皮亞杰的數(shù)學(xué)觀下的兒童.pps

皮亞杰的數(shù)學(xué)觀下的兒童 的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),本文框架,1.皮亞杰的數(shù)學(xué)觀 2.皮亞杰的兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展觀 3.皮亞杰理論的一些局限性,一、皮亞杰的數(shù)學(xué)觀,（1）什么是數(shù)學(xué)觀 數(shù)學(xué)觀是人們對數(shù)學(xué)的總體看法，它有各種表現(xiàn)形式.例如在本體論方面，數(shù)學(xué)對象是否具有客觀性？在認(rèn)識論方面，數(shù)學(xué)發(fā)展的動力或源泉是什么？數(shù)學(xué)是經(jīng)驗科學(xué)還是演繹科學(xué)抑或是經(jīng)驗與演繹的辨證統(tǒng)一？數(shù)學(xué)的真理性標(biāo)準(zhǔn)是什么？這些都涉及對數(shù)學(xué)的總體看法，人們對這些問題的不同回答反映出他們不同的數(shù)學(xué)觀.,（2）關(guān)于數(shù)學(xué)的總體認(rèn)識,關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識，皮亞杰認(rèn)為:全部數(shù)都可以按照結(jié)構(gòu)和建構(gòu)來考慮.數(shù)學(xué)認(rèn)識是不斷建構(gòu)的產(chǎn)物.建構(gòu)構(gòu)成結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)對認(rèn)識起中介作用；結(jié)構(gòu)不斷建構(gòu)，從比較簡單的結(jié)構(gòu)到更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其建構(gòu)過程則依賴于主體的不斷活動. 數(shù)學(xué)知識既不是形成于物理實在的客體之中，也不是先驗的形成于主體自身之中，而是來自于主體的協(xié)調(diào)動作和動作圖式.是對人類動作圖式通過不斷反身抽象和內(nèi)部協(xié)調(diào)方式進(jìn)行內(nèi)化建構(gòu)的產(chǎn)物.這種產(chǎn)物除數(shù)學(xué)外就是邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，皮亞杰常合稱為邏輯數(shù)學(xué)圖式或邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).,皮亞杰認(rèn)為數(shù)學(xué)實體不具有本體論意義.在內(nèi)化建構(gòu)中，新圖式取代舊圖式，不是簡單的拋棄舊圖式，新圖式是從舊圖式發(fā)展而來的，新圖式保留、改造了舊圖式并把它整合到舊圖式中去，即舊圖式服從新圖式的整體結(jié)構(gòu)，從而新圖式進(jìn)入比較高一級的程度.也就是說不存在“一切結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)”，這就是邏輯數(shù)學(xué)發(fā)展的漸進(jìn)模式.這種發(fā)展是無止境的，永遠(yuǎn)不會停留在一種水平上.,（3）數(shù)學(xué)實體不具有本體論意義,（4）對數(shù)學(xué)認(rèn)識論的三個傳統(tǒng)問題的回答,第一，數(shù)學(xué)是奠基于極少數(shù)內(nèi)容相當(dāng)貧乏的概念或公理上，卻是富有成效的. 皮亞杰認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)識是不斷建構(gòu)的產(chǎn)物，建構(gòu)是過程，建構(gòu)的結(jié)果是形成結(jié)構(gòu)，由于主體的不斷活動，結(jié)構(gòu)又不斷的建構(gòu)，從而從簡單的結(jié)構(gòu)形成更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和更為豐富的結(jié)構(gòu).在建構(gòu)過程中，最初與一定的具體事物相聯(lián)系(如，兒童最初出現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動看起來是經(jīng)驗性的：把算盤珠子撥攏來或者分開，集合體的排列來證實可交換性等)，經(jīng)若干次提煉后建構(gòu)就不必顧及具體經(jīng)驗事物的存在與否，可以只根據(jù)運算的邏輯規(guī)律自由地進(jìn)行組合，并且這種組合的正確與否可由邏輯法則予以判定而無須求助于任何經(jīng)驗事物(即具有演繹性質(zhì)).即，如皮亞杰所說：這些活動一旦內(nèi)化為運演的形式時，就能以符號的形式，從而也能以演繹的方式來進(jìn)行.,反身抽象是對主體動作協(xié)調(diào)的抽象，也就是對運算的運算.由于它不斷的從較低活動水平轉(zhuǎn)移到較高活動水平，因此運算終將內(nèi)化為抽象的概念運算，又因為充分使用符號，數(shù)學(xué)體系就幾乎完全是由符號、數(shù)字、概念和命題組成.因此，數(shù)學(xué)所表示的只是抽象的一般，已和具體事物完全分離，只須服從運算的邏輯法則就可以獨立存在，這時運算思維不在受主體實際活動的束縛而成了純形式的運算.總之，形式可獨立于它的內(nèi)容而起作用，甚至沒有內(nèi)容的形式也能被建構(gòu)起來而發(fā)揮作用.數(shù)學(xué)完全可以按照自己內(nèi)在邏輯規(guī)律在自己的基礎(chǔ)上獨立自主的發(fā)展，在一種純粹的狀態(tài)中，自我支持、自我激勵的繁衍自己.因此，純粹數(shù)學(xué)的獨立發(fā)展是可能的.,第二，數(shù)學(xué)具有建構(gòu)的特征，這可能成為不合理性產(chǎn)生的根源，但為什么數(shù)學(xué)仍然具有必然性和保持著恒常的嚴(yán)格性呢？,皮亞杰認(rèn)為，豐富性和必然性總是連在一起的，所謂現(xiàn)代數(shù)學(xué)的顯著進(jìn)是以數(shù)學(xué)進(jìn)展的兩個相互關(guān)聯(lián)的方面，即增多了建構(gòu)性和提高了嚴(yán)格性為其特點.任何理論體系就其自身來說總是不完備的，必須借助一個比它更完善或更“強”的理論才能證明其無矛盾性，據(jù)此，皮亞杰認(rèn)為，任何一個邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在沒被整合到一個更大或更高級的結(jié)構(gòu)之前總是不完善的，這就要求對現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)進(jìn)行反身抽象的內(nèi)化建構(gòu)，使之過渡到更為抽象的高級水平上，數(shù)學(xué)在這樣的建構(gòu)中，各種水平的結(jié)構(gòu)按照其豐富性和完備性不同程度地排列起來，成為一個強度不斷增長地序列，這就是邏輯數(shù)學(xué)的發(fā)展模式.這種發(fā)展過程模式是無止境的永遠(yuǎn)不會停留在一種水平上.一方面建構(gòu)時應(yīng)為論證的結(jié)論提出理由，另一方面，建構(gòu)時我們必須能看到結(jié)論是如何從已把結(jié)論包含于其中的那些前提的組合中推導(dǎo)出來，而后者則抽象出一種導(dǎo)致結(jié)論的合成法則，此法則把建構(gòu)性和嚴(yán)格性結(jié)合在一起.,第三,盡管數(shù)學(xué)完全具有演繹性質(zhì)，但數(shù)學(xué)跟經(jīng)驗或物理的現(xiàn)實是符合一致的.,皮亞杰指出，一方面，在人類認(rèn)識發(fā)展的任何階段，主體總是在某種程度上處于不盡客觀的自我中心狀態(tài)之中，即處在一個不能區(qū)別一個人自己的活動和外界客體的變化這種狀態(tài)中.這就妨礙主體客觀的認(rèn)識世界.認(rèn)識的建構(gòu)過程實際上是一個連續(xù)不斷打破自我中心化的過程.自我中心化每被消除一次，認(rèn)識的客觀性就增強一次.另一方面，自然經(jīng)驗、客觀知識都是主體外化建構(gòu)的產(chǎn)物，它只是無限接近實際客體，所以數(shù)學(xué)與自然經(jīng)驗的吻合是相對的而不是絕對的.任何一種水平上的數(shù)學(xué)，它對客體的同化都要有一定的深度和范圍，必須不斷的提高建構(gòu)水平，才能使吻合的誤差變小.所以要達(dá)到某種程度的吻合，必定需要一個建構(gòu)的過程.,總之，要達(dá)到數(shù)學(xué)與自然經(jīng)驗的一致，必須通過主體的積極的建構(gòu)，一方面進(jìn)行內(nèi)化建構(gòu)研究和發(fā)展數(shù)學(xué)本身；另外一方面進(jìn)行外化建構(gòu)積極應(yīng)用數(shù)學(xué)于生產(chǎn)科研，在應(yīng)用中豐富數(shù)學(xué)、促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展.建構(gòu)進(jìn)入形式運算階段后，表面上看數(shù)學(xué)似乎遠(yuǎn)離了客體，但實際上數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)倒是愈來愈接近客體.因為形式數(shù)學(xué)擺脫主體的束縛而把自己從身體活動中解放出來，同時又把主體作為時空動力變化的一部分而整合進(jìn)去，從而最大限度的消除了自我中心化，主體就能用數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)去客觀地同化客體，理解自然.同時，形式化數(shù)學(xué)具有內(nèi)容豐富性和邏輯的必然性，能夠為客體的因果建構(gòu)提供各種現(xiàn)實可能性的模型，并且能邏輯的預(yù)先排除和避免錯誤，使外化建構(gòu)超越經(jīng)驗無歧異的進(jìn)行，從而獲得數(shù)學(xué)與自然、經(jīng)驗廣泛深入的吻合同一.,二、皮亞杰的兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展觀,布爾巴基學(xué)派的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義思想對皮亞杰的數(shù)學(xué)認(rèn)識論產(chǎn)生了一定的影響.布爾巴基學(xué)派把數(shù)學(xué)的研究對象歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序列結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三種基本母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng).皮亞杰研究發(fā)現(xiàn)，這三類結(jié)構(gòu)看起來十分抽象，但在年齡小到六、七歲的兒童思維中卻發(fā)現(xiàn)了與這三類結(jié)構(gòu)相似的結(jié)構(gòu).但這些萌芽的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)還不能稱之為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，必須通過反身抽象和內(nèi)部的協(xié)調(diào)建構(gòu)才能形成，越是基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)越要經(jīng)過多次的建構(gòu).這種建構(gòu)的連續(xù)重復(fù)的進(jìn)行，形成了數(shù)學(xué)的各種理論層次和各個發(fā)展時期.,思維發(fā)展的各個階段,皮亞杰以運演為標(biāo)志把兒童思維發(fā)展劃分為四大年齡階段： .感知運動階段（2歲左右） .前運演階段（27歲）又分為 前概念思考期（24歲） 直覺思考期（47歲） .具體運演階段（711、12歲） .形式運演階段（11、1214、15歲）,.感知運動階段,兒童能自發(fā)的發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，這時的兒童具有目測能力（即憑短時的直覺，說出物體的數(shù)目），能根據(jù)數(shù)量的多少來判斷小的集合的多少，它的發(fā)展優(yōu)先于數(shù)的能力的發(fā)展.,2.前運演階段,數(shù)字對于兒童（人的個體初始狀態(tài)）來說是非常抽象的，處于前運演階段的兒童，對具體、靜止的事物形成強烈的依賴性，因此對處在幼兒期的兒童，大量的直觀動作是必不可少的.必須讓兒童通過一系列的“匹配”活動，自己形成抽象的數(shù)字，例如，扳著手指頭數(shù)數(shù)等，是進(jìn)行數(shù)字計算的必要前提.很多教師在教學(xué)中存在的偏差是急于求成，人為地取消了學(xué)生認(rèn)識數(shù)的過程中的“匹配”活動，顯然這樣做是與思維發(fā)展的規(guī)律相違背的.,前概念思考期,前概念思考期的兒童開始有初期的概念形式，即前概念.他們以事物的相似性來區(qū)分物體種類，不能理解“所有”和“某些”之間的量的區(qū)別.他們的思想既不是歸納的，也不是演繹的，而是直接推理的.,皮亞杰認(rèn)為，在這個水平上兒童還沒有掌握組成推理的基本形式，例如，像下述公式所表達(dá)的那樣的傳遞性：如果A（R）B，而且B（R）C，則A（R）C.例如，被試看見在一起的兩根棍子AB，然后又看見兩根棍子BC，他不能推出AC，除非他同時看到它們.,直覺思考期,兒童不是根據(jù)某些邏輯規(guī)則，而以直覺的方式來思考問題，這一時期兒童思考的最大特點是：既使因物體所處的位置不同，兒童仍能了解其數(shù)目、長度、質(zhì)量或面積維持恒定的能力.但是卻沒有可逆思維和定量的概念.首先，是函數(shù)的概念，例如：人們把一條線折成互成直角的兩個線段A和B，拉這條線，他能推測出，線段B拉長與線段A變短是互為函數(shù)的，但他并不因此就認(rèn)為A+B的整個長度是不變的，因為兒童判斷長度的方法是次序性的（依到達(dá)終點的順序來決定長短：比較長=比較短），而不是憑各個間隔長的總量來判斷的.其次是同一性的關(guān)系（盡管長度大小有改變，但還是同一條線段）.因為兒童沒有定量的概念，兒童在心智上無法作反逆的思維過程.,例如：,準(zhǔn)備10根吸管，讓孩子從1數(shù)到10.然后問：假如最后一根是十，那么第一根是第幾？將吸管全部集中讓孩子數(shù)一次.之后，再分散全部吸管，并問：現(xiàn)在我所擁有的吸管數(shù)目是多少？還是一樣？可利用手指頭重復(fù)這項活動. 討論 前運演階段的兒童能一一計算，但不知道數(shù)字的含義兒童要充分了解數(shù)目，必須知道以下幾項： 首先，分類每個手指頭的長度都不一樣，因此，數(shù)它時不該受到指頭長短的影響，而必須理解基數(shù)的概念. 其次，基數(shù)不論物體如何排列，其數(shù)目仍然不變. 再次，序數(shù)一個物體的順序排列位置可決定它的號數(shù).,.具體運演階段,對大小關(guān)系表現(xiàn)出如下特征：兒童能同時利用“”和“”這兩個關(guān)系而不是一種關(guān)系排斥另一種關(guān)系；兒童能進(jìn)行具體運演，也就是能在同具體事物相聯(lián)系的情況下，進(jìn)行邏輯運演，這時兒童的思維已具有可逆性和守恒性. 而守恒是這一階段的主要標(biāo)志，兒童已有了一般的邏輯結(jié)構(gòu)，如群、格、群集等.這時的群集運算有五個特征，即組合性和直接性，如A+A=B；逆向性，如A+A=B，則B-A=A；同一性，如+A-A=0；重復(fù)性，如A+A=A；結(jié)合性（A+A）+B=A+（A+B）.,4.形式運演階段,思維的特點是“有能力處理假設(shè)而不只單純地處理客體”、“認(rèn)識超越于現(xiàn)實本身”、“而不需具體事物作中介了”.此階段能夠真正使用邏輯思考，是邏輯思維的高級階段.,三、皮亞杰理論的局限性,.他過于強調(diào)邏輯思維對數(shù)學(xué)概念發(fā)展的影響，忽略了數(shù)學(xué)語詞的學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)掌握和理解，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗對兒童數(shù)概念及邏輯思維發(fā)展有重要的影響作用. .由于皮亞杰的理論關(guān)注學(xué)的主體，因此，容易忽視教的主體所代表的文化傳統(tǒng)作用. .皮亞杰的數(shù)學(xué)觀，只是從心理的發(fā)生發(fā)展來解釋認(rèn)識的獲得，認(rèn)為兒童的智力發(fā)展主要地是對客體適應(yīng)的結(jié)果，而且這在很大程度上又是由主體生理上的成熟程度決定的，因此，皮亞杰的智力發(fā)展理論就表現(xiàn)出了濃厚的生物學(xué)色彩.或者說，皮亞杰事實上就是由生物學(xué)特別是生物進(jìn)化理論獲得了基本概念框架.,