高等數(shù)學(xué)方明亮版課件14無窮小量與無窮大量.ppt

2019年6月29日星期六,1,第四節(jié) 無窮小量與無窮大量,第一章,到目前為止，,我們已經(jīng)闡明了數(shù)列與函數(shù)的極限,下面我們?cè)賮硌芯恳活惐容^簡(jiǎn)單但十分重要的函數(shù)，,即所謂的無窮小量,二、無窮大量（Infinitely Large Quantity）,一、無窮小量（Infinitely Small Quantity）,2019年6月29日星期六,2,一、無窮小量,當(dāng),定義1 若,時(shí) , 函數(shù),則稱函數(shù),例如 :,函數(shù),當(dāng),時(shí)為無窮小;,函數(shù),時(shí)為無窮小;,為,時(shí)的無窮小 .,需要指出的是，,（1）不要認(rèn)為無窮小量是一個(gè)很小很小的數(shù)；,（2）除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! ；,（3）一個(gè)函數(shù)是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢(shì),2019年6月29日星期六,3,其中 為,時(shí)的無窮小量 .,證:,當(dāng),時(shí),有,注：對(duì)自變量的其它變化過程類似可證 .,定理 1 ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 ),例如：,有,其中,2019年6月29日星期六,4,二、無窮大量,定義2 若任給 M 0 ,一切滿足不等式,的 x , 總有,則稱函數(shù),當(dāng),時(shí)為無窮大,使對(duì),若在定義中將 式改為,則記作,(正數(shù) X ) ,記作,總存在,2019年6月29日星期六,5,注意:,1. 按函數(shù)極限定義來說，,無窮大的函數(shù) f (x)的極限是不,存在的.,但為方便起見，,我們也說“函數(shù)的極限是無窮大” .,2. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).,3. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !,例如, 函數(shù),當(dāng),但,不是無窮大 !,2019年6月29日星期六,6,證: 任給正數(shù) M ,要使,即,只要取,則對(duì)滿足,的一切 x , 有,所以,例1 證明,思考題 證明,（習(xí)題14 1（3）,提示：,要使,即,就要,即,只要取,（其中M 3）,2019年6月29日星期六,7,定理2（無窮小與無窮大的關(guān)系）,若,為無窮大,為無窮小 ;,若,為無窮小, 且,則,為無窮大.,則,(自學(xué)),據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.,在自變量的同一變化過程中,說明:,2019年6月29日星期六,8,內(nèi)容小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;兩個(gè)定理.,2、幾點(diǎn)注意:,無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；,（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮