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,第 七 章,第44講 立體幾何中的向量方法(一)證明平行與垂直,欄目導(dǎo)航,非零,v1v2,存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使vxv1yv2,vu,u1u2,v1v2,v1v20,vu,u1u2,u1u20,1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)直線的方向向量是唯一確定的( ) (2)若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行( ) (3)若兩平面的法向量平行,則兩平面平行或重合( ) (4)若空間向量a平行于平面,則a所在直線與平面平行( ),C,3已知直線l的方向向量v(1,2,3),平面的法向量為u(5,2,3),則l與的位置關(guān)系是_. 解析:v(1,2,3),(5,2,3), 15223(3)0, v,l或l.,l或l,4設(shè)u,v分別是平面,的法向量,u(2,2,5),當(dāng)v(3,2,2)時(shí),與的位置關(guān)系為_;當(dāng)v(4,4,10)時(shí),與的位置關(guān)系為_. 解析:當(dāng)v(3,2,2)時(shí),v,則,當(dāng)v(4,4,10)時(shí),v,則.,5如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM的位置關(guān)系是_.,垂直,(1)恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo),是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵 (2)證明直線與平面平行,只需證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,一 利用空間向量證明平行問題,【例1】 如圖所示,平面PAD平面ABCD,ABCD為正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn)求證:PB平面EFG.,二 利用空間向量證明垂直問題,證明垂直問題的方法 (1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵 (2)證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直;證明線面垂直,只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可,當(dāng)然,也可證直線的方向向量與平面的法向量平行;證明面面垂直:證明兩平面的法向量互相垂直;利用面面垂直的判定定理,只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可,【例2】 如圖所示,正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn)求證:AB1平面A1BD.,【例3】 如圖,在三棱錐PABC中,ABAC,D為BC的中點(diǎn),PO平面ABC,垂足O落在線段AD上已知BC8,PO4,AO3,OD2. (1)證明APBC; (2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM3.試證明平面AMC平面BMC,三 利用空間向量解決探索性問題,對于“是否存在”型問題的探索方式有兩種:一種是先根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證;另一種是利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn)”,若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”,【例4】 如圖棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都等于2,ABC和A1AC均為60,平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證:BDAA1; (2)求二面角DA1AC的余弦值; (3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP平面DA1C1.若存在,求出點(diǎn)P的位置,若不存在,請說明理由,2如圖所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC為等腰直角三角形,BAC90,且ABAA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn),求證: (1)DE平面ABC; (2)B1F平面AEF.,3如圖所示,在四棱錐PABCD中,PC平面ABCD,PC2,在四邊形ABCD中,BC90,AB4,CD1,點(diǎn)M在PB上,PB4PM,PB與平面ABCD成30角 (1)求證:CM平面PAD; (2)求證:平面PAB平面PAD.,4在四棱錐PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD為正方形,PDDC,E,F(xiàn)分別是AB,PB的中點(diǎn) (1)求證:EFCD; (2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF平面PCB,并證明你的結(jié)論,錯(cuò)因分析:寫準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵,要利用中點(diǎn)、向量共線、相等來確定點(diǎn)的坐標(biāo)利用ab證明直線平行需強(qiáng)調(diào)兩直線不重合,證明直線與平面平行仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外,易錯(cuò)點(diǎn) 坐標(biāo)系建立不規(guī)范、點(diǎn)的坐標(biāo)易出錯(cuò),【例1】 如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn),M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分
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