2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征學(xué)案新人教A版.doc

22.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標1.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標準差.2.理解用樣本的基本數(shù)字特征來估計總體的基本數(shù)字特征知識點一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(3)平均數(shù)：如果n個數(shù)x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù)2三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長方形的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，但是有偏差；(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和；(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點知識點二標準差、方差1標準差(1)平均距離與標準差標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)xi到的距離是|xi|(i1,2，n)，則用如下公式來計算標準差：s(2)計算標準差的步驟求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；求每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi(i1,2，n)；求(xi)2(i1,2，n)；求s2(x1)2(x2)2(xn)2；求s，即為標準差2方差標準差的平方s2叫做方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中，xi(i1,2，n)是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，是樣本平均數(shù)題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單運用例1某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法解(1)平均數(shù)是：150015005912091(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元(2)新的平均數(shù)是1500150017883288(元)，新的中位數(shù)是1500元，新的眾數(shù)是1500元(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平反思與感悟1.眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢，當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題.2.在求平均數(shù)時，可采用新數(shù)據(jù)法，即當所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的左右擺動時，用簡化公式：a.跟蹤訓(xùn)練1在一次中學(xué)生田徑運動會上，參加男子跳高的17名運動員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)解在17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(1.5021.6031.901)1.69(m)答17名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m,1.69m.題型二平均數(shù)和方差的運用例2甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又ss，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定反思與感悟1.極差、方差與標準差的區(qū)別與聯(lián)系：數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述(1)極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，它反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感(2)方差或標準差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度通常用標準差，即樣本方差的算術(shù)平方根，是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離2在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，質(zhì)量越穩(wěn)定跟蹤訓(xùn)練2某化肥廠有甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下(單位：kg)：甲：10210199981039899乙：110115908575115110(1)這種抽樣方法是哪一種方法？(2)試計算甲、乙兩個車間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差，并說明哪個車間產(chǎn)品比較穩(wěn)定解(1)采用的抽樣方法是：系統(tǒng)抽樣(2)甲(10210199981039899)100；乙(110115908575115110)100；x(102100)2(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99100)2(4114941)3.43；s(110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110100)2(100225100225625225100)228.57.所以ss，故甲車間產(chǎn)品較穩(wěn)定題型三頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率121,123)123,125)125,127)127,129)129,131合計(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)解(1)分組頻數(shù)頻率121,123)20.1123,125)30.15125,127)80.4127,129)40.2129,13130.15合計201(2)頻率分布直方圖如下：(3)在125,127)中的數(shù)據(jù)最多，取這個區(qū)間的中點值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126，事實上，眾數(shù)的精確值為125.圖中虛線對應(yīng)的數(shù)據(jù)是1252126.25，事實上中位數(shù)為125.5.使用“組中值”求平均數(shù)：1220.11240.151260.41280.21300.15126.3，平均數(shù)的精確值為125.75.反思與感悟1.利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征：(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊中點的橫坐標(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖面積相等(3)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和2利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計值，與實際數(shù)據(jù)可能不一致跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績解(1)由圖可知眾數(shù)為65，又第一個小矩形的面積為0.3，設(shè)中位數(shù)為60x，則0.3x0.040.5，得x5，中位數(shù)為60565.(2)依題意，平均成績?yōu)?50.3650.4750.15850.1950.0567，平均成績約為67.分類討論思想例4某班有四個學(xué)習(xí)小組，各小組人數(shù)分別為10,10，x,8，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分析由于x未知，因此中位數(shù)不確定，需討論解該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1010x8)(28x)，中位數(shù)是這4個數(shù)按從小到大的順序排列后處在最中間兩個數(shù)的平均數(shù)(1)當x8時，原數(shù)據(jù)從小到大排序為x,8,10,10，中位數(shù)是9，由(28x)9，得x8，符合題意，此時中位數(shù)是9；(2)當8x10時，原數(shù)據(jù)從小到大排序為8，x,10,10，中位數(shù)是(x10)，由(28x)(10x)，得x8，與8x10矛盾，舍去；(3)當x10時，原數(shù)據(jù)從小到大排序為8,10,10，x，中位數(shù)是10，由(28x)10，得x12，符合題意，此時中位數(shù)是10.綜上所述，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9或10.解后反思一組數(shù)據(jù)按從小到大排列，中間一個(或中間兩項的平均數(shù))為中位數(shù)當題目中含有參數(shù)，且參數(shù)的不同取值影響求解結(jié)果時，需對參數(shù)的取值分類討論1下列選項中，能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是()A平均數(shù)B中位數(shù)C方差D眾數(shù)答案C解析由方差的定義，知方差反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度2一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于()A21B22C20D23答案A解析根據(jù)題意知，中位數(shù)22，則x21.3一組樣本數(shù)據(jù)a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x25x40的兩根，則這個樣本的方差是()A3B4C5D6答案C解析x25x40的兩根是1,4.當a1時，a,3,5,7的平均數(shù)是4；當a4時，a,3,5,7的平均數(shù)不是1.所以a1，b4，則方差為s25.4一次選拔運動員的測試中，測得7名選手中的身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為x，則x等于()A5B6C7D8答案D解析由題意知，101103x8977，解得x8.5某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為_；(2)命中環(huán)數(shù)的標準差為_答案(1)7(2)2解析(1)7.(2)s2(77)2(