數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用畢業(yè)論文.doc

數(shù)學(xué)思想方法及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)學(xué)院10級(jí)3班 張瑜蝶摘要：數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、概念及理論與方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是體現(xiàn)基礎(chǔ)科學(xué)中具有奠基性、總結(jié)性的內(nèi)容。它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本觀點(diǎn)，并且將繼續(xù)發(fā)展和完善。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想的歸納，接受以及舉例說(shuō)明，讓我們能更加深刻的學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)思想，并且能熟練的應(yīng)用到具體的問(wèn)題中。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法正文：數(shù)學(xué)科學(xué)在本世紀(jì)得到了空前的發(fā)展，這不僅標(biāo)志著在基礎(chǔ)理論研究的廣泛深入，論文爆炸；更表現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)部各學(xué)科之間以及數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的學(xué)科之間相互滲透的空前加強(qiáng)，除了我們熟知的自然科學(xué)之外，還有科學(xué)技術(shù)，人文，社會(huì)科學(xué)，哲學(xué)，文藝等方面。數(shù)學(xué)在其它各個(gè)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用不僅形成了一大批新的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，而且在與計(jì)算機(jī)結(jié)合過(guò)程中，又形成了數(shù)學(xué)技術(shù)。因此，數(shù)學(xué)不僅發(fā)揮著基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)應(yīng)用的強(qiáng)大作用，而且成為現(xiàn)代社會(huì)中一種不可替代的技術(shù)，成為各個(gè)國(guó)家綜合實(shí)力的一個(gè)重要組成部分。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要組成部分，在發(fā)展人，發(fā)展社會(huì)意識(shí)等方面有著非常重要的作用。有文章精辟的指出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值和目標(biāo)：“數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)在于對(duì)整個(gè)科學(xué)技術(shù)尤其是高新技術(shù)水平的推進(jìn)和提高，對(duì)科技人才的培養(yǎng)和滋潤(rùn)和對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的繁榮還有對(duì)全體人民科學(xué)思維的提高與文化素質(zhì)的哺育”?？傊瑪?shù)學(xué)儼然已經(jīng)成為我們這個(gè)時(shí)代的一種文化，各種數(shù)學(xué)理念在眾多不同的層次上深深地影響著我們的生活方式和工作方式，而數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是銘記在人們頭腦中起永恒作用的數(shù)學(xué)的精神與態(tài)度，數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)與文化。人們重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉、概括和應(yīng)用也就是順理成章的事了?！皵?shù)學(xué)思想”一詞無(wú)論在數(shù)學(xué)還是在數(shù)學(xué)教育范圍內(nèi)，或者是在其他科學(xué)中，都已被廣泛使用。中學(xué)數(shù)學(xué)教育大綱中已經(jīng)明確指出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指：數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)的性質(zhì)，法則，公式，公理還有定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想。思想從詞義解釋來(lái)看是指客觀存在的反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)果。從哲學(xué)角度看，思想的涵義有二：一個(gè)是與“觀念”同義的詞語(yǔ)，二是指相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)的一種成果。興許，人們就是從不同的起點(diǎn)出發(fā)，使數(shù)學(xué)思想的涵義有著多種多樣的說(shuō)法。既然數(shù)學(xué)思想是一種理性認(rèn)識(shí)的成果，那么，作為對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一種反映，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中各個(gè)階段上相對(duì)真理性的認(rèn)識(shí)的總和，是人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象，數(shù)學(xué)概念和命題還有數(shù)學(xué)結(jié)論以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)。也有人把數(shù)學(xué)思想闡述為是人們對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象統(tǒng)一的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它不僅包括對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，還對(duì)數(shù)學(xué)基本特性、數(shù)學(xué)對(duì)象及數(shù)學(xué)與其他科學(xué)，數(shù)學(xué)與客觀世界關(guān)系的認(rèn)識(shí)，以及在數(shù)學(xué)中所創(chuàng)立的新概念，新理論以及新模型和新方法的認(rèn)識(shí)。通過(guò)對(duì)上述各種說(shuō)法的研究，我們不難發(fā)現(xiàn)它們的共同之處。首先，我們可以肯定的是數(shù)學(xué)思想是一種理性認(rèn)識(shí)，因而它必然是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)的多次循環(huán)往復(fù)和不斷的深化。它不斷的從數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題以及數(shù)學(xué)方法等理性認(rèn)識(shí)中得到概括和提煉，成為了一種對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)及其中存在的規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)，慢慢形成了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性觀點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想作為人們對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一種反映，又直接支配著數(shù)學(xué)的一切實(shí)踐活動(dòng)。我們對(duì)于任何數(shù)學(xué)事實(shí)的理解，數(shù)學(xué)概念的掌握，還有數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)理論的建立，無(wú)一不是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)和運(yùn)用。因此，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)概念，還有方法和理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。于是，我們可以對(duì)數(shù)學(xué)思想的涵義作出一個(gè)簡(jiǎn)要的概括：數(shù)學(xué)思想是在一切數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問(wèn)題的基本觀點(diǎn)和根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)概念，命題，規(guī)律還有數(shù)學(xué)方法和技巧的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)中的智慧和靈魂。這時(shí)肯定有人會(huì)提出疑問(wèn)，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法有什么聯(lián)系和區(qū)別？或者什么是數(shù)學(xué)思想方法？在這里，我們不能像數(shù)學(xué)中的概念那樣明確地給出它們的定義，只能給出一種解釋或者是界定。首先，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法都是以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如數(shù)學(xué)符號(hào)、概念、命題、算法等為基礎(chǔ)的，反過(guò)來(lái)它們又促進(jìn)者數(shù)學(xué)知識(shí)的深化以及向數(shù)學(xué)能力的轉(zhuǎn)化。其次，它們兩者都具有抽象概括程度的不同，表現(xiàn)出了互為表里的特殊關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)方法應(yīng)該受到數(shù)學(xué)思想的指引，是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的具體反映和體現(xiàn)，表現(xiàn)形式外顯；另一方面，數(shù)學(xué)思想還是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的結(jié)晶和升華，表現(xiàn)形式為內(nèi)隱。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思想往往都帶有理論性方面的特征，而數(shù)學(xué)方法卻具有實(shí)踐性的傾向。由于人們?cè)跀?shù)學(xué)系學(xué)生和研究活動(dòng)中，很難把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)，所以又常將兩者統(tǒng)稱(chēng)為“數(shù)學(xué)思想方法”。同一個(gè)數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用它去解決別的問(wèn)題時(shí)，我們就常稱(chēng)之為方法；當(dāng)評(píng)價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時(shí)，我們就稱(chēng)之為思想。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較時(shí)，我們通常認(rèn)為前者更為重要，它不僅是是學(xué)習(xí)者探索解題途徑的一盞盞明燈，而且還是我們所必須具備的一個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一位著名的教育家曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，真正教育的旨趣在于即使學(xué)生把教給他所有的知識(shí)都忘記了，但是還是有能使他獲得受用終生的東西，那樣的教育才是最高最好的教育。這里“受用終生的東西”在數(shù)學(xué)中就是指“數(shù)學(xué)思想方法”。所以本論文就來(lái)探討一些常見(jiàn)地?cái)?shù)學(xué)思想。一、 函數(shù)與方程思想 函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和其性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題。方程思想，就是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題得到解決。有時(shí)，還可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化與接軌，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f (x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解決問(wèn)題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題、集合問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。接下來(lái)我們通過(guò)一道高考題來(lái)具體認(rèn)識(shí)一下：例：f(x)=lg,其中y為正實(shí)數(shù)，如果當(dāng)x取值范圍小于等于1時(shí)，f(x)有意義，求y的取值范圍。求解過(guò)程如下：解：可知1+2+4y0，即y-()+()，當(dāng)x(-,1時(shí)恒成立，而()、()都是減函數(shù)，則g(x)= -()+()在(-,1是增函數(shù)，故x=1時(shí)，g(x)取得最大值是g(1)=-(+)=-，從而得到y(tǒng)的取值范圍是y-。在這一道題中，主要是采用分離參數(shù)的方法，通過(guò)函數(shù)再造，把不等式恒成立的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解。例題11若拋物線yx+mx1和兩端點(diǎn)a(0, 3)，b(3, 0)的線段ab有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍 故m的取值范圍是(3, 解：函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的思想和方法之一，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，涉及面也比較廣，是歷年高考中考查的重點(diǎn)，所以我們要高度重視運(yùn)用這一思想方法分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使這種思想在解題中的應(yīng)用成為我們基本技能的重要組成部分。 二、數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)無(wú)形，少直觀，形無(wú)數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對(duì)幾何問(wèn)題用代數(shù)方法解答，對(duì)代數(shù)問(wèn)題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何最常用。例如求+的最小值，就可以把它放在坐標(biāo)系中，把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)點(diǎn)到(1,1) 、(0,1)、(1,0)、(0,0)四點(diǎn)的距離，就可以求出它的最小值。下面我們也根據(jù)幾個(gè)具體的題來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用： 例1：方程6x+5=4實(shí)根的個(gè)數(shù)。 分析：直接解方程有一定難度，可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)Y=6x-4，Y=-5的交集，即考慮兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。YY0yxPQ例2. 設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解法1：函數(shù)有意義，則，即在上總成立。設(shè)，即當(dāng)時(shí)，總成立。依拋物線的特征，將其定位，有，如圖1所示。圖1總結(jié)：在這道題中我們要抓住了拋物線的特征，由實(shí)數(shù)a的不等式組，將拋物線定位，再求解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數(shù)形結(jié)合的機(jī)會(huì)。例2. 已知 x +4y=4 表示的兩曲線有公共點(diǎn)，求半徑r的最小值和最大值。 (x-4)+ y=r解：將方程x +4y=4化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：。它表示中心在O(0，0)，長(zhǎng)半軸在x軸上且為2，短半軸為1的橢圓。而方程(x-4)+ y=r表示圓心在A(4,0)的同心圓系。如下圖所示，易見(jiàn)當(dāng)時(shí)兩曲線有公共點(diǎn)，即。420-2總結(jié)：通過(guò)例2，我們可以清楚地看到利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解二次曲線的交點(diǎn)問(wèn)題可以擺脫用判別式的困惑，從而減少運(yùn)算方面的麻煩。三、化歸思想化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問(wèn)題A經(jīng)過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的或者容易解決的問(wèn)題B，通過(guò)解決問(wèn)題B達(dá)到解決問(wèn)題A的方法。化歸的原則有化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、降維降次、標(biāo)準(zhǔn)化等。中學(xué)中主要用到的化歸思想有三種：一是數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，二是數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，三是形與形之間的轉(zhuǎn)化。1、數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化 數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的一種化歸形式，通過(guò)轉(zhuǎn)化可以使得原問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化、熟悉化，從而使問(wèn)題迎刃而解。在中學(xué)數(shù)學(xué)中很多化歸都是數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，例如變形所給出的方程求解，數(shù)學(xué)解法在于不斷將高層次的解法化歸為較低層次的解法，這就是我們常說(shuō)的把問(wèn)題“初等化”。 例：關(guān)于x的方程cosx+sinx+a=0在（0，）內(nèi)有解，求a的取值范圍。 分析：假設(shè)由題意把x看作未知數(shù)，那么那就是一個(gè)復(fù)合的方程，很難下手，但若考慮以sinx為未知數(shù)，再由1-cosx=sinx，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一元二次方程了，原問(wèn)題即可解決。所以由1-cosx=sinx，原式可化為：a=sinx-sinx-1即a=（sinx-）-。因?yàn)閤（0，），所以04的時(shí)候，就要分類(lèi)討論a的取值情況。1. 分類(lèi)討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，是高考的重難點(diǎn)。分類(lèi)討論的思想具有明顯的邏輯特點(diǎn)；分類(lèi)討論問(wèn)題一般涵蓋知識(shí)點(diǎn)較多，有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考察；解決分類(lèi)討論問(wèn)題，需要學(xué)生具有一定的分析能力和分類(lèi)技巧；分類(lèi)討論的思想與生產(chǎn)實(shí)踐和高等數(shù)學(xué)都緊密相關(guān)2. 分類(lèi)討論的思想本質(zhì)分類(lèi)討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”，從而增加了題設(shè)條件的解題策略3.運(yùn)用分類(lèi)思想的基本解題步驟確定討論對(duì)象和確定研究的區(qū)域；對(duì)所討論的問(wèn)題進(jìn)行合理的分類(lèi)（分類(lèi)時(shí)需要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級(jí)）；逐類(lèi)討論：即對(duì)各類(lèi)問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決；歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論4.明確分類(lèi)討論的想的原因，有利于掌握分類(lèi)討論的思想方法解決問(wèn)題，其主要原因有：由數(shù)學(xué)概念引起的分類(lèi)討論：如絕對(duì)值定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等等；由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類(lèi)討論：如偶次方根非負(fù)、對(duì)數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式兩邊同乘以實(shí)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等等；由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類(lèi)討論；由幾何圖形中點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置不確定引起的分類(lèi)討論；由參數(shù)的變化引起的分類(lèi)討論：某些含參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法；其他根據(jù)實(shí)際問(wèn)題具體分析進(jìn)行分類(lèi)討論，如排列、組合問(wèn)題，實(shí)際應(yīng)用題等5.分類(lèi)討論思想的類(lèi)型問(wèn)題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類(lèi)討論的；問(wèn)題中的條件是分類(lèi)給出的；解題過(guò)程不能統(tǒng)一敘述，必須分類(lèi)討論的；涉及幾何問(wèn)題時(shí)，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類(lèi)討論的如例1：解不等式. 分析：不等式含的絕對(duì)值中各代數(shù)式的零點(diǎn)分別為：-2、1、-1、3.因而可將實(shí)數(shù)分為，這五個(gè)小區(qū)間，分別討論、分類(lèi)求解。 解：（1）當(dāng)x-2時(shí)，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋?，x1.考慮到大前提 x-2 x-4. x1 (2) 當(dāng)-2x-1時(shí)，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋海?x1，考慮到大前提 -2x-1 無(wú)解. 0x1 (3) 當(dāng)-10，x-30，原不等式變?yōu)椋?，無(wú)解. (4) 當(dāng)10，x-30，原不等式變?yōu)椋海?，x2，考慮到大前提 1x32x3.， x2 （5）當(dāng)x3時(shí)，x+10，x-30，原不等式變?yōu)椋?，x1，考慮到大前提 x3 x3. x1，綜上，原不等式的解為.五、方程思想當(dāng)一個(gè)問(wèn)題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問(wèn)題。例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們常用的就是把現(xiàn)實(shí)生活中的一些問(wèn)題抽象為方程問(wèn)題；能根據(jù)實(shí)際情況檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，并且通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題請(qǐng)教，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與探索解決現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用題的方法；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并向?qū)W生滲透方程建模的數(shù)學(xué)思想；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。下面我們就用一個(gè)實(shí)際例子來(lái)了解如何應(yīng)用方程思想來(lái)解決問(wèn)題：例：某通訊器材商場(chǎng)，計(jì)劃用60000元從廠家購(gòu)進(jìn)若干部新型手機(jī)，以滿足市場(chǎng)需求、已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的手機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種型號(hào)手機(jī)每部1800元，乙種型號(hào)手機(jī)每部600元，丙種型號(hào)手機(jī)每部1200元。若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的手機(jī)共40部，并將60000元恰好用完，請(qǐng)你幫助商場(chǎng)計(jì)算一下如何購(gòu)買(mǎi)？解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種型號(hào)手機(jī)x部，乙種手機(jī)y部，丙種手機(jī)z部，根據(jù)題意得：x+y=40 解得：x=30 1800x+600y=60000 y=10 y+z=40 解得： y=-20 （舍去） 600y+1200z=60000 z=60 z+x=40 解得： x=20 1200z+1800x=60000 y=20答：該商場(chǎng)有兩種購(gòu)買(mǎi)方法：第一種是買(mǎi)甲種手機(jī)30部，乙種手機(jī)10部。第二種是買(mǎi)甲種手機(jī)20部，丙種手機(jī)20部。點(diǎn)評(píng)：在遇到這種題時(shí)，我們首先要簡(jiǎn)化背景材料，其次是把現(xiàn)實(shí)生活中的一些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解，最后是要注意求得的結(jié)果應(yīng)檢驗(yàn)其符合實(shí)際。六、類(lèi)比思想把兩個(gè)（或兩類(lèi)）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤蝾?lèi)似之處，那么就推斷它們?cè)谄渌矫嬉部赡苡邢嗤蝾?lèi)似之處。類(lèi)比是從特殊到特殊的思考方法，類(lèi)比得到的結(jié)論僅僅是一種猜想，可能正確也可能不正確。類(lèi)比的關(guān)鍵是尋找合適的類(lèi)比對(duì)象。類(lèi)比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較廣泛、如：數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間、相等于不等之間、有限與無(wú)限之間等各個(gè)方面都能應(yīng)用類(lèi)比的思想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究通常包括三個(gè)部分，一是通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分析與綜合提出符合現(xiàn)實(shí)情景的數(shù)學(xué)模型，二是由于數(shù)學(xué)的相對(duì)獨(dú)立性，數(shù)學(xué)模型可以提供大量的數(shù)學(xué)命題，遇上設(shè)定各種數(shù)學(xué)猜想，然后加以證明或否定，以尋求數(shù)學(xué)基本規(guī)律，三是將數(shù)學(xué)理論用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，求得進(jìn)一步發(fā)展，且一般而言，問(wèn)題的提出與解決常常是簡(jiǎn)歷在已有的知識(shí)體系和前人的工作基礎(chǔ)上，之后，通過(guò)不斷的探索和研究，進(jìn)一步的豐富和發(fā)展了人類(lèi)的知識(shí)體系，促使社會(huì)不斷進(jìn)步，而在探索和研究的過(guò)程中，人們?cè)谧杂X(jué)和不自覺(jué)的使用者類(lèi)比思想，因此強(qiáng)調(diào)類(lèi)比的學(xué)習(xí)是有意義的。下面我們通過(guò)一些例子來(lái)探討類(lèi)比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。平面與空間的類(lèi)比：把立體幾何知識(shí)與相關(guān)的平面幾何知識(shí)類(lèi)比，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的有效方法，同時(shí)也有利于化難為易，啟迪思維。如，關(guān)于勾股定理，可有幾個(gè)類(lèi)比：（1）長(zhǎng)、寬、高分別為p,q,r，對(duì)角線長(zhǎng)為d的長(zhǎng)方體中，有p+q+r=d，（2）長(zhǎng)方體中過(guò)一頂點(diǎn)的三個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為p,q,r,長(zhǎng)方體對(duì)角線為d，則有p+q+r=2d，（3）四面體交于一個(gè)頂點(diǎn)0三條棱兩兩互相垂直，與0相鄰的三個(gè)面的面積分別為A,B,C,與0相對(duì)的面的面積為D，則有：A+B+C=D上述類(lèi)比結(jié)論都是正確，通過(guò)