黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系

黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 關(guān)鍵詞 ： 黎曼積分，勒貝格積分，區(qū)別，聯(lián)系 微積分 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 摘 要 本文從微積分的發(fā)展過程出發(fā)引出了我們已知的黎曼積分，盡管黎曼積分的理論比較完備，但在考慮某些問題時，我們看到了黎曼積分的局限性，并通過具體的例子給予了說明于是就有了改造黎曼積分的必要性，從而提出了勒貝格積分本文的中心任務(wù)就是從我們已學(xué)過的黎曼積分和勒貝格積分的知識來探討和歸納出兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過具體比較兩者的定義，存在的條件，黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)、黎 曼可積函數(shù)類和勒貝格可積函數(shù)類、以及與黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理，并進一步用具體的例子來說明勒貝格積分使一些黎曼積分難以解決的問題變得迎刃而解，最后總結(jié)兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系并順便指出，勒貝格積分是黎曼積分的推廣，但非黎曼反常積分的推廣 學(xué)畢業(yè)論文 i 目 錄 第 一章 緒 論 . 1 1 積分的發(fā)展史 . 1 1 曼積分和勒貝格積分的引入 . 1 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 . 5 2 曼積分和勒貝格積分的定義的比較 . 5 2 曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 . 8 2 曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)的比較 . 9 2 曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 . 12 2 黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 . 12 第三章 實例 . 15 第四章 總結(jié)和展望 . 16 4 文總結(jié) . 16 4 展望 . 17 參考文獻 . 18 致 謝 . 19 學(xué)畢業(yè)論文 1 第一章 緒 論 1積分的發(fā)展史 積分學(xué)的歷史很早，它起源于求積問題，早在古代人們就著手計算由曲邊圍成的圖形的面積我國數(shù)學(xué)家劉徽力求單位圓的面積，他的方法是用許多不重疊的三角形來擬合圖形，由于時代的限制他不能克服“無窮運算”的困難古希臘時代的窮竭法、中國的割圓術(shù)和祖暅定理都是早期的積分學(xué)關(guān)于積分的理解因為什么是無窮小，什么是不可分量而遇到困擾古代的窮竭法也只能用于最簡單的曲線所成圖形的面積如卡瓦列里用數(shù)列求和方法實際上得到不定積分11 1d x x ，但牛頓將微分學(xué)的思想用到積分問題上，看到了積分運算是微分運算在某種意義下的逆運算，也就發(fā)展了不定積分的思想，萊布尼茲主要從定積分思想看出了積分運算是微分運算的逆總之得到了現(xiàn)在的牛頓 萊布尼茲公式，即設(shè)如果 它一定也是原函數(shù)，且任意兩原函數(shù)相差一個常數(shù)，所以 ba f x d x F b F a 此公式重要性在于計算積分再也不用用古希臘的窮竭法那么冗長了，而有了系統(tǒng)的處理方法因此微積分成了真正可以應(yīng)用的理論了，上述公式被成為微積分基本定理，在當時，積分的概念并不清楚，而且他們遇到的函數(shù)無非是些簡單的初等函數(shù)，到柯西發(fā)表他的著名的幾本教科書后也就有了現(xiàn)時我們所了解的積分理論，現(xiàn)在稱這種積分為黎曼積分其實應(yīng)該稱為柯西積分 1曼積分和勒貝格積分的引入 柯西積分的對象是連續(xù)函數(shù)的積分，當然許可 ()包括了現(xiàn)在所說的反常積分而黎曼考慮的對象是使得積分和極限存在的函數(shù)類，或如達布所說的上下積分相等也就所謂的黎曼可積類黎曼可積函數(shù)許可更多的不連續(xù)點，極大的擴充了可積函數(shù)類現(xiàn)在我們知道()是還要研究具有不連 續(xù)點的函數(shù)，這在數(shù)學(xué)上是十分重要的，一個直接的來源是傅立葉級數(shù)的研究，許多物理問題都導(dǎo)致不連續(xù)的傅立葉級數(shù)問勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 2 題處理這類問題需要更有力更細致的數(shù)學(xué)工具因此積分理論特別是他的發(fā)展在數(shù)學(xué)推理的嚴格性方面要求更高，如：當僅 ()積分基本定理的證明有了困難而現(xiàn)在通用的證明方法應(yīng)用了微積分中值定理，但其中假設(shè)了 ()布提出了以下的證明 達布定理： 設(shè) () ,上可積， () ,處處有導(dǎo)數(shù) ()即 F x f x 則有 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a （ 1） 證明： 作 ,一個分劃01 na x x x b ， 所以 110( ) ( ) ( ) ( ) b F a F x F x ， 又由拉格朗日中值定理可得，存在1 , i i ie x x ，使得 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iF x F x F e x x f e x x 所以 110( ) ( ) ( ) ( )ni i b F a f e x x 由于 () ,可積，因此當上述分劃無限加細時，右邊的極限即為 ()ba f x 所以 上述證明在當 () ( ) ( )F x f x 在有限多個點上不成立時也是有效的，只是將這有限多個點列入分點之內(nèi)即可 上述證明雖然很簡單，易理解，但并未解決問題因為黎曼可積函數(shù)只是幾乎處處連續(xù)，而將所有不連續(xù)點均歸入分點之內(nèi)是辦不到的 另一個例子是關(guān)于二重積分化為累次積分的問題，設(shè) ( , )f x y 在長方形區(qū)域 R ： ,a x b c ( , )f x y 必連續(xù)有著名的富比尼定理成立即 ( , ) ( , ) ( , )b d d ba c c x y d x d y d x f x y d y d y f x y d x ， （ 2） 關(guān)鍵在于若 ( , )f x y 對 ( , )續(xù)，則對于固定的 x ， ( , )f x y 是 y 的連續(xù)函數(shù)，因此 ( , )dc f x y 存在且作為一個含參變量的積分，它是 x 的連續(xù)函數(shù)，而 ( , )x f x y d y是有意義的，因此上式是很自然的結(jié)果但若 ( , )f x y 只是黎曼可積時，則對于固定的 x ， ( , )f x y 是否為 y 的黎曼可積函數(shù)甚學(xué)畢業(yè)論文 3 至是否對幾乎所有 x ， ( , )f x y 是否為 y 的黎曼可積函數(shù)均是個問題，因此 ( , )dc f x y 一定有意義，但上下積分仍有意義，因此 ( , )f x y 關(guān)于黎曼可積的的二重積 分，富比尼定理為：若 ( , )f x y 是 ( , ) 中的可積函數(shù)，則有 ( , ) ( , ) ( , ) d b d bc a c x y d x d y d y f x y d x d y f x y d x、 ( , ) ( , ) b d b da c a cd x f x y d y d x f x y d y （ 3） 此式的意思為內(nèi)層的上下積分均是參數(shù)的黎曼可積函數(shù)，而且其積分就等于二重積分，記 ( ) , , 0x f x y d y f x y d y ， () , 也是黎曼可積的，且有 ( ) 0 x ，則由此是否可得到至少幾乎處處有 ( ) 0？即 ( , )dc f x y 幾乎所有的 x 均存在，則（ 3）式就變?yōu)椋?2）式了但是若一個非負黎曼可積函數(shù)積分為 0，則此函數(shù)幾乎處處為 0，這證明很難的，而對勒貝格可積函數(shù)，（ 3）式結(jié)果是成立的在黎曼積分中 重積分化為累次積分所要求的條件比勒貝格積分理論中要多，從副比尼定理中可知只要重積分存在，它就和兩個累次積分相等，這是勒貝格積分的另一成功之處 從上述兩例子可看出，黎曼積分雖然比較簡單，但一旦要考慮可能在一個零測度集上不連續(xù)的黎曼可積函數(shù)一些本來很自然的結(jié)果變得很難證明了，甚至可能不成立，尤其是不能在積分號下求極限，故黎曼可積函數(shù)類缺乏完備性，有其內(nèi)在的局限性 隨著微積分學(xué)的發(fā)展，人們在利用黎曼積分時，感到它有很大的局限性，這要從黎曼積分的起源說起，我們知道黎曼積分的思想方法是“分割，近似求和，取極限”第 一個提出分割區(qū)間做和式極限嚴格定義積分的是柯西他考察的積分對象是 ,上的連續(xù)函數(shù)，因此黎曼積分在處理諸于逐段連續(xù)的函數(shù)以及一致收斂的級數(shù)來說是足夠的然而隨著集合論的一系列工作的創(chuàng)始，出現(xiàn)一些“病態(tài)”函數(shù)，在研究它們的可積性時黎曼積分理論面臨了新的挑戰(zhàn)特別是考慮可積函數(shù)的連續(xù)性和極限與積分次序交換問題以及微積分基本定理和可積函數(shù)空間的完備性方面 如： （ 1）狄里克雷函數(shù) 定義可證 此必須擴大積分的范圍 (2) 0 , 0 1 ,() 1 , 1 .n x 在 1x 處不連續(xù)，但它是非一致收斂的，但1100l i m ( ) 0 l i m ( )x d x f x d x 此例子說明函數(shù)一致收斂只是極限與 R 積分運算交換次序的充分而非必要條件，但一致收斂是非常強的條件，我們要考慮能否將條件減弱呢？ 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 4 （ 3）在微積分基本定理中 ( ) ( ) ( ) , , xa f x d x f x f a x a b ， ()必須可積的，但我們知道存在著可微且導(dǎo)數(shù)有界的函數(shù)，但其導(dǎo)數(shù)不是 R 可積的因此限制了微積分基本定理的應(yīng)用范圍 隨著數(shù)學(xué)的向前發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)了許多問題在 R 積分中都無法給出圓滿的解決，科學(xué)不斷的前進，積分論在進一步革新二十世紀初勒貝格提出了 L 積分，它為現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)打開了大 門， L 積分的提出使許多問題變得迎刃而解了 我們知道 L 積分是用勒貝格積分和代替黎曼積分和，引入測度來推廣長度，概率論就是以測度作為基礎(chǔ)的，與黎曼積分比較，勒貝格積分雖然克服了它的許多缺點，但任何一種理論都不是十全十美的， L 積分也有它的缺點，如在應(yīng)用時測度比長度就要麻煩 學(xué)畢業(yè)論文 5 第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系 2曼積分和勒貝格積分的定義的比較 黎曼積分 ( ) ( )f x 勒貝格積分 EL f 定義： ( ) ( )f x 的定義是從求曲邊梯形的面積所引入的其定義為：設(shè) f 在 , 有界，對 , . . . nT a x x x b ， 即 1 , n b E ， 1 0 1 , ,E x x ( , ,3.1k k kx x x ， | | m a （稱為分割 T 的細度）在分割 T 所屬的各個小區(qū)間上任取一點( 1, 2 . )i n ，則 12 , . n 構(gòu)成一個屬于 T 的介點集，作和式 1，稱此式為 f 在 , 屬于分割 T 的一個積分和或稱黎曼和，記為 T ，故有 ( ) ( )f x 定義為：設(shè) f 為定義在 , 的函數(shù)， J 是一確定的數(shù)，若對任意的 0 ，總存在某一 0 ，使得 , 的任意分割 T ，只要 | |T ，屬于分割 T 的所有積分和 T 都滿足 | ，則稱 f 在 , 稱 J 為 f 在 , 的 定 積 分 記 為 J = ( ) ( )f x 關(guān)于 R 積分我們知道它的思想是“分割，近似求和，求極限”，這里的分割是指分割定義域在此定義中 的存在性是統(tǒng)一的，但在應(yīng)用中要求預(yù)先知道 J 的值是不現(xiàn)實的因此我們提出 R 積分的另一定義，如下： 設(shè) f 在 , 有界，對 , 分割01nT a x x x b ，即1 , n b E 其中令 1s u p ( ) , , i n f ( ) , .k k k k k k kM f x x E m f x x E x x x 1 0 1 , ,E x x ( , ,3,., 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 6 11( , ) , ( , ) . k k f T M x S f T m x ( ) ( ) i n f ( , ) , ( ) ( ) s u p ( , )f x d x S f T R f x d x S f T 分別稱為（ R ）上積分和（ R ）下積分，如果（ R ）上，下積分積分相等則稱 () , R 可積將 R 上，下積分的公共值記為 () , R 的積分，記為 ( ) ( )f x 我們已知，測度是長度的推廣，上述為)啟發(fā)我們?yōu)橥茝V（ R ）積分可以考慮將區(qū)間 ,分割推廣為測度空間 ( , , )中具有 有限測度的集 E 的分劃，而且對于 , 使 , 積，按照 R 積分的思想，必須使得在分割 , ， 的振幅足夠小，這使得具有較多激烈震蕩的函數(shù)被排除在可積函數(shù)類外因此勒貝格提出了從分割值域入手的 L 積分即任給 0 ，作01 nm y y y M ，其中1， , , 的下界和上界令 1|i i iE x y f x y ，( 1, 2 )，如果10 1y m E 存在，則定義為 ,ab f x 而 對 于 一 般 可 測 函 數(shù) 的 積 分 定 義 為 ： 設(shè) 可 測 集 上 可 測 ， 若 記 m a x , 0 , m a x , 0 f x f x f x f x ，則有 f x f x f x，若 ,x d x f x不同為 ，則稱 上積分確定且有 E E Ef x d x f x d x f x d x ， 當此式右端右邊兩個積分值都有限時，稱 上 L 可積 L 積分是建立在勒貝格測度論的基礎(chǔ)上，可以統(tǒng)一處理有界和無界的情形，而且函數(shù)可定義在更一般的點集上 為了與 R 積分聯(lián)系起來，我們還給出（ L ）積分的另一定義為：設(shè) ( , , )為測度空間, ( )E u E ， f 在 E 上有界，對 E 做分劃 T，1，其中所有的且 () k j ，令 s u p ( ) , , i n f ( ) , , k k k kM f x x E m f x x E 學(xué)畢業(yè)論文 7 11( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T M u E S f T m u E 令 ( ) i n f ( , ) , ( ) s u p ( , ) f d u S f T L f d u S f T，分別稱為（ L ）上，下積分如果( ) ( )f d u L f d u，則 f 在 E 上 L 可積，并稱 (L ) 上，下積分的公共值為 f 在 E 上的 L 積分，記為 ()EL 這種定義直觀，易接受，只是它過分的套用了 R 積分定義的模式，掩蓋了 L 的優(yōu)點 以上是測度有限可測集上有界函數(shù)的 L 積分定義，我們看到它在形式上同 R 積分除了“積分區(qū)域”更一般外，主要不同之處在于采用了測度和分劃的不同，即區(qū)間一律換成了 L 可測集 注：當 E 記為 ()EL f x 特別地當 , E a b ，記為 ()ba f x 比較兩者定義可知，將 ,劃成小區(qū)間是將 ,劃成可測集必有 ( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a aR f L f L f R f 由此式可知，當 f 在 , R 可積時即 ( ) ( )f R f時必有 ( ) ( )f L f 所以當 f 在 , R 可積時，則 f 在 ,必 L 可積，但反之不一定成立如定義在 E =0， 1上的狄利刻 雷函數(shù) 們已知 可積的，但由 L 積分的定義可以證明 可積的，且有 ( ) ( ) 0f x d x 由上述過程可知， (R )積分的建立是通過分割定義域，對和式求極限而得來的，這只是在每個小區(qū)間1 , 所取值k的改變而引起的， ()的變化極小或者即使 ()變化較大，但 ()改變較小時， () L 積分卻改變了這種現(xiàn)象，它是對 ()函數(shù)值相差不大的點結(jié)合在一起，從而擴展了可積函數(shù)類，使得好多問題變得迎刃而解了因此對定義域和值域的分割是 R 積分和 L 積分的本質(zhì)區(qū)別實際上設(shè) f 定義在集 E 上 ( ) ,f x x E ，對 , 作分劃01 . . . nD y y y ， 令1 , ( ) k k kE x E y f x y ， 則當 f 在 E 上可測時所有的 () k j ，1則得到了 E 的相應(yīng)的分劃 T 這時 111( , ) ( ) , ( , ) ( )k k f T y u E S f T y u E， 因此對 f 的值域 , 作分劃 D 實質(zhì)仍然是為了對 f 的定義域作分劃 T 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 8 2曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 R 可積的條件： （一） () 可積的必要條件是 () ,有界（這說明，任何 R 可積函數(shù)必須有界，但有界函數(shù)未必 R 可積，如狄里克雷函數(shù)，這與 L 積分不同， L 積分可以是無界的） （二） R 可積的充要條件有： 1定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為 f 在 ,的 R 上積分等于 R 下積分，即 ( ) ( ) ( ) ( )f x d x R f x d x 2定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為 0，總存在某一分割 T ，使得 1()n i i i i m 3定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為， 0，總存在某一分割 T ，使得( ) ( )S T S T 4定義在 ,有界函數(shù) f R 可積的充要條件為對任給正數(shù) ,，總存在某一分割 T ，使得屬于 T 的所有振幅i的小區(qū)間i的總長不超過 注 ：由此條件可以證明黎曼函數(shù) 0 ( , 0 )1 ( ( , ) 1 ) px p 在 0,1 上 R 可積 L 可積的條件： 1設(shè) () m E 上的有界函數(shù)，則 () 上 L 可積的充要條件為0，存在 E 的分劃 D 使得 ( , ) ( , ) (i i i i f S D f m E M m )（此條件與 R 積分類似） 2設(shè) () m E 上的有界函數(shù)，則 () 上 L 可積的充要條件為 () 上可測（即對于 測度有限的可測集上的有界函數(shù)可測性與可積性等價） 學(xué)畢業(yè)論文 9 3設(shè) ， () 上的可測函數(shù)， ( 1 ) n f n ， 則 () 上 L 可積的充要條件為 |nn m E 4設(shè) () , 反常積分存在，則 () , 可積的充要條件為 | , 有 , ba b aL f x d x R f x d x 5 設(shè) 上 L 可 積 函 數(shù) 列 ， li f x f x 在 E 上 幾 乎 處 處 成 立 ， 且 |nE f x d x K （常數(shù)），則 () 上 L 可積 2曼積分和勒貝格積分的 性質(zhì)的比較 R 積分的性質(zhì)： 1如果 f 在 , R 可積， k 為常數(shù)，則 ,也 R 可積，且有 k f 2若 , , R 可積，則 ,f g f g 在 ,也 R 可積（注：有 ,b b ba a af g f g 但 b b ba a f g ） 3有界函數(shù) f 在 , , ,a c c b 上都 R 可積，則 f 在 ,也可積，且有 b c ba a cf f f 4設(shè) , , R 可積，且 ( ) ( ) , , f x g x x a b，則 5若 f 在 , R 可積，則 |f |在 ,也 R 可積，且有 | | | |（注：其逆命題不成立，如 1 ( )1 ( ) 在 0,1 上不 R 可積，但 | | 1在 0,1 上可積 6設(shè) , , R 可積，則 | | | | 0 1l i mn bi i i aT i f g x f g ，其中 ,是 7設(shè) f 在 , R 可積，則在 ,任一內(nèi)閉子區(qū)間 , 上 f 也 R 可 積 8設(shè) f 在 ,連續(xù)且非負，若有 0ba f x ，則在 , 0f 9設(shè) , , R 可積，則 m a x , , m i n ,M x f x g x m x f x g x在 ,也 R 可積 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 10 10設(shè) f 在 , R 可積，且在 ,有 | | 0f x m，則 1 ,也 R 可積 11設(shè) f 在 ,連續(xù)，且對 ,任一連續(xù)函數(shù) g ，有 0ba ，則在 , 0f 12設(shè) f 在 ,連續(xù)，且對于所有那些在 ,滿足 0g a g b的連續(xù)函數(shù) g 有0ba ，則則在 , 0f 13（黎曼 f 在 , 可積，則 l i m s i n 0ba f x x d x L 積分的性質(zhì)： 1積分區(qū)域的可加性設(shè)在，1 ，式中 互 不相交的可測集，則1 （注：設(shè)1 ， 互不相交的可測集，對于任意的 k ， () E 不能推出()f L E 但有 ()f L E 能得到 () E ，這與 R 積 分 是 有 區(qū) 別 的 ， 在 R 積分中 ( 1, 2 ) E f R E k ） 2零集上的積分若 ( ) 0，則 0（約定當 () 而 ( ) 0 ( )f x x E 或者() 而 ( ) ( )f x x E 都有 0E f ） 3關(guān)于可積函數(shù)的單調(diào)性：（ 1）設(shè) ,都存在，且 在 E 上幾乎處處成立，則，特別地若 在 E 上幾乎處處成立，則 （ 2）設(shè) ()f L E ， 0f 在 E 上幾乎處處成立，則 0E f （ 3），設(shè) f 在 E 上可測，若( ) , 0g L E g ， |在 E 上幾乎處處成立，則 ()f L E 4關(guān)于積分區(qū)域的單調(diào)性設(shè) A 是 E 的可測子集，則在，特別地，若 f 在 E 上非負可測，則 5線性性質(zhì) （ 1 ）設(shè) , ( )f g L E ，則12 ()c f c g L E，（ 其 中 12, 常 數(shù) ） 且1 2 1 2E E Ec f c g c f c g （ 2），設(shè) , ( )f g L E ， , ( )f g g L E，則 ()E E Ef g f g 注：若 , ( )f g L E 不能推出 () E ，如取 0,1E ， 學(xué)畢業(yè)論文 11 1 , ( 0 1 )() ( 0 )0, 則 ()f L E ，但 2f 在 E 上不 L 可積 6絕對可積性 ( ) | | ( )f L E f L E 且 f 在 E 上可測，且有 | | | |由于可積函數(shù)的絕對可積性故 L 積分是一種絕對收斂的積分，而 R 反常積分不必為絕對收斂，因此 L 積分不是 7（ 1）唯一性定理：設(shè) f 在 E 上可測，則 | | 0 0E 在 E 上幾乎處處成立 （ 2）設(shè) ()f L E ，若對于所有有界函數(shù) g ，均有 00E fg f 在 E 上幾乎處處成立（注：0E f 不能推出 0f 在 E 上幾乎處處成立 如取 1,1E ，令 2 , ( 1 0 ) ,() 2 , ( 0 1 ) . x，則 0E f ，但 0f 8，積分的絕對連續(xù)性設(shè) ()f L E ，則對于 0 , 0 使得對 E 中任何可測子集 A ，只要 ( ) | | | | f f 9， L 可積函數(shù)的逼近性質(zhì)設(shè) () ， f 在 E 上有界可積，則對于 0, E 上可測的簡單函數(shù) ,得 g f h在 E 上幾乎處處成立，且 E h g 10， L 積分的平均連續(xù)性設(shè) ( , )距離空間， *u 為距離的外測度，1 ，其中所有的 集 ， 且 * ( ) , u為由 *u 導(dǎo) 出 的 全 有 限 測 度 ， ()f L X ，則0l i m | ( ) ( ) | 0xx f y f x d u （簡單的說： 0l i m | | 0 R f x h f x d x ） 11， L 積分弱連續(xù)性，設(shè) 上非負遞減可積，且 0在 E 上幾乎處處成立，則f （注：逆命題不成立） 12 , R g L R，則 m a x , , m M x f x g x m x f x g x在 可積 13（積分變量的平移變換） R ，則對任意的 00, f x y R ，且有 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 12 0x y f x d x 14（黎曼 格引理的推廣） 若 ,的可測函數(shù)列且滿足 15 | | ( , )ng x M x a b2，對任意的 ,c a b 有 ,l i m 0g x d x 則對任意的 ,f L a b ，有 ,l i m 0f x g x d x 2曼積分函數(shù)類與勒貝格積分函數(shù)類 R 積分函數(shù)類： 1若 f 為 ,的連續(xù)函數(shù)，則 f 在 , R 可積 2若 f 是 ,只有有限個間斷點的有 界函數(shù)，則 f 在 , R 可積 3若 f 是 ,只有有限個第一類間斷點的函數(shù)，則 f 在 , R 可積 4若 f 是 ,的單調(diào)函數(shù)，則 f 在 , R 可積 5設(shè) f 在 ,有界， ,na a b且 l i m , ,nn a c c a b ，若 f 在 ,只有 f 在 , R 可積 L 積分函數(shù)類： R 可積的有界 函數(shù)均是 L 可積的 2黎曼積分和勒貝格積分相關(guān)的一些定理的比較 關(guān)于 R 積分的定理有： R 積分的第一中值定理：若 f 在 ,連續(xù)，則在 ,至少存在一點 ， 使得 ( ) ( )ba f f b a 推廣的 R 積分的第一中值定理：若 , ,連續(xù)，且 ,不變號，則在 ,至少存在一點 ，使得 ()g f g R 積分第二中值定理：若在 , f 為非負的單調(diào)遞減函數(shù)， g 是 R 可積的，則 , , ( )b f g f a g 學(xué)畢業(yè)論文 13 推論 1，若在 , ( ) 0且單增， g 是 R 可積的，則 , , ( )b f g f b g 推論 2，若在 , f 為單調(diào)函數(shù)， g 是 R 可積的 ，則 , , ( ) ( )b f g f a g f b g 關(guān)于 L 積分的相關(guān)定理：關(guān)于 L 積分的最大成功之處在于討論積分與極限交換問題時將會看到著問題在 L 積分范圍內(nèi)得到比在 R 積分范圍內(nèi)遠為圓滿的解決如，設(shè) ( , , )為測度空間，, ( )E u E ， 在 E 上幾乎處處成立，我們可知從 可測性可以推出它的極限函數(shù) 能否從 ( ) ( ) E f L E 呢？先看下述例子 例 1 設(shè) 11 1 , 1 , ( , ) ，令 1 ()()0 ( ) ，且 () E，有 1 , ( 0 )l i m ( ) ( ) ( 0 )0, x f x 因為 0nE f f，但 | | ,E 在 E 不是 L 可積的 例 2 設(shè) 22 2 2 0 , 1 , ( ) ( ) 0 ( )(1 )f x f x ，但 1l i m 02n u f d f d 上述兩例說明，當從 () E不一定能推出 ()f L E ，即使 ()f L E 也不一定能保證極限符號與積分號能交換次序，我們在微積分中熟知當 , a b時，也不能保證它的極限函數(shù) , f R a b ，往往要加上 ,一致收斂于 f 的苛刻條件，對于 L 積分，并不要求f ，所加條件弱得多當討論一般可積函數(shù)的情形時，有勒貝格控制收斂定理：設(shè)（ 1） E 上的可測函數(shù)列（ 2） | | ( ) , 1 , 2 x n在 E 上幾乎處處成立，且 () 上可積（ 3） ( ) ( )nf x f x，則 () 上可積且 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 注：（一） 若將條件（ 3）改為 ( ) ( )nf x f x在 E 上幾乎處處成立，定理結(jié)論仍成立 （二） 設(shè) ，若將條件（ 2）改為 | ( ) |nf x k（常數(shù)），若 ( ) ( )nf x f x在 E 上幾乎處處成立或 ( ) ( )nf x f x，定理結(jié)論仍成立 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系 14 再看非負可測函數(shù)類有：列維定理：設(shè) 上的一列非負可測函數(shù)，且在 E 上有1( ) ( ) , 1 , 2x f x n（單調(diào)列），令 ( ) )x f x，則 l i m ( ) ( )f x d x f x d x 逐項積分定理：設(shè) ( 1 , 2 ) E k，若有 1 x d x ，則 1 在 E 上幾乎處處收斂，若記和函數(shù)為 f L E ，且有 1 x d x f x d x 積分號下求導(dǎo)定理：設(shè) ,f x y 是定義在 ,E a b 上的函數(shù)，它作為 x 的函數(shù)在 E 上可積，作為y 的函數(shù)在 ,可微，若存在 F L E ，使得 | , |d f x y F ，則 ,x y d x f x y d xd y d y 通過以上定理我們可 以發(fā)現(xiàn)在極限運算與 (L )積分運算交換次序時，只須滿足存在一個控制函數(shù) )些條件與一致收斂條件相比弱得多，在這樣的條件下，極限與積分運算，微分與積分運算，積分與積分運算很容易交換次序而在 R 積分中有界收斂定理為： （ 1） ( 1, 2 )nf x n 是定義在 ,的 R 可積函數(shù) （ 2） | | ( 1, 2 , , )nf x M n x a b (3) ,的 R 可 積 函 數(shù) ， 且 有 li f x f x 則 有 l i m f x d x f x d x 這里不僅受到條件（ 2）的限制，而且還必須假設(shè)極限函數(shù) 只是 L 控制收斂定理的一個特例 學(xué)畢業(yè)論文 15 第三章 實例 例 1： 求0l n ( )l i m c o e x d 解 l n ( ) l n ( )l i m c o s l i m l i m c o s 0n nx n n x x ne x e xn n n x ， 又 l n ( ) l n ( ) l n 3 l n 3( 1 ) ( 1 )33x n n x x n x xn n n x n 所以 l n ( ) l n 3c o s (1 )3e x x ，又因為 (1 )3 在 0, ) 上 L 可積， 由控制收斂定理可知，0l n ( )l i m c o e x d =0 而在 R 積分中要證明 ) c o 在 0, ) 上一致收斂是很麻煩的 例 2： 設(shè) 0,1t ， 1 , 0 , 1 , 1 , 21tn x x ，求證： 10l i m 0nn f x d x 證：當 1時， 11 21121 2tn ， 當 1時， 111 11