱柱的側(cè)面積，簡單幾何體的三視圖，難度基礎(chǔ) 7如圖給出的是計算 1+ + + + 的值的一 個程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A i 1009 B i 1009 C i 1010 D i 1010 【考點】 程序框圖 【分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出 S 的值 【解答】 解：程序運行過程中，各變量值如下表所示： 第一次循環(huán)： S=0+1， i=1， 第二次循環(huán)： S=1+ ， i=2， 第三次循環(huán)： S=1+ + ， i=3， 依此類推，第 1009 次循環(huán)： S=1+ + + + ， i=1010，此時不滿足條件，退出循環(huán) 其中判斷框內(nèi)應(yīng)填 入的條件是： i 1009， 故選： A 【點評】 算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有： 分支的條件 循環(huán)的條件 變量的賦值 變量的輸出其中前兩點考試的概率更大此種題型的易忽略點是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤 8函數(shù) f（ x） =x|在 2， 2上的圖象大致為（ ） A B C D 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的圖象 【分析】 求出函數(shù) f（ x） =（ 0， 2上 導(dǎo)函數(shù)，求出極值點的個數(shù)，以及 f（ 2）的值，即可判斷函數(shù)的圖象 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x|在 2， 2是偶函數(shù)， 則： f（ x） =（ 0， 2可得 f（ x） =2x 2x ，可得方程只有一個解，如圖： 可知 f（ x） =（ 0， 2由一個極值點，排除 A， C， f（ 2） =4 3，排除 D 故選： B 【點評】 本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力 9某大型民企為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入 若該民企 2016 年全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長 12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)： ） A 2017 年 B 2018 年 C 2019 年 D 2020 年 【考點】 對數(shù)的運算性質(zhì) 【分析】 設(shè)該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是第 n 年，則130 （ 1+12%） n 2016 200，進而得出 【解答】 解：設(shè)該民企全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年 份是第 n 年，則 130 （ 1+12%） n 2016 200， 則 n 2016+ = 取 n=2020 故選： D 【點評】 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題 10在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，若 a=4 ， b=5， ，則向量 在 方向上的投影為（ ） A B C D 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù) 得出 A 為鈍角， ，利用正弦定理求出 B，再利 用余弦定理求出 c，根據(jù)向量投影的定義寫出運算結(jié)果即可 【解答】 解： ， a=4 ， b=5， ， A 為鈍角，且 ， = = = ， 由題知 A B，故 B= ； a2=b2+2 （ 4 ） 2=52+25c（ ）， 解得 c=1 或 c= 7（舍去）， 向量 在 方向上的投影為： | |1 = 故選： B 【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積與正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目 11將函數(shù) f（ x） =圖象向左平移 個單位，再向上平移 2 個單位，得到 g（ x）的圖象若 g（ g（ =9，且 2， 2，則 |最大值為（ ） A B 2 C 3 D 4 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，得出結(jié)論 【解答】 解：將函數(shù) f（ x） =圖象向左平移 個單位，再向上平移 2 個單位，得到 g（ x） =x+ ） +2=2x+ ） +2 的圖象， 若 g（ g（ =9，則 g（ =g（ =3 2， 2， 2x+ ， ， 2= +2= +2k， n Z 故當(dāng) 2= ， 2= 時， |得最大值為 3， 故選： C 【點評】 本題主要考查函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的特征，屬于中檔題 12拋物線 p 0）的焦點與雙曲線 的右焦點的連線在第一象限內(nèi)與 于點 M，若 點 M 處的切線平行于 一條漸近線，則 p=（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標(biāo)，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出 x 取直線與拋物線交點 M 的橫坐標(biāo)時的導(dǎo)數(shù)值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標(biāo)與 p 的關(guān)系，把 M 點的坐標(biāo)代入直線方程即可求得 p 的值 【解答】 解：由拋物線 p 0），可得焦點坐標(biāo)為 F（ 0， ） 由雙曲線 得 a= ， b=1， c=2 所以雙曲線的右焦點為（ 2， 0） 則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線 所在直線方程為 y 2p=0 設(shè)該直線交拋物線于 M（ ），則 C 在點 M 處的切線的斜率為 由題意可知 = ，得 p，代入 M 點得 M（ p， p） 把 M 點代入 得： p p+4 p 2p=0 解得 p= 故選： D 【點評】 本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，是中檔題 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分 13在 1， 1上隨機地取一個數(shù) k，則事件 “直線 y=圓（ x 5） 2+ 相交 ”發(fā)生的概率為 【考點】 幾何概型 【分析】 利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的 k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求 【解答】 解：圓（ x 5） 2+ 的圓心為（ 5， 0），半徑為 3 圓心到直線 y=距離為 ， 要使直線 y=圓（ x 5） 2+ 相交，則 3，解得 k 在區(qū)間 1， 1上隨機取一個數(shù) k，使直線 y=圓（ x 5） 2+ 相交相交的概率為 = 故答案為： 【點評】 本題主要考查了幾何概型的概率，以及直 線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題 14某校高三文科班 150 名男生在 “學(xué)生體質(zhì)健康 50 米跑 ”單項測試中，成績?nèi)拷橛?6 秒與 11 秒之間現(xiàn)將測試結(jié)果分成五組：第一組 6， 7；第二組（ 7，8， ，第五組（ 10， 11如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖按國家標(biāo)準(zhǔn)，高三男生 50 米跑成績小于或等于 7 秒認定為優(yōu)秀，若已知第四組共48 人，則該校文科班男生在這次測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)是 9 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 求出第四組的頻率，再計算這次測試中 成績小于或等于 7 秒的頻率和頻數(shù)即可 【解答】 解：由頻率分布直方圖得，第四組的頻率為 = 在這次測試中成績小于或等于 7 秒（優(yōu)秀）的頻率是 1 以優(yōu)秀人數(shù)是 150 人 故答案為： 9 【點評】 本題主要考查了頻率分布直方圖和頻率、頻數(shù)的計算問題，是基礎(chǔ)題 15已知四面體 P 四個頂點都在球 O 的球面上，若 平面 B ， B=2，則球 O 的表面積為 16 【考點】 球的體積和表面積 【分 析】 由題意將四面體 P 在對應(yīng)的長方體中，根據(jù)長方體與外接球的直徑之間關(guān)系，可求出球的半徑，代入球的表面積公式求出答案 【解答】 解：由題意知， 平面 且 ， ， B=2， 如圖所示構(gòu)造長方體： 則長方體的外接球和四面體的外接球是相同的， 即長方體的體對角線等于球的直徑 2R， 所以 2R= =4，則 R=2， 則球 O 的表面積 S=4 4=16， 故答案為： 16 【點評】 本題考查空間幾何體的外接球問題，利用四面體構(gòu)造長方體是解題的關(guān)鍵，利用長方體 的體對角線等于球的直徑是本題的突破點 16若函數(shù) f（ x） =區(qū)間 ， 上的最小值大于零，則 a 的取值范圍是 （ ， 1） （ 2， + ） 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 將函數(shù)化簡只有一個函數(shù)名，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的有界限，求解即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =簡可得： f（ x） =1 2 x ， 上， ， 1， 令 t，（ ） 函數(shù) f（ x）轉(zhuǎn)化為 g（ t） = 2t2+，（ ）上的最小值大于零 其對稱軸 t= ， 當(dāng) 時， g（ ）最小為 由題意： ，可得： a 1， a 4 當(dāng) 時， g（ 1）最小為 1 a 由題意： 1 a 0，可得： 1 a a 1 當(dāng) ，其最小為 或 1 a 即 2 a 4，與 a 1 或 1 a 2 a 4， 綜上可得 a 的取值范圍是（ ， 1） （ 2， + ） 【點評】 本題考查了三角函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，討論在其范圍內(nèi)的最值問題屬于難題 三、解答題：共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17 （ 12 分）（ 2017衡陽一模）在數(shù)列 ，已知 ， ， =3 2 （ ）證明數(shù)列 等比數(shù)列，并求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) bn=）， 前 n 項和為 證 2 【考點】 數(shù)列與不等式的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 （ ）由 =3 2： =2（ 結(jié)合 ， ，即 ，可得： 首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，進而利用疊加法可得 數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) bn=） =n，則 ，利用裂項相消法，可得 =2 2 【解答】 證明：（ ）由 =3 2： =2（ 又 ， ，即 ， 所以， 首項為 2，公比為 2 的等比數(shù)列 2n 1=2n， an= +（ + +（ 1） =1+2+22+ +2n 1= =2n 1； （ 7 分） （ ） bn=） =n， （ 8 分） ， （ 9 分） ， 所以 =2 2 （ 14 分） 【點評】 本題考查數(shù)列的概念及簡單表示法，考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化與分析推理能力，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017衡陽一模）如圖，在正方形 ，點 E， F 分別是 C 的中點，將 別沿 起，使 A， C 兩點重合于 P設(shè) 于點 O，過點 P 作 足為 H （ ）求證： 底面 （ ）若四棱錐 P 體積為 12，求正方形 邊長 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）推導(dǎo)出 平面 而平面 面 此能證明 底面 （ ）設(shè)正方形 邊長為 x，推導(dǎo)出 而 ，由四棱錐 P 體積為 12，求出正方形 邊長為 6 【解答】 證明：（ ）由正方形 ， 0， 點 E， F 分別是 中點將 別沿 起，使 A， C 兩點重合于 P ， 面 平面 又 面 ， 平面 又 面 平面 平面 平面 平面 D，過點 P 作 足為 H， 底面 解：（ ）設(shè)正方形 邊長為 x， 則 PD=x， F= ， ， F= ， ， 0， = = x， = x， ， = = ， 四棱錐 P 體積為 12， = = =12， 解得 x=6 正方形 邊長為 6 【點評】 本題考查線面垂直的證明，考查正方形邊長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng) 19（ 12 分）（ 2017衡陽一模）空氣質(zhì)量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)，參與空氣質(zhì)量評價的主要污染物為六項 空氣質(zhì)量按照 小分為六級：一級 0 50 為優(yōu)；二級 51 100 為良好；三級 101 150 為輕度污染；四級 151200 為中度污染；五級 201 300 為重度污染；六級 300 為嚴(yán)重污染 某人根據(jù)環(huán)境監(jiān)測總站公布的數(shù)據(jù)記錄了某地某月連續(xù) 10 天 莖葉圖如圖所示： （ ）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個月總共 30 天計算） （ ）若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳（ 100）的這些天中，隨機地抽取三天深入分析各種污染指標(biāo)，求這三天的空氣質(zhì)量等級互不相同的概率 【考點 】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）由莖葉圖可得樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，可得概率，用總天數(shù)乘以概率可得； （ ）該樣本中輕度污染共 3 天，中度污染為 1 天，重度污染為 1 天，求出基本事件的個數(shù)，由概率公式可得的 【解答】 解：（ ）由莖葉圖可發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為 1， 空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為 4，故空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為 = ， 故利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為 30 =15； （ ）該樣本中輕度污染共 3 天，中度污染為 1 天，重度污染為 1 天，則從中隨機抽取 3 天的所有 可能結(jié)果為 =10 個，其中空氣質(zhì)量等級恰好不同有 3 個， 該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率 P= 【點評】 本題考查計算基本事件數(shù)及發(fā)生的概率，涉及莖葉圖的知識，屬基礎(chǔ)題 20（ 12 分）（ 2017衡陽一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ，已知圓 E： y t） 2=t 0， r 0）經(jīng)過橢圓 C： 的左右焦點 橢圓 C 在第一象限的交點為 A，且 E， A 三點共線 （ ）求圓 E 的方程； （ ）設(shè)與直線 行的直線 l 交橢圓 C 于 M， N 兩點，求 面積的最大值 【考點】 直線與 橢圓的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由三角形的中位線定理，求得丨 ，再由橢圓的定義，丨 =2a丨 ，根據(jù)勾股定理即可求得 t 的值，由 半徑，即可求得r 的值，求得圓 E 的方程； （ ）設(shè)直線 l 的方程為 y= +m，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式和基本不等式的性質(zhì)，即可求得 面積的最大值 【解答】 解：（ ）橢圓 C： ，長軸長 2a=4，短軸長 2b=2 ，焦距2c=2 因為 E， A 三點共線，則 圓 E 的直徑， 圓 E 上， 則 以 三角 位線 ， 由 E（ 0， t），則丨 =2t， 則丨 =2a丨 =4 2t， 由勾股定理可知：丨 2=丨 2+ 2，即（ 4 2t） 2=（ 2 ） 2+（ 2t）2， 解得： t= ， 半徑 r= = ， 圓 E 的方程 y ） 2= ； （ ）由（ ）知，點 A 的坐標(biāo)為（ ， 1），所以直線 斜率為 ， 6分 故設(shè)直線 l 的方程為 y= +m， 聯(lián)立 ，得 2=0， 7 分 設(shè) M（ N（ 所以 x1+ m， x1x2=2， =24 0，所以 2 m 2， 8 分 又丨 = 丨 ， = = ， 9 分 因為點 A 到直線 l 的距離 d= ， 10 分 所以 S 丨 d= ， = = ， 當(dāng)且僅當(dāng) 4 m2= m= 時等號成立， 面積的最大值 此時直線 l 的方程為 y= x 12 分 【點評】 本題考查橢圓定義的應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2017衡陽一模）已知函數(shù) f（ x） =a|x 1| （ ）當(dāng) a=0 時，求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間與極值； （ ）若 f（ x）有兩個零點，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ ）由 f（ x） = f（ x） =1+x 0，由此能求出函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值； （ ）由已知可得： f（ 1） =0，故 1 為函數(shù)的一個零點；對 a 進行分類討論，求出不同情況下，滿足條件的 a 值，綜合討論結(jié)果，可得答案 【解答】 解：（ ） a=0 時， f（ x） = f（ x） =1+x 0， f（ x） 0 解得 x ， f（ x） 0 解得 0 x ， 函數(shù) f（ x）的減區(qū)間為（ 0， ），增區(qū)間為（ ， + ）， f（ x）在 x= 取得極小值 （ ）由已知可得： f（ 1） =0，故 1 為函數(shù)的一個零點； 若 a=0，則函數(shù)僅有一個零點，不滿足條件； 若 a 0，則 當(dāng) x 1 時， f（ x） =a， f（ x） =+a 0 恒成立，此時函數(shù)為增函數(shù)，不存在零點， 當(dāng) 0 x 1 時， f（ x） =ax+a， f（ x） = a，若此時函數(shù)存在零點，則 a=0 有解， 即 a= 1 有解，即 0 a 1； 若 a 0，則 當(dāng) 0 x 1 時， f（ x） =ax+a， f（ x） = a 0 恒成立，此時函數(shù)為增函數(shù)，不存在零點， x 1 時， f（ x） =a， f（ x） =+a，若此時函數(shù)存在零點，則 +a=0有解， 即 a=（ ） 1 有解，即 a 1； 綜上可得： 0 a 1，或 a 1 【點評】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實數(shù)的取值范圍的方法，解題時要認真審題，仔細解答，