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一、可積的必要條件,二、可積的充要條件,三 可積條件,三、可積函數(shù)類,一、 可積的必要條件,定理9.2 若函數(shù),在,上可積，則,在,上必定有界。,證：（用反證法）。,在,上無(wú)界，則對(duì)于,的任一分割T，必存在屬于T的某個(gè)小區(qū)間,在,上無(wú)界，,在,的各個(gè)小區(qū)間,上任意取定,并記,若,，使得：,現(xiàn)對(duì)任意大的正數(shù)M，由于,在,上無(wú)界，故存在,于是有：,這與,在,上可積相矛盾，從而定理得證。,注：任何可積函數(shù)一定是有界的，但有界函數(shù)卻不一定可積。,例1 證明狄理克雷函數(shù),在,上有界但不可積。,證,顯然,對(duì)于,的任一分割,，由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在實(shí)數(shù)中,的稠密性，在屬于,的任一小區(qū)間,當(dāng)取,全為有理數(shù)時(shí)，,當(dāng)取,全為無(wú)理數(shù)時(shí)，,所以無(wú)論,多么小，,只要點(diǎn)集,取法不同，,全取有理數(shù)或全取無(wú)理數(shù)，,積分和有不同極限，,即,在,不可積,二 可積的的充要條件,任給,顯然有,Riemann可積的第一充要條件,f(x)在a,b上Riemann可積,其中：,Riemann可積的第二充要條件,f(x)在a,b上Riemann可積,其中：,Riemann可積的第三充要條件,f(x)在a,b上Riemann可積,注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)和

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