定義44設(shè)若有F上一組不全為零的數(shù)使得則稱(chēng)向量組線性相.ppt

定義4.4 設(shè) 若有F上一組不 全為零的數(shù) 使得 則稱(chēng)向量組 線性相關(guān).,4.3 向量組的線性相關(guān)性,定義4.5 一個(gè)向量組如果不線性相關(guān),就稱(chēng)之為線性無(wú)關(guān).,則稱(chēng) 線性無(wú)關(guān).,定義4.5 設(shè) 是一個(gè)n維向量組,如果 對(duì)于數(shù) 只要 就必有 那么就稱(chēng)向量組 線性無(wú)關(guān).,換言之,如果不存在一組不全為 零的數(shù) 使得,定義4.5又可以等價(jià)地定義如下：,例4.2 n維單位向量 線性無(wú)關(guān).,證明 若,則有,從而,即,例4.3(第131頁(yè)）,證明 齊次線性方程組(1)相當(dāng)于向量等式,(2),若 線性無(wú)關(guān),故只有 滿足方程組(1).,反之,若(1)只有零解,則僅當(dāng) 時(shí)(2)式才成立.,故 線性無(wú)關(guān).,推論 設(shè) 同以上定理. 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)(1)有非零解. 若(1)的 非零解為 ,則,定理4.4 設(shè) 是n個(gè)n維向量.當(dāng)行列式,時(shí),向量組 線性無(wú)關(guān).,例 討論以下向量組的線性相關(guān)性.,= (5, 2, 9), = (2, -1, -1), = (7, 1, 8).,1) = (1, 1, 1), = (1, 2, 1), = (1, 0, 0);,解 1)因?yàn)樾辛惺?所以 線性無(wú)關(guān).,有非零解,2)因?yàn)橐?為系數(shù)列向量的齊次線性方程組,例如,對(duì)于 中的向量 =(2, -1, 3, 1), =(4, -2, 5, 4) , =(2, -1, 4, -1),因?yàn)?所以 是 的一個(gè)線性組合.,定義4.6 向量 稱(chēng)為向量組 的一個(gè)線性組合,如果存在m個(gè)數(shù) ,使得 其中 稱(chēng)為組合系數(shù).此時(shí)也稱(chēng),線性表示.,又如 ，任一n維向量,向量 稱(chēng)為n維單位向量.,組合系數(shù)恰為 的各個(gè)分量，即,的線性組合，,定義4.7:,設(shè) 和 是向量空間中的兩個(gè)向量組. 如果每一個(gè) 都可以由 線性表示,而每一 也可以由 線性表示, 那么就說(shuō)這兩個(gè)向量組等價(jià).,向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性.,定理4.5 向量組 (m2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.,證明 必要性:若向量組 線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù) ,使得,因?yàn)?不全為零,所以其中至少有 一個(gè)不為零.不妨設(shè),則,即 是其余向量的線性組合.,充分性:若向量組 中至少有一個(gè)向 量是其余向量的線性組合,不妨設(shè),移項(xiàng),得,因?yàn)樯鲜街?的系數(shù)-10,所以-1, 不全為零,故