信息10級1班朱文亮畢業(yè)論文(定稿)

共14頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文 第14頁反應(yīng)擴散捕食-食餌模型的全局漸近穩(wěn)定性分析 朱文亮 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計算科學(xué)專業(yè)2010級1班摘要：本文結(jié)合數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的捕食模型進行探討，主要是在經(jīng)典三種群Lotka-Volterra食物鏈模型的基礎(chǔ)上，加上時滯性因素，探討模型解的全局漸進穩(wěn)定性。在分析與證明過程中主要用到一些迭代知識與比較定理等。關(guān)鍵詞：全局漸進穩(wěn)定性；時滯性；Lotka-Volterra食物鏈模型1.引言在人類自然科學(xué)中，生態(tài)學(xué)是非常重要的一部分。生態(tài)學(xué)的研究對地球環(huán)境以及人類的生存都至關(guān)重要。特別是近些年，人類濫砍濫伐，破壞生態(tài)的現(xiàn)象特別嚴(yán)重，怎樣更好地利用生態(tài)學(xué)知識保護自然，保護我們共同的家園，是目前我們亟需解決的問題之一。研究生態(tài)學(xué)一般和其他學(xué)科相交叉，而生態(tài)學(xué)和數(shù)學(xué)交叉產(chǎn)生的數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)又是研究生態(tài)學(xué)非常重要且不可或缺的一部分。數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)在16世紀(jì)開始萌芽，但主要成果是在20世紀(jì)完成的。在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中有一個模型非常重要，那就是捕食模型。在自然界，到處都是食物鏈的存在，研究捕食模型是研究生態(tài)學(xué)的重要組成部分。在國內(nèi)外，研究捕食模型的著作也層出不窮。在本文中，主要對模型 (1.1)運用比較原理和單調(diào)迭代方法證明平衡解的全局漸近穩(wěn)定性。這是一個三種群捕食模型，在模型中， 分別表示食餌、中間捕食者、捕食者的種群密度。三個種群為捕食關(guān)系，但是，它們是單向捕食，中間捕食者捕食食餌，捕食者捕食中間捕食者，并且，它們分別只捕食一種食物。在模型中，表示拉普拉斯算子，=。（i=1,2,3）分別表示三種群的擴散系數(shù)。表示食餌的內(nèi)稟增長率，表示中間捕食者、捕食者的死亡率。由于，中間捕食者只捕食食餌，捕食者只捕食中間捕食者，所以當(dāng)食餌的密度為零時，中間捕食者會減少，中間捕食者為零時，捕食者只會減少。模型中的（i=1,2,3）分別表示三種群自身的密度制約。分別表示中間捕食者的捕食行為對食餌種群密度的影響以及捕食者的捕食行為對中間捕食者密度的影響。分別表示食餌的種群密度對中間捕食者種群增長的影響以你中間捕食者的密度對捕食者種群增長的影響。常數(shù)表示相應(yīng)的生長時滯，也即物種從出生到成年（具有捕食能力）所需要的時間。模型中項表示中間捕食者從出生到具有捕食食餌的能力所需要的時間為;項表示中間捕食者只捕食成年的食餌，而食餌從出生到成年所需要的時間為；項表示捕食者只捕食成年的中間捕食者，從出生到成年所需要時間為.此外在模型中是外法向量. 對于=0，即沒有時滯的模型的解的存在性以及漸進性質(zhì)的研究已經(jīng)相當(dāng)廣泛，本文則主要研究具有時滯的模型（1.1）的解的存在性以及唯一性、解的全局漸進穩(wěn)定性。首先，我們先探究解的存在唯一性。2.三種群捕食模型解的存在唯一性為了求得解的存在唯一性，我們首先給出正性定理（參見1）。定理2.1 設(shè)且滿足下面不等式組： (2.1)其中如果對于成立，并且當(dāng)時，那么，.很明顯，系統(tǒng)（1.1）是（2.1）的特殊形式，所以我們可以得到下面的推論：推論2.1 系統(tǒng)（1.1）的初值為非負(fù)，則它的任一解非負(fù)為了證明解的存在唯一性，我們需要用到耦合上下解的方法，所以首先我們引入以下定義：定義2.1 一對非負(fù)函數(shù)成為系統(tǒng)（1.1）的耦合上解和下解，如果在上成立，并且滿足下面不等式組： (2.2)引理2.1 設(shè)是模型（1.1）在上的一組上下解，則系統(tǒng)（1.1）有唯一全局非負(fù)解，并且在上成立。引理的證明參見1中引理2.3的證明.如果耦合的上下解在內(nèi)都成立，即與系統(tǒng)（1.1）中的無關(guān)，則我們可以令則（2.2）中的不等式組可以寫成下面的形式： (2.3)根據(jù)引理2.1，我們可得出如下推論：推論2.2 設(shè)是一對非負(fù)向量，其滿足和（2.3）中的不等式組，則如果在上成立，則系統(tǒng)（1.1）有唯一非負(fù)全局解，我們設(shè)全局解為，則在上.根據(jù)以上引理和推論，我們可以得出如下定理：定理2.2 對于任意非負(fù)初始函數(shù)，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解，其滿足，其中 .證明 我們可以設(shè)，（i=1,2,3）,則，并且不等式組（2.3）成立，所以根據(jù)推論2.2，我們得出是（1.1）的耦合上下解，系統(tǒng)（1.1）存在唯一的全局非負(fù)解 . 3.模型的全局漸近穩(wěn)定性 我們先來介紹一些已有結(jié)果.我們研究（1.1）解的全局漸進穩(wěn)定性，先對相應(yīng)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解進行探討。系統(tǒng)（1.1）的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解由下面系統(tǒng)求出。 (3.1)系統(tǒng)（3.1.1）有平凡的非負(fù)解（0,0,0）和解（）.如果令,則由得出，系統(tǒng)有非負(fù)解：.不過由于得 (3.2)當(dāng)（3.2）不成立時，即系統(tǒng)（3.1）解為（）.當(dāng)并且條件 (3.3)成立時，系統(tǒng)（3.1）有正平衡解：.其中 (3.4) 從生物學(xué)意義來講，在本文中我們只討論（1.1）的正平衡解的全局漸近穩(wěn)定桿性.在1,4和5中已經(jīng)分別證明了如下結(jié)果：引理3.1 設(shè)為（1.1）的唯一非負(fù)解，如果，有條件（3.3）和 (3.5)成立，則當(dāng)時收斂于，也即正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.其中初始函數(shù) 滿足 ， ，i=1,2,3.常數(shù)，滿足（i=1,2,3)， (3.6)引理3.2 假設(shè)（3.5）成立并有 (3.7)則對于任意的非負(fù)初始函數(shù)，當(dāng)時（1.1）中相應(yīng)的非負(fù)解時收斂于，即正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.在本文中，我們應(yīng)用單調(diào)迭代的方法證明（1.1）的正平衡解是全局漸近穩(wěn)定的.首先，給出我們的結(jié)果：定理3.1 假設(shè)下面條件成立（H1）（H2） (H3) (H4) (H5)則對任意滿足的非負(fù)初值系統(tǒng)（1.1）的正常數(shù)平衡解是全局漸進穩(wěn)定的.證明：因為容易得到對有成立.設(shè)為系統(tǒng)（1.1）具有上面初值的任意正解。定義只需證明對于某一從系統(tǒng)（1.1）的第一個方程放大后可得由拋物系統(tǒng)比較原理得于是對充分小的，存在一個使得 (3.8)由（3.8）和系統(tǒng)（1.1）第二個方程右端放大可得 由拋物系統(tǒng)比較原理可得由于該不等式對任意小的都成立，所以有.因為所以由分子大于0可知下式成立 (3.9)存在一個，使得 (3.10)由（3.10）和系統(tǒng)第三個方程右端放大可得 由拋物系統(tǒng)比較原理可得.由任意小知道 .因為，所以由分子大于0可知(H1)成立.存在一個使得對于任意小的，有 (3.11)由（3.10）和系統(tǒng)（1.1）的第一個方程縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理可知，由于任意小正數(shù)，所以有由于，則分子大于，可求得(H2)成立.同樣當(dāng)(H2)時有對于任意小，有.存在，使得 (3.12)由（3.11）、（3.12）和系統(tǒng)（1.1）第二個方程右端縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理知當(dāng)條件(H3) 成立時，對任意小，有.則.于是，對充分小，存在一個使得 (3.13)由3.12和系統(tǒng)（1.1）第三個方程右端縮小得 由拋物系統(tǒng)比較原理知.當(dāng)條件(H4) 成立時，對任意小，有.則由的任意性得 .于是，對充分小的，存在一個使得 (3.14)使用和上面類似的分析，我們可以得出下面結(jié)果.存在一個使得 存在一個使得 存在一個使得 存在一個使得 存在一個使得 存在一個使得 繼續(xù)上面的過程，我們可以得到兩個序列使得當(dāng)時有下面的不等式組成立： (3.15)顯然有 . (3.16)由（3.15)可得 (3.17)注意到，并有(H5)成立，則從（3.17）可以導(dǎo)出 于是，序列單調(diào)遞減.因此，存在.令，則從（3.17）得 . (3.18)因此，從（3.15）可得 (3.19)從（3.18）和（3.19）得出 因此有 .所以我們可以得到下面的結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)條件(H1)、(H2)、(H3)、(H4)、(H5)成立時，系統(tǒng)（1.1）的正常數(shù)平衡解是全局漸進穩(wěn)定的.致謝：本論文是在馬戰(zhàn)平老師的悉心指導(dǎo)下完成的。本論文本來我并不熟悉，多虧了馬老師的悉心教導(dǎo)，我慢慢對論文有了一定認(rèn)識，并完成論文。在開始階段，由于對偏微分方程的知識掌握的并不牢固，所以遇到很大困難。馬老師從基礎(chǔ)方法開始講起，逐漸引導(dǎo)，才得以是論文順利完成。馬老師對教學(xué)與學(xué)術(shù)的一絲不茍深深打動與教育了我，在此，我要向馬老師表示最衷心的感謝。大學(xué)的時光匆匆而過，在這里有陪伴我的同學(xué)，有在生活上知道我們的輔導(dǎo)員、班主任，更有對我們進行諄諄教導(dǎo)的老師們。他們不僅給了我們知識，也教會了我們學(xué)習(xí)的態(tài)度。在此我也要向陪伴我度過大學(xué)四年的老師與同學(xué)們，因為有你們，我的大學(xué)才變得多彩。參考文獻1林支桂 ,三種群捕食-被捕食模型中具時滯的拋物系統(tǒng)J.數(shù)學(xué)學(xué)報.2004,47(3),559-570.2郭改慧，李艷玲，帶B-D反應(yīng)項的捕食食餌模型的全局分支及穩(wěn)定性J.應(yīng)用數(shù)學(xué)報. 2008,31(2),220-230. 3魏茜，李艷玲，一類捕食者-食餌模型的全局分歧和穩(wěn)定性J.西北師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）. 2009，45(6),13-18. 4Y. Chen, M. Wang, Asymptotic behavior of solutions of a three-species predator prey model with diffusion andtime delaysJ.Appl. 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