微積分09空間直角坐標(biāo)系與向量的概念.ppt

第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念,一、空間直角坐標(biāo)系,二、向量的概念及其線性運(yùn)算,三、向量的坐標(biāo)表示,1.空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)面:在空間直角坐標(biāo)系中,每兩軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面,簡稱坐標(biāo)面.,面,面,面,一、空間直角坐標(biāo)系,在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與三元數(shù)組之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)情況:,2.兩點(diǎn)間的距離,例1 已知兩點(diǎn) 與 ,在 軸上求一點(diǎn) , 使,解 因?yàn)?在 軸上,所以設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題設(shè) ,得,解得,所求點(diǎn) 為,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向線段的長度), 記作 , ,單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,記為0 或,向量的表示: 或 或,二、向量的概念及其線性運(yùn)算,2.向量的線性運(yùn)算,(1)向量的加法,d,向量的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,（1）,（2）,（3）,（4）,(2)數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘向量),定義2 設(shè) 是一個(gè)非零向量, 是一個(gè)非零實(shí)數(shù),則 與 的乘積仍是一個(gè)向量,記作 ,且,數(shù)與向量的乘積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,（1）,（2）,（3）,（4）,1.向徑及其坐標(biāo)表示,向徑:在空間直角坐標(biāo)系中,起點(diǎn)在原點(diǎn) ,終點(diǎn)為 的向量 稱為點(diǎn) 的向徑.記為 或,基本單位向量:,稱上式為向量 的坐標(biāo)表達(dá)式,記作,三、向量的坐標(biāo)表示,2.向量 的坐標(biāo)表示式,3.向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式,4.向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示,例2 設(shè) ,求 的方向余弦.,解,例3 設(shè)向量 的兩個(gè)方向余弦為 ,又 ,求向量 的坐標(biāo).,解 由 得,所以,第二節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積,一、向量的數(shù)量積,二、向量的向量積,一、向量的數(shù)量積,1.數(shù)量積的概念,定義1 兩向量 的模及其夾角余弦的乘積，稱為向量的數(shù)量積,記為 ,即,說明:,(1)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量而不是向量；,(3),(2)兩非零向量 夾角的余弦,(4)設(shè) 為兩個(gè)非零向量,由定義1,有,數(shù)量積滿足如下運(yùn)算規(guī)律：,(1)交換律：,(3)分配律：,另外,由(2)(3)可得,2.數(shù)量積的坐標(biāo)表示式,.兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式,設(shè) 均為非零向量,由兩向量的數(shù)量積定義可知,解,例1 已知 求,例2 設(shè)力 作用在一質(zhì)點(diǎn)上,質(zhì)點(diǎn)由 沿直線移動(dòng)到 .求:(1)力 所作的功; (2)力 與位移 的夾角(力的單位為 ,位移的單位為 ).,解 因?yàn)?又因?yàn)?所以,例3 求在 坐標(biāo)面上與向量 垂直的單位向量,解之得,二、向量的向量積,1.向量積的概念,說明:,(1)兩向量的向量積是一個(gè)向量而不是數(shù);,(4),向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:,(1) 反交換律：,(3) 分配律:,2.向量積的坐標(biāo)表示式,a,對(duì)于兩個(gè)非零向量,解,例4 設(shè) 求,例5 求垂直于 和 的單位向量.,解 因?yàn)?同時(shí)垂直 和 ,所以,例6 已知三角形 的頂點(diǎn)是 求三角形的面積.,解 根據(jù)向量積的定義,可知三角形 的面積,第三節(jié) 平面與直線,一、平面的方程,二、直線的方程,三、平面、直線的位置關(guān)系,1平面的點(diǎn)法式方程,法向量,因?yàn)?所以有,該方程稱為平面 的點(diǎn)法式方程,一、平面的方程,解 由平面方程的點(diǎn)法式得所求平面方程為,例1 求過點(diǎn) 且垂直于向量 的平面方程,即,解 因?yàn)?在該平面上,已知平面的法向量,故,所求平面的法向量 與向量 和 都垂直,即,由公式得該平面的方程為,例3 求過點(diǎn) 和 三點(diǎn)的平面方程,故,解 所求平面的法向量 與向量 和 都垂直，而,由公式 得該平面方程為,即,從平面的點(diǎn)法式方程得,令,該方程稱為平面的一般式方程.,2平面的一般式方程, 得,它表示過點(diǎn) 且以 為法向量的平面,可見，任一三元一次方程（ 不全為零）都表示一個(gè)平面.系數(shù) 為平面法向量的坐標(biāo),平面通過原點(diǎn)(圖9.16),(2)當(dāng) 時(shí)，,圖9.17,方程 的特殊情況:,(1)當(dāng) 時(shí)，,該平面平行于 軸（圖9.17）,圖9.18,(3)當(dāng) 時(shí),表示的平面通過 軸(圖9.18),分別表示通過 軸和 軸的平面.,(4)當(dāng) 時(shí)，,圖9.19,當(dāng) 時(shí),該平面平行于 坐標(biāo)面(圖9.19),它表示 坐標(biāo)面,同理，方程 和 分別表示平行 面和 面的平面;方程 和 分別表示 面和 面.,方程為,代入原方程并化簡,得所求平面方程為,例4 求通過 軸和點(diǎn) 的平面方程.,解 因平面通過 軸,由以上討論,可設(shè)其方程為,解 設(shè)所求平面方程為,例5 一平面經(jīng)過 三點(diǎn)，求此平面的方程.,又因 三點(diǎn)都在平面上,所以有,后兩個(gè)方程分別減去第一個(gè)方程,得,所以,代入第一個(gè)方程得,即,因?yàn)?不能同時(shí)為零,所以 ,于是有,即得所求平面方程為,3平面的截距式方程,解此方程組得,設(shè)一平面過三點(diǎn) (圖9.20),求此平面方程,設(shè)平面方程為 ，,因?yàn)?三點(diǎn)在該平面上,所以有,即得所求平面方程為,此方程稱為平面的截距式方程,其中 分別稱為平面在 軸、 軸、 軸上的截距.,解,方程兩邊同除以5,得平面的截距式方程為,其中,例6 將平面 化為截距式方程,1直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程,方向向量:,向向量為,圖9.21,二、直線的方程,所以由兩向量平行的充要條件可知,此方程組稱為直線的點(diǎn)向式方程（或稱標(biāo)準(zhǔn)方程）,設(shè)點(diǎn) 為直線L上任意一點(diǎn)則點(diǎn) 在直線 上的充要條件是 ,因?yàn)?注：當(dāng) 中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子也為零,記其比值為t,則有,此式稱為直線L的參數(shù)方程，t為參數(shù),方向向量,故所求直線的方程為,上式也稱為直線的兩點(diǎn)式方程,解,解 因所求直線平行于兩平面.故直線的方向向量s垂直于兩平面的法向量 及,例8 求過點(diǎn) 且平行于兩平面 及 的直線方程.,所以取,因此,所求直線方程為,即,2直線的一般方程,設(shè)平面 的方程分別為：,則兩個(gè)平面 的交線L的方程為,此方程稱直線的一般方程,解 先求直線上的一點(diǎn),不妨令 ,代入原方程組得,再求該直線的一個(gè)方向向量,所以可取,所以直線的點(diǎn)向式方程為,令上式為 ,可得已知直線的參數(shù)方程為,1平面與平面的位置關(guān)系,兩平面的夾角:兩平面法向量的夾角(通常取銳角).,法向量,三、平面、直線的位置關(guān)系,因此 與 的夾角的余弦為：,特別地,兩平面的法向量分別為,所以兩平面的夾角的余弦為,所以兩平面夾角,解,2直線與直線的位置關(guān)系,兩直線的夾角:兩直線方向向量的夾角(取銳角).,方向向量,因此 與 的夾角的余弦為,的方向向量分別為,解,則兩直線 與 的夾角的余弦為,所以兩直線的夾角,3直線與平面的位置關(guān)系,直線與平面的夾角:直線和它在平面上的投影直線的夾角,設(shè)直線 與平面 的垂直線的夾角為 ，與 的夾角為 ,則 .求直線與平面夾角,由兩向量夾角的余弦公式,有,的方向向量為,解,與 的垂線的夾角 的余弦為,因此， 與 的夾角,第四節(jié) 曲面與空間曲線,一、曲面方程的概念,二、旋轉(zhuǎn)曲面,三、幾種常見的二次曲面,四、空間曲線,定義:如果曲面 上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 而不在曲面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,則稱方程 為曲面 的方程,而稱曲面 為此方程的圖形.,圖9.23,一、曲面方程的概念,圖9.24,例1 建立球心在點(diǎn) ,半徑為 的球面方程.,解 設(shè) 是球面上的任一點(diǎn),則,而,所以,這就是球心在點(diǎn) , 半徑為 的球面方程.,當(dāng) 時(shí),得球心在原點(diǎn),半徑為 的球面方程為,柱面:直線 沿定曲線 平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.定曲線 稱為柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線 稱為柱面的母線.,例2 建立母線平行于 軸的柱面方程.,圖9.26,解 設(shè)準(zhǔn)線 是 面上的一條曲線, 是柱面上的任意一點(diǎn).過點(diǎn) 的母線與 面的交點(diǎn) 一定在準(zhǔn)線 上,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,不論點(diǎn) 的豎坐標(biāo) 取何值,它的橫 坐標(biāo) 和縱坐標(biāo) 都滿足方程 ,因此所求柱面方程為,在空間直角坐標(biāo)系中,方程 表示以 面上的曲線 為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,類似地,方程 表示以 面上的曲線 為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,方程 表示以 面上的曲線 為準(zhǔn)線,母線平行于 軸的柱面.,用 面和 面去截曲面,其截痕為,它們都是雙曲線.,也表示單葉雙曲面,中心軸分別是 軸、 軸.,旋轉(zhuǎn)曲面:平面曲線 繞同一平面上定直線 旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.定直線 稱為旋轉(zhuǎn)軸.,二、旋轉(zhuǎn)曲面,例3 建立 面上一條曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.,又因?yàn)?在曲線 上,所以,同理,曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 繞 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,例4 將 坐標(biāo)面上的直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.,解 將 保持不變, 換成 得,即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為,由上時(shí)表示的曲面稱為圓錐面.點(diǎn) 稱為圓錐的頂點(diǎn).,二次曲面:在空間直角坐標(biāo)系中,若 是二次方程,則它的圖形稱為二次曲面.,截痕法:用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對(duì)這些交線進(jìn)行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為截痕法.,三、幾種常見的曲面,1.橢球面,用三個(gè)坐標(biāo)面分別去截橢球面,交線為:,這些交線都是橢圓.,用平行于 面的平面 截橢球面,交線為,是平面 上的橢圓.,用平行其它兩個(gè)坐標(biāo)面的平面去截橢球面,分析的結(jié)果類似.,2.單葉雙曲面,用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為,3.雙葉雙曲面,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是以 軸為實(shí)軸,虛軸分別為 軸和 軸的雙曲線.,用平行于 面的平面 截曲面,得,當(dāng) 時(shí),其截痕是一橢圓;,當(dāng) 時(shí),其截痕縮為一點(diǎn) 和 ;,當(dāng) 時(shí),沒有圖形.,也表示雙葉雙曲面.,4.橢圓拋物面,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是開口向上的拋物線.,用平面 截曲面,得,當(dāng) 時(shí),沒有圖形;,當(dāng) 時(shí),相交于一點(diǎn) ;,當(dāng) 時(shí),所得截線為,5.雙曲拋物面,用三個(gè)坐標(biāo)面截曲面,所得截線分別為,它們分別表示兩條相交直線、開口向上的拋物線和開口向下的拋物線.,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截線分別為,用平行于 面的平面 截曲面,所得截線為,1.空間曲線的一般方程,四、空間曲線,解 (1) 是球心在原點(diǎn),半徑為5的球面. 是平行于 面的平面,它們的交線是在平面 上的圓,(2)方程 表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,半徑為 的上半球面;方程 表示母線平行于 軸的圓柱面,方程組表示上半球面與圓柱面的交線.,2.空間曲線的參數(shù)方程,( 為參數(shù)),例6 設(shè)空間一動(dòng)點(diǎn) 在圓柱面 上以角速度 繞 軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度 沿平行于 軸的正方向上升(其中 都是常數(shù)),則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡叫做螺旋線,試求其參數(shù)方程.,則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方