定積分的應用二.ppt

第十章 定積分的應用（二）,平面曲線的弧長與曲率,定積分在物理中的某些應用,如何應用定積分解決問題 ?,第一步 利用“分割（化整為零） , 代替（以曲代直或以常代變）” 求出局部量的近似值，即微分表達式,第二步 利用“ 求和（積零為整） , 取極限（無限累加） ” 求出整體量的精確值，即得積分表達式,這種分析方法成為微元法（又稱元素法）,微元的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,一、平面曲線的弧長,當折線段的最大,邊長 0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的. （見P247）,(證明略),則稱,定義：設(shè)平面曲線C由參數(shù)方程 （1） 給出。如果 與 在 上連續(xù)可微，且 與 不同時為零（即 ）， 則稱C為一條光滑曲線。（當曲線上每一點都具有切線且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動） 定理10.1 設(shè)曲線C由參數(shù)方程 (1) 給出。若C為一光滑曲線，則C是可求長的，且弧長為,(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(P249),(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分) :,因此所求弧長,(3) 曲線弧由極坐標方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分) :,(自己驗證),例1. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,下垂,懸鏈線方程為,例2. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,例3. 計算擺線,一拱,的弧長 .,解:,例4. 求阿基米德螺線,相應于 02,一段的弧長 .,解:,一、 變力沿直線所作的功,二、 液體的側(cè)壓力,三、引力問題,二、定積分在物理中的某些應用,四、慣性問題,一、 變力沿直線所作的功,設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動到,力的方向與運動方向平行,求變力所做的功 .,在其上所作的功微元,為,因此變力F(x) 在區(qū)間,上所作的功為,例1.,一個單,求電場力所作的功 .,解:,當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律電場力為,則功微元為,所求功為,說明:,位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) ,在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例2.,體,求移動過程中氣體壓力所,解:,由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從,點 a 處移動到點 b 處 (如圖),作的功 .,建立坐標系如圖.,由波義耳馬略特定律知壓強,p 與體積 V 成反比 , 即,功微元為,故作用在活塞上的,所求功為,力為,在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣,例3.,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐標系如圖.,在任一小區(qū)間,上的一薄層水的重力為,這薄層水吸出桶外所作的功(功微元)為,故所求功為,設(shè)水的密度為,一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m,面積為 A 的平板,二、液體側(cè)壓力,設(shè)液體密度為 ,深為 h 處的壓強:,當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,就涉及到側(cè)壓力問題.,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .,整張平板所受的壓力為 因為各點受力均等，所以平板一側(cè)所受壓力也為這個結(jié)果.,小窄條上各點的壓強,例4., 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.,解: 建立坐標系如圖.,所論半圓的,利用對稱性 , 側(cè)壓力微元,端面所受側(cè)壓力為,方程為,一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為,三、 引力問題,質(zhì)量分別為,的質(zhì)點 , 相距 r ,二者間的引力 :,大小:,方向:,沿兩質(zhì)點的連線,若考慮物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .,例5.,設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M,該棒對質(zhì)點的引力.,解: 建立坐標系如圖.,細棒上小段,對質(zhì)點的引力大小為,故垂直分力元素為,在,試計算,利用對稱性,棒對質(zhì)點引力的水平分力,故棒對質(zhì)點的引力大小為,棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為,說明:,2) 若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從 a 處,1) 當細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為,方向與細棒垂直且指向細棒 .,移到 b (a b) 處時克服引力作的功,則有,引力大小為,注意正負號,3) 當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,例6. 設(shè)星形線,上每一點處線密,度的大小等于該點到原點距離的立方,提示: 如圖.,在點O 處有一單,位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.,同理,故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的,引力大小為,四、轉(zhuǎn)動慣量 (補充),質(zhì)量為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,的質(zhì)點系,若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量 , 則需用積分解決 .,關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,例7., 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ;, 求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量 .,解: 建立坐標系如圖.,設(shè)圓盤面密度為 .,小圓環(huán)質(zhì)量,對應于,的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為,設(shè)有一個半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤 ,平行 y 軸的細條,關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量元素為,細條質(zhì)量:,故圓盤對y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為, 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標系如圖.,內(nèi)容小結(jié),(1) 先用微元分析法求出它的微分表達式 dQ,一般微元的幾何形狀有:,扇、片 等.,(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之.,1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:,2.定積分的物理應用:,變力作功 ,側(cè)壓力 ,引力, 轉(zhuǎn)動慣量等。,條、段、環(huán)、帶、,(99考研),思考與練習,提示: 作 x 軸如圖.,1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每,在提升過程中污泥,以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s ,問,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,將抓起污泥的抓斗由,抓起污,x 提升 dx 所作的功為,米重50N ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉,克服纜繩重:,抓斗升至 x 處所需時間 :,克服抓斗自重:,銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .,備用題,斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于,解: 選取坐標系如圖.,設(shè)斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊,則其方程為,問斜邊與水面交成的,故得唯一駐點,故此唯一駐點,即為所求.,由實際意義可知最大值存在 ,即,習題課,1. 定積分的應用,幾何方面 :,面積、,體積、,弧長、,表面積 .,物理方面 :,質(zhì)量、,作功、,側(cè)壓力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形狀 :,條、,段、,帶、,片、,扇、,環(huán)、,殼 等.,轉(zhuǎn)動慣量 .,定積分的應用,第六章,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,又,故在區(qū)域,2. 計算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點,分析曲線特點,3.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對稱性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成的面積等,故,4. 求拋物線,在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與,兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.,解: 設(shè)拋物線上切點為,則該點處的切線方程為,它與 x , y 軸的交點分別為,所指面積,且為最小點 .,故所求切線為,得 0 , 1 上的唯一駐點,5.,求曲線,圖形的公共部分的面積 .,解：,與,所圍成,得,所圍區(qū)域的面積為,設(shè)平面圖形 A 由,與,所確定 , 求,圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .,提示,選 x 為積分變量.,旋轉(zhuǎn)體的體積為,6.,若選 y 為積分變量, 則,7. 設(shè)非負函數(shù),曲線,與直線,及坐標軸所圍圖形,(1) 求函數(shù),(2) a 為何值時, 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體,解: (1),由方程得,面積為 2 ,體積最小 ?,即,故得,又,(2) 旋轉(zhuǎn)體體積,又,為唯一極小點,因此,時 V 取最小值 .,8.證明曲邊扇形,繞極軸,證: 先求,上微曲邊扇形,繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積,體積微元,故,旋轉(zhuǎn)而成的體積為,故所求旋轉(zhuǎn)體體積為,9. 求由,與,所圍區(qū)域繞,旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.,解: 曲線與直線的交點坐標為,曲線上任一點,到直線,的距離為,則,10. 半徑為 R , 密度為,的球沉入深為H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐標系如圖 .,則對應,上球的薄片提到水面上的微功為,提出水面后的微功為,現(xiàn)將其從水池中取出, 需做,微元體積,所受重力,上升高度,因此微功元素為,球從水中提出所做的功為,“偶倍奇零”,11. 設(shè)有半徑為 R 的半球形容器如圖.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深為,為h (0 h R ) 時水面上升的速度 .,(2) 設(shè)容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最,少應為多少 ?,解: 過球心的縱截面建立坐標系如圖.,則半圓方程為,設(shè)經(jīng)過 t 秒容器內(nèi)水深為h ,(1) 求,由題設(shè), 經(jīng)過 t 秒后容器內(nèi)的水量為,而高為 h 的球缺的體積為,半球可看作半圓