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1 2 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題 課前導(dǎo)學(xué) 我們先回顧兩個(gè)畫(huà)圖問(wèn)題: 1已知線段 5 厘米,以線段 腰的等腰三角形 多少個(gè)?頂點(diǎn) C 的軌跡是什么? 2已知線段 6 厘米,以線段 底邊的等腰三角形 多少個(gè)?頂點(diǎn) C 的軌跡是什么? 已知腰長(zhǎng)畫(huà)等腰三角形用圓規(guī)畫(huà)圓,圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外,都是頂點(diǎn) C 已知底邊畫(huà)等腰三角形,頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上,垂足要除外 在討論等腰三角形的存在性問(wèn)題時(shí),一般都要先分類(lèi) 如果 等腰三角形,那么存在 種情況 解等腰三角形的存在性問(wèn)題,有幾何法和代數(shù)法,把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合,可以使得解題又好又快 幾何法一般分三步:分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算 哪些題目適合用幾何法呢? 如果 A(的余弦值)是確定的,夾 A 的兩邊 以用含 x 的式子表示出來(lái),那么就用幾何法 如圖 1,如果 接列方程;如圖 2,如果 么 1 c o C A B A;如圖 3,如果 么 1 c o B A C A 代數(shù)法一般也分三步:羅列三 邊長(zhǎng),分類(lèi)列方程,解方程并檢驗(yàn) 如果三角形的三個(gè)角都是不確定的,而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含 么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,三邊長(zhǎng)(的平方)就可以羅列出來(lái) 圖 1 圖 2 圖 3 例 9 2014 年長(zhǎng)沙市中考第 26 題 如圖 1,拋物線 y c( a、 b、 a 0)的對(duì)稱(chēng)軸為 y 軸,且經(jīng)過(guò) (0,0)和 1( , )16 點(diǎn) P 為圓心的 定點(diǎn) A(0, 2) ( 1)求 a、 b、 c 的值; ( 2)求證:在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中, ( 3)設(shè) P與 (0)、 N(0)兩點(diǎn),當(dāng) 等腰三角形時(shí),求圓心 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 14 長(zhǎng)沙 26”,拖動(dòng)圓心 P 在拋物線上運(yùn)動(dòng),可以體驗(yàn)到,圓與 x 軸總是相交的,等腰三角形 在五種情況 思路點(diǎn)撥 1不算不知道,一算真奇妙,原來(lái) P在 N 4 是定值 2等腰三角形 在五種情況,點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)有三個(gè)值,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性, A 圖文解析 ( 1)已知拋物線的頂點(diǎn)為 (0,0),所以 y 以 b 0, c 0 將 1( , )16y 2116a解得 14a(舍去了負(fù)值) ( 2)拋物線的解析式為214設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為21( , )4 已知 A(0, 2),所以2 2 2 411( 2 ) 44 1 6P A x x x 214x 而圓心 P到 以半徑 心 P到 x 軸的距離 所以在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中, P 始終與 x 軸相交 ( 3)如圖 2,設(shè) 中點(diǎn)為 H,那么 直平分 在 ,2 2 41 416P M P A x ,2 2 411()4 1 6P H x x,所以 4 所以 2因此 4,為定值 等腰 在三種情況: 如圖 3,當(dāng) P 為原點(diǎn) O 重合,此時(shí)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 0 圖 2 圖 3 如圖 4,當(dāng) ,在 , 2, 4,所以 2 3 此時(shí) x 2 32 所以點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如圖 5,當(dāng) ,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,點(diǎn) 2 3 圖 4 圖 5 如圖 6,當(dāng) 4 時(shí),在 , 2, 4,所以 2 3 此時(shí) x 2 32 所以點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如圖 7,當(dāng) 4 時(shí),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)也為 4 2 3 圖 6 圖 7 考點(diǎn)伸展 如果 點(diǎn) 運(yùn)動(dòng),以點(diǎn) P 為圓心的 P 總經(jīng)過(guò)定點(diǎn) B(0, 1),那么在點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中, y 1 相切這是因?yàn)椋?設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為21( , )4 已知 B(0, 1),所以2 2 2 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 14 4 4P B x x x x 而圓心 y 1 的距離也為21 14x ,所以半徑 心 P 到直線 y 1 的距離所以在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中, P 始終與直線 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省張家界市中考第 25 題 如圖 1, 在平面直角坐標(biāo)系中, O 為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線 y c( a 0)過(guò) O、 B、C 三點(diǎn), B、 C 坐標(biāo)分別為 (10, 0)和 18 24( , )55,以 直徑的 點(diǎn),直線 l 垂直x 軸于 ( 1)求直線 解析式; ( 2)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo); ( 3)點(diǎn) A 上一動(dòng)點(diǎn)(不同于 O、 B),過(guò)點(diǎn) M 作 A 的切線,交 ,交直線 l 于點(diǎn) F,設(shè)線段 為 m, 為 n,請(qǐng)猜想 值,并證明你的結(jié)論; ( 4)若點(diǎn) P 從 O 出發(fā),以每秒 1 個(gè)單位的速度向點(diǎn) B 作直線運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q 同時(shí)從 B 出發(fā),以相同速度向點(diǎn) C 作直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò) t( 0 t 8)秒時(shí)恰好使 等腰三角形,請(qǐng)求出滿足條件的 t 值 圖 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 14 張家界 25”,拖動(dòng)點(diǎn) 以體驗(yàn)到, 斜邊上的高拖動(dòng)點(diǎn) Q 在 運(yùn)動(dòng),可以體驗(yàn)到, 思路點(diǎn)撥 1從直線 解析式可以得到 三角比,為討論等腰三角形 鋪墊 2設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡(jiǎn)便 3第( 3)題連結(jié) 易看到 直角三角形 邊上的高 4第( 4)題的 , B 是確定的,夾 B 的兩條邊可以用含 t 的式子表示分三種情況討論等腰三角形 圖文解析 ( 1)直線 解析式 為 3 1542 ( 2) 因?yàn)閽佄锞€與 x 軸交于 O、 B(10, 0)兩點(diǎn),設(shè) y ax(x 10) 代入點(diǎn) C 18 24( , )55,得 2 4 1 8 3 2()5 5 5a 解得 524a 所以225 5 2 5 5 1 2 5( 1 0 ) ( 5 )2 4 2 4 1 2 2 4 2 4y x x x x x 拋物線的頂點(diǎn)為 125(5, )24 ( 3)如圖 2,因?yàn)?,所以 由 得 所以 1 2 同理 3 4 于是可得 90 所以 5 1由 5 1,得 A 所以 F 25 圖 2 ( 4) 在 , B 45, 10 t, t 分三種情況討論等腰三角形 如圖 3,當(dāng) , 10 t t解得 t 5 如圖 4,當(dāng) , 1 c o Q B P B解方程 14(10 )25,得 8013t 如圖 5,當(dāng) 1 c o P B Q B解方程 14(10 )25,得 5013t 圖 3 圖 4 圖 5 考點(diǎn)伸展 在第( 3)題條件下,以 直徑的 G 與 x 軸相切于點(diǎn) A 如圖 6,這是因?yàn)?是直角三角形 邊上的中線,也是直角梯形 中位線,因此圓心 G 到 x 軸的距離等于圓的半徑,所以 G 與 圖 6 例 11 2014 年湖南省邵陽(yáng)市中考第 26 題 在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 y (m n)x m n)與 x 軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)(點(diǎn)A 位于點(diǎn) B 的右側(cè)),與 y 軸相交于點(diǎn) C ( 1)若 m 2, n 1,求 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo); ( 2)若 A、 B 兩點(diǎn)分別位于 y 軸的兩側(cè), C 點(diǎn)坐標(biāo)是 (0, 1),求 大??; ( 3)若 m 2, 等腰三角形,求 n 的值 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 14 邵陽(yáng) 26”,點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕( 2),拖動(dòng)點(diǎn) A在 x 軸正半軸上運(yùn)動(dòng),可以體驗(yàn)到, 持直角三角形的形狀點(diǎn)擊屏幕 左下方的按鈕( 3),拖動(dòng)點(diǎn) B在 察 頂點(diǎn)能否落在對(duì)邊的垂直平分線上,可以體驗(yàn)到,等腰三角形 4 種情況 思路點(diǎn)撥 1拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式,用 m, n 表示點(diǎn) A、 B、 C 的坐標(biāo) 2第( 2)題判定直角三角形 以用勾股定理的逆定理,也可以用銳角的三角比 3第( 3)題討論等腰三角形 把三邊長(zhǎng)(的平方)羅列出來(lái),再分類(lèi)解方程 圖文解析 ( 1) 由 y (m n)x (x m)(x n),且 m n, 點(diǎn) 的右側(cè) , 可知 A(m, 0), B(n, 0) 若 m 2, n 1,那么 A(2, 0), B(1, 0) ( 2)如圖 1, 由于 C(0, 當(dāng) 點(diǎn) C 的 坐標(biāo)是 (0, 1), 1, 1 若 A、 y 軸的兩側(cè),那么 B m( n) 1 所以 B所以 C 所以 1 2所以 1 2 又因?yàn)?1 與 3 互余,所以 2 與 3 互余 所以 90 圖 1 圖 2 圖 3 ( 3) 在 ,已知 A(2, 0), B(n, 0), C(0, 2n) 討論等腰三角形 代數(shù)法解比較方便: 由兩點(diǎn)間的距離公式,得 (n 2)2, 54 4 當(dāng) ,解方程 (n 2)2 4 4 43n(如圖 2) 當(dāng) ,解方程 4 45 n 2(如圖 3),或 n 2( A、 舍去) 當(dāng) ,解方程 (n 2)2 5 512n (如圖 4), 或 512n (如圖 5) 圖 4 圖 5 考點(diǎn)伸展 第( 2)題常用的方法還有勾股定理的逆定理 由于 C(0, 當(dāng) 點(diǎn) C 的 坐標(biāo)是 (0, 1), 1 由 A(m, 0), B(n, 0), C(0, 1),得 (m n)2 22, 1, 1 所以 于是得到 90 第( 3)題在討論等腰三角形 ,對(duì)于 情況,此時(shí) A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于 以直接寫(xiě)出 B( 2, 0), n 2 例 12 2014 年湖南省婁底市中考第 27 題 如圖 1,在 , 90, 43果點(diǎn) 出發(fā)沿 勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn) Q 由點(diǎn) A 出發(fā)沿 向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為1cm/s連結(jié) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t( s)( 0 t 4) ,解答下列問(wèn)題: ( 1)設(shè) 面積為 S,當(dāng) t 為何值時(shí), S 取得最大值? S 的最大值是多少? ( 2)如圖 2,連結(jié) 到四邊形 ,當(dāng)四邊形 為菱形時(shí),求 t 的值; ( 3)當(dāng) t 為何值時(shí), 等腰三角形? 圖 1 圖 2 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 14 婁底 27”,拖動(dòng)點(diǎn) Q 在 運(yùn)動(dòng),可以體驗(yàn)到,當(dāng)點(diǎn) B 的中點(diǎn)時(shí), 面積最大,等腰三角形 在三種情況還可以體驗(yàn)到,當(dāng) 2邊形 是菱形 思路點(diǎn)撥 1在 , A 是確定的,夾 t 的式子表示 2四邊形 的對(duì)角線保持垂直,當(dāng)對(duì)角線互相平分時(shí),它是菱形, 圖文解析 ( 1)在 , 4, 3, 所以 5, 35, 45 作 D,那么 AQ 35t 所以 S S 12 D 13(5 )2523 ( 5 )10 23 5 1 5( ) +1 0 2 8t 當(dāng) 52t時(shí), S 取得最大值,最大值為 158 ( 2)設(shè) 于點(diǎn) H,那么 4(5 )5 t 如果四邊形 為菱形,那么 以 2 解方程 44 2 4 ( 5 )5 ,得 2013t 圖 3 圖 4 ( 3)等腰三角形 在三種情況: 如圖 5,當(dāng) , 5 t t解得 52t 如圖 6,當(dāng) , 1 c o Q A P A解方程 14(5 )25,得 4013t 如圖 7,當(dāng) 1 c o P A Q A解方程 14(5 )25,得 2513t 圖 5 圖 6 圖 7 考點(diǎn)伸展 在本題情境下,如果點(diǎn) Q 是 的重心,求 如圖 8,如果點(diǎn) Q 是 的重心,那么 23 解方程 244 4 ( 5 )35 ,得 6023t 圖 8 例 13 2015 年 湖南省懷化市 中考第 22 題 如圖 1, 已知 C 90, 8, 6,點(diǎn) 個(gè)單位的速度從運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn) 個(gè)單位的速度從 A B 們到 停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn) P、 ( 1)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,求 P、 ( 2)經(jīng)過(guò) 與時(shí)間 ( 3) P, 否存在時(shí)間 t,使得 存在,求出此時(shí)的 不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 ( ,結(jié)果保留一位小數(shù)) 圖 1 動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名 “ 15 懷化 22” ,拖動(dòng)點(diǎn) P 在 運(yùn)動(dòng), 可以體驗(yàn)到, 腰三角形 在三種情況 思路點(diǎn)撥 1過(guò)點(diǎn) B 作 平行線交 D,那么 長(zhǎng)就是 最大值 2線段 過(guò)的面積 Q 分別在 3等腰三角形 三種情況討論,先羅列三邊長(zhǎng) 圖文解析 ( 1) 在 8, 6,所以 10 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) ,那么 2 2A B A Q A P t 所以 5所以 3 如圖 3,當(dāng)點(diǎn) Q 在 時(shí), 1 6 2 28C Q t 又因?yàn)?6 23, 所以 D因此 以 D 在 , 6, 3,所以 35所以 最大值是 35 圖 2 圖 3 圖 4 ( 2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) 0 t 5, S 15 由 2()D所以 S S 215 ( )5t 235t 如圖 3, 當(dāng)點(diǎn) 5 t 8, S 24 因?yàn)?S 12P 1 (1 6 2 )(8 )2 2( 8)t , 所以 S S S 24 (t 8)2 16t 40 ( 3)如圖 3,當(dāng)點(diǎn) 2 C 90,所以 當(dāng)點(diǎn) 們先用 知 8 t 如圖 2,由 D, 即535QP t所以 355QP t 如圖 4,作 在 AQ A 65t, 85t 在 勾股定理,得 22H 2268( ) ( 8 )55 分三種情況討論等腰三角形 ( 1)當(dāng) 方程 3585,得 6 5 10t 圖 5所示) 當(dāng) 226 8 3 5( ) ( 8 )5 5 5t t t 整理,得 21 1 1 2 8 3
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