固體電子論基礎.ppt

第五章 固體電子論基礎,特魯特認為:金屬中的價電子 電子氣體 同離子碰撞 達到熱平衡 電子移動 電流 電導,熱導. 洛倫茲認為:電子氣體服從麥克斯韋 玻爾茲曼統(tǒng)計. 經(jīng)典電子氣的理論計算結果: N個價電子,3N個自由度,總能量 ,只計算動能 , . 經(jīng)典物理困難:試驗值只有理論值的1%. 索末菲認為:電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計分布而遵守量子,統(tǒng)計分布Fermi-Dirac統(tǒng)計,從而計算出電子氣體 的 ,獲得了成功. 布洛赫和布里淵闡明了在周期場中運動的電子 的基本特征,為能帶理論的建立奠定了基礎. 近自由電子模型:自由電子+微擾 能帶 , 根據(jù)禁帶寬度的大小(金屬,絕緣體,半導體),5.1電子氣的能量狀態(tài),金屬中的價電子好比理想氣體,無相互作用. 取平均勢能為能量零點, . 電子逸出體外相當于在一定深度的勢阱中運動的粒子所具有的能量. 三維無限深勢阱中運動的粒子:,0,L,取箱內(nèi)勢能,其薛定諤狀態(tài)方程為:,兩邊同除 分離變量:,方程的解:,邊界條件:在勢箱中運動的電子.,只剩下正弦項,余弦項為零. A為歸一化常數(shù),電子能量: 推廣到無限個線度都是L的勢阱 各個勢阱相應位置波函數(shù)相等:,電子波函數(shù): 波函數(shù)歸一化: 電子能量:,電子動量: 電子速度: 駐波: 電子的平均動量,平均速度為零, 波矢在k空間,由一組量子數(shù) 表示. 為坐標的空間稱為波矢空間也叫k空間. 每個點代表一個狀態(tài).,軸相鄰的兩個代表點間的間距為 ,沿 軸相鄰點的間隔也是 . 因而k空間每個狀態(tài)的代表點占有體積: K空間單位體積含有的狀態(tài)點數(shù)目: 平面波狀態(tài)波矢 由一組量子數(shù) 確定, K空間: 為坐標軸的空間. 點:每個許可的狀態(tài)可用一個點來代表.,相鄰兩個代表點間距: 波矢空間每個狀態(tài)代表點占有的體積: K空間單位體積中含有狀態(tài)數(shù)目: 從 中含有的狀態(tài)數(shù): 每個 波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個電子,所以體積元中可容納的電子數(shù):,自由電子能量:,E,能級密度與能量關系， 能量越大， 也越大,.電子氣的費米能量 Fermi energy of electron gas,電子氣體中的粒子：電子，e 滿足：泡利不相容原理（Paulis exclusion principle） 服從費米狄拉克統(tǒng)計（Fermi-Dirac statistics） 電子處在能量為E狀態(tài)的幾率：,是費米能量，或者化學勢 意義：體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個電子所需要的自由能 是溫度和電子數(shù)的函數(shù) 當 意義：表示在費米能級 ,被電子填充的幾率和不被電子填充的幾率是相等的,費米分布函數(shù)f(E)在不同溫度時的圖像. (1)T=0 k絕對溫度,(2) (3)溫度上升,函數(shù)f(E)發(fā)生大變化的能量范圍變寬,但在任何情況,此能量范圍約為 求費米(Fermi)能級 根據(jù)能級密度:,和熱平衡時,電子處于能量為E的狀態(tài)的幾率: 以及能量EE+dE之間的電子數(shù) (1)當:,令 代表系統(tǒng)電子濃度, 求 數(shù)值估計,電子氣系統(tǒng)每個電子的平均動能 (2) 每個電子的平均動能, 的解釋:,即使在絕對零度,電子仍有相當大的平均能量。根 據(jù)熱力學溫度是平均動能的標志,T=0時,應該有 , 但是根據(jù)泡利不相容原理,每個狀態(tài)只 能容納兩個自旋方向相反的電子,因此在絕對零度 不可能所有的電子都填在最低能態(tài). 當 此時能量E大于 的能級可能有電子,能量小于,的能級可能是空的, 系統(tǒng)總電子數(shù)N. 第一項: 所以, 令,此為奇函數(shù),此為偶函數(shù),求 的關系: 在絕對溫度時系統(tǒng)的總電子數(shù):,當溫度升高時, 比 小, 金屬的費米能量:幾個幾十個 eV 費米溫度:,一般溫度下, 自由電子能級: 當 時, 等能面的半徑為:,物理意義(1)在絕對零度T=0k時,費米面以內(nèi)的狀態(tài)都被電子所占據(jù),球外沒有電子. (2) 時,費米球面半徑 ,在 范圍內(nèi)能上的電子被激發(fā)到 之上約 的范圍的能級.,5.3金屬中電子氣的熱容 The thermal capacity of electron gas in metal,洛倫茲自由電子論,N個自由電子,3N個自由度. 服從經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律: 試驗結果，電子比熱只有這個數(shù)值的百分之一. 索末菲認為:電子不遵守麥克斯韋-玻爾茲曼分 布,而是遵守費米-狄拉克分布. 自由電子構成電子氣,有N個自由電子.,每個電子平均能量:,:絕對零度每個電子平均能量.,每個的電子對熱容量的貢獻: 這是費米狄拉克統(tǒng)計方法計算的電子比熱結果.,只有費米面附近 范圍的電子受熱激發(fā)才躍遷到較高的能級. 每個電子的能量 之間的電子才能被激發(fā). 根據(jù)費米統(tǒng)計f(E)曲線可知,電子的能量范圍約為 附近的 . 受激發(fā)的電子數(shù)(下頁),每個電子具有熱能 每個電子的平均能量是: 每個電子對熱容的貢獻: 討論: (一)常溫:,說明對增加系統(tǒng)熱能有貢獻的電子僅占總電子數(shù)的一小部分.所以通常溫度下,金屬的比熱服從杜隆-珀替定律. 為了與試驗結果相比較,計算金屬沒摩爾中自由電子對熱容量的貢獻: 每個原子有Z個自由電子(價電子),常溫晶格對熱容量貢獻為: 電子對比熱貢獻很小. 當 電子氣與晶格振動對熱容量的貢獻之比:,只有當溫度很低時,才考慮電子對熱容量的貢獻. 二.溫度甚低: 金屬的摩爾熱容是兩部分之和: 截距r,斜率為b.,5.4功函數(shù)和接觸勢差,一.功函數(shù): 電子在勢阱內(nèi),勢阱深度為 ,費米能級為 電子離開金屬至少需要從外界得到 ： 稱脫出功當電子獲得能量 時，電子逸出金 屬，產(chǎn)生熱電子發(fā)射電流 發(fā)射電流密度 查孫杜師曼公式,二接觸電勢差： （）兩塊不同的金屬和接觸或用導線聯(lián)結會彼此帶電，產(chǎn)生不同的電勢 （）推導接觸電勢差：,每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)： 每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)： 如果，金屬逸出的電子數(shù)比金屬 多，金屬帶正電，金屬帶負電 荷V10,V20.附加靜電勢能：e V1, e V2. 發(fā)射的電子數(shù)分別變?yōu)椋?平衡時： ，由此得： 所以接觸電勢差： 此式表明：接觸電勢差來源于兩塊金屬的脫出功不同 脫出功表明：真空能級與費米能級之差 所以，接觸電勢差來源于兩塊金屬的費米能級不一樣高,電子從費米能級高的金屬流到費米能級低的金屬 達到平衡時，兩塊金屬的費米能級達到同一高度,.布洛赫波,晶體電子在規(guī)則排列的正離子勢場中運動，勢場具有晶格周期性 一維周期勢場： 在周期場中運動的電子必須滿足薛定諤方程： 布洛赫定理：,必定是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波，即可 以寫為 此種形式的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù) 證明布洛赫定理： 平移算符：,V(x),H(x)有周期性，于是： 波函數(shù)不是周期函數(shù)，只滿足： 現(xiàn)在將平移算符作用在薛定諤方程： 由此可知，,晶體有N個原胞，線度為L=Na,N個原胞的一維晶體就相當于首尾相連接的一個圓環(huán),有,周期為a的一維晶格，倒格子的周期是 倒格子的坐標： 平移算符對這兩個波函數(shù)有同樣的效果為了使K的取值范圍同算符的不同本征值一一對應，把K的范圍限