2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3拋物線2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程講義含解析新人教A版.docx

23.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P5659，思考并完成以下問(wèn)題 1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線？它的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線分別是什么？2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？分別是什么？1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離相等的點(diǎn)軌跡一定是拋物線()(2)拋物線y220x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,5)()答案：(1)(2)2拋物線x2y2的準(zhǔn)線方程是()AyByCx Dx答案：D3若拋物線y28x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(8,8) B(8，8)C(8，8) D(8，8)答案：C4已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(2,0)的距離和它到直線l：x2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)答案：y28x拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)M(6,6)；(2)焦點(diǎn)F在直線l：3x2y60上解(1)由于點(diǎn)M(6,6)在第二象限，過(guò)M的拋物線開(kāi)口向左或開(kāi)口向上若拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為y22px(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.拋物線的方程為y26x.若拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其方程為x22py(p0)，將點(diǎn)M(6,6)代入可得，362p6，p3，拋物線的方程為x26y.綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x或x26y.(2)直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0)，2，p4，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x.直線l與y軸的交點(diǎn)為(0，3)，即拋物線的焦點(diǎn)是F(0，3)，3，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212y.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y28x或x212y.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程注意當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論，也可以設(shè)y2ax或x2ay(a0)的形式，以簡(jiǎn)化討論過(guò)程活學(xué)活用1若拋物線y22px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p_，準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，p2，準(zhǔn)線方程為x1.答案：2x12拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22ax(a0)，點(diǎn)A(m，3)由拋物線的定義得|AF|5，又(3)22am，a1或a9.所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22x或y218x.拋物線定義的應(yīng)用典例(1)已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0()A1B2C4 D8(2)若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程解析(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因?yàn)閨AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01，故選A.答案A(2)解：由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)一題多變1變結(jié)論若本例(2)中點(diǎn)M所在軌跡上一點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離為2，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則|NF|2.又點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0)，所以由拋物線的定義得x02，解得x0.因?yàn)閥2x0，所以y0，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為或.2變結(jié)論若本例(2)中增加一點(diǎn)A(3,2)，其他條件不變，求|MA|MF|的最小值，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖，由于點(diǎn)M在拋物線上，所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|AN|3.當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，這時(shí)M的縱坐標(biāo)為2.可設(shè)M(x0,2)，代入拋物線方程得x02，即M(2,2)拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題(2)解決最值問(wèn)題在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問(wèn)題 拋物線的實(shí)際應(yīng)用典例某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米現(xiàn)有一貨船欲過(guò)此孔，該貨船水下寬度不超過(guò)18米，目前吃水線上部中央船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1 000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米若不考慮水下深度， 問(wèn)：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過(guò)該橋孔？為什么？解如圖所示，以拱頂為原點(diǎn)，過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系因?yàn)楣绊斁嗨?米，橋墩高出水面4米，所以A(10，2)設(shè)橋孔上部拋物線方程是x22py(p0)，則1022p(2)，所以p25，所以拋物線方程為x250y，即yx2.若貨船沿正中央航行，船寬16米，而當(dāng)x8時(shí)，y821.28，即船體在x8之間通過(guò)，B(8，1.28)，此時(shí)B點(diǎn)距水面6(1.28)4.72(米)而船體高為5米，所以無(wú)法通行又因?yàn)?4.720.28(米)，0.280.047，15071 050(噸)，所以若船通過(guò)增加貨物通過(guò)橋孔，則要增加1 050噸，而船最多還能裝1 000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過(guò)橋孔求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟活學(xué)活用如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x22py，則點(diǎn)(2，2)在拋物線上，代入可得p1，所以x22y.當(dāng)y3時(shí)，x26，所以水面寬為2米答案：2層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1拋物線y12x2上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為()A3B6C. D.解析：選C將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是x2y，因?yàn)?p，所以p.故到焦點(diǎn)的距離最小值為.2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線與圓(x3)2y216相切，則p的值為()A. B1C2 D4解析：選C拋物線y22px的準(zhǔn)線x與圓(x3)2y216相切，1，即p2.3若拋物線y22px(p0)上橫坐標(biāo)是2的點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離是3，則p()A1 B2C4 D8解析：選B拋物線的準(zhǔn)線方程為x，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，23，p2.4過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|3，則AOB的面積為()A. B.C. D2解析：選C焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，則由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2，直線AB的方程為y2(x1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x25x20，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以SAOB1(2).5已知雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：選D雙曲線的漸近線方程為yx，由于 2，所以，所以雙曲線的漸近線方程為yx.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以2，所以p8，所以拋物線方程為x216y.6已知拋物線C：4xay20恰好經(jīng)過(guò)圓M：(x1)2(y2)21的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：圓M的圓心為(1,2)，代入4xay20得a1，將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y24x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.答案：(1,0)x17已知拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a_.解析：根據(jù)拋物線的定義得15，p8.不妨取M(1,4)，則AM的斜率為2，由已知得21，故a.答案：8對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)其中滿足拋物線方程為y210x的是_(要求填寫(xiě)適合條件的序號(hào))解析：拋物線y210x的焦點(diǎn)在x軸上，滿足，不滿足；設(shè)M(1，y0)是y210x上一點(diǎn)，則|MF|116，所以不滿足；由于拋物線y210x的焦點(diǎn)為，過(guò)該焦點(diǎn)的直線方程為yk，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k2，此時(shí)存在，所以滿足答案：9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程解：法一：如圖所示，設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l：y，作MNl，垂足為N，則|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以拋物線方程為x28y，準(zhǔn)線方程為y2.由m28(3)24，得m2.法二：設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)為F.M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，故解得拋物線方程為x28y，m2，準(zhǔn)線方程為y2.10.如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車(chē)輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米(1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對(duì)稱(chēng)軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求該拋物線的方程；(2)若行車(chē)道總寬度AB為7米，請(qǐng)計(jì)算通過(guò)隧道的車(chē)輛限制高度為多少米(精確到0.1米)?解：如圖所示(1)依題意，設(shè)該拋物線的方程為x22py(p0)，因?yàn)辄c(diǎn)C(5，5)在拋物線上，所以該拋物線的方程為x25y.(2)設(shè)車(chē)輛高為h，則|DB|h0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以車(chē)輛通過(guò)隧道的限制高度為4.0米層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1設(shè)拋物線y28x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()A4B6C8 D12解析：選B由拋物線的方程得2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為426.2拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FPM為等邊三角形時(shí)，其面積為()A2 B4C6 D4解析：選D如圖，F(xiàn)PM是等邊三角形由拋物線的定義知PMl.在RtMQF中，|QF|2，QMF30，|MF|4，SPMF424.故選D.3設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，則C的圓心的軌跡為()A拋物線 B雙曲線C橢圓 D圓解析：選A法一：設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y0的距離為r.由兩圓外切，得圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離為r1，也就是說(shuō)，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y0的距離大1，故點(diǎn)C到點(diǎn)(0,3)的距離和它到直線y1的距離相等，符合拋物線的特征，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線法二：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，點(diǎn)A(0,3)，由題意得|CA|r1y1，y1，化簡(jiǎn)得yx21，圓心的軌跡是拋物線4經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，如果A，B在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，那么A1FB1為()A. B.C. D.解析：選C由拋物線的定義可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以O(shè)FA1OFB1，即A1FB1.5設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析：因?yàn)?，所以點(diǎn)F為ABC的重心，則A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的三倍，即xAxBxC3，所以|xA1xB1xC16.答案：66已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2y23a2(a0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線y28ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1|PF2|12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2a,0)，(2a,0)與拋物線的焦點(diǎn)重合，聯(lián)立拋物線與雙曲線方程x3a，而由|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，拋物線的方程為y28x，其準(zhǔn)線方程為x2.答案：x27.如圖，已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直于y軸，垂足為點(diǎn)B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)解：(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，于是45，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)由題意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，則直線FA的方程為y(x1)因?yàn)镸NFA，所以kMN，則直線MN的方程為yx2.解方程組得所以N.8設(shè)P是拋