數(shù)學(xué)建模格式

實驗題目（黑體、小二）班級： 姓名： 學(xué)號： 日期： 一、實驗?zāi)康模ê隗w、四號）1、所解決的問題實際背景；（宋體、小四）2、求問題的數(shù)值解的必要性。二、基本理論及背景1、經(jīng)典理論的解決方案和局限性；2、數(shù)值解的算法和理論推導(dǎo)；3、待解決的具體問題。三、算法設(shè)計及實現(xiàn)1、程序的流程及各程序模塊之間的層次關(guān)系；2、程序文件及功能清單。四、實驗步驟1、實驗的具體步驟；2、輸出結(jié)果和初步分析說明。五、使用說明實驗結(jié)果分析1、調(diào)試中遇到的問題及對問題的解決方法；2、算法的復(fù)雜度或測量結(jié)果的精確度分析。六、算法的改進(jìn)和實驗總結(jié) 1、算法進(jìn)一步的發(fā)展和更復(fù)雜的理論介紹、改進(jìn)；2、和自己的實驗感想、經(jīng)驗總結(jié)。如何撰寫數(shù)學(xué)建模論文 兼談數(shù)學(xué)建模競賽答卷要求當(dāng)我們完成一個數(shù)學(xué)建模的全過程后，就應(yīng)該把所作的工作進(jìn)行小結(jié)，寫成論文。撰寫數(shù)學(xué)建模論文和參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模時完成答卷，在許多方面是類似的。事實上數(shù)學(xué)建模競賽也包含了學(xué)生寫作能力的比試，因此，論文的寫作是一個很重要的問題。 首先要明確撰寫論文的目的。數(shù)學(xué)建模通常是由一些部門根據(jù)實際需要而提出的，也許那些部門還在經(jīng)濟上提供了資助，這時論文具有向特定部門匯報的目的，但即使在其他情況下，都要求對建模全過程作一個全面的、系統(tǒng)的小結(jié)，使有關(guān)的技術(shù)人員（競賽時的閱卷人員）讀了之后，相信模型假設(shè)的合理性，理解在建立模型過程中所用數(shù)學(xué)方法的適用性，從而確信該模型的數(shù)據(jù)和結(jié)論，放心地應(yīng)用于實踐中。當(dāng)然，一篇好的論文是以作者所建立的數(shù)學(xué)模型的科學(xué)性為前提的。 其次，要注意論文的條理性。 下面就論文的各部門應(yīng)當(dāng)注意的地方具體地來作一些分析。 （一） 問題提出和假設(shè)的合理性 在撰寫論文時，應(yīng)該把讀者想象為對你所研究的問題一無所知或知之甚少的一個群體，因此，首先要簡單地說明問題的情景，即要說清事情的來龍去脈。列出必要數(shù)據(jù)，提出要解決的問題，并給出研究對象的關(guān)鍵信息的內(nèi)容，它的目的在于使讀者對要解決的問題有一個印象，以便擅于思考的讀者自己也可以嘗試解決問題。歷屆數(shù)學(xué)建模競賽的試題可以看作是情景說明的范例。 對情景的說明，不可能也不必要提供問題的每個細(xì)節(jié)。由此而來建立數(shù)學(xué)模型還是不夠的，還要補充一些假設(shè)，模型假設(shè)是建立數(shù)學(xué)模型中非常關(guān)鍵的一步，關(guān)系到模型的成敗和優(yōu)劣。所以，應(yīng)該細(xì)致地分析實際問題，從大量的變量中篩選出最能表現(xiàn)問題本質(zhì)的變量，并簡化它們的關(guān)系。這部分內(nèi)容就應(yīng)該在論文的“問題的假設(shè)”部分中體現(xiàn)。由于假設(shè)一般不是實際問題直接提供的，它們因人而異，所以在撰寫這部分內(nèi)容時要注意以下幾方面： （1） 論文中的假設(shè)要以嚴(yán)格、確切的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，使讀者不致產(chǎn)生任何曲解。 （2） 所提出的假設(shè)確實是建立數(shù)學(xué)模型所必需的，與建立模型無關(guān)的假設(shè)只會擾亂讀者的思考。 （3） 假設(shè)應(yīng)驗證其合理性。假設(shè)的合理性可以從分析問題過程中得出，例如從問題的性質(zhì)出發(fā)作出合乎常識的假設(shè)；或者由觀察所給數(shù)據(jù)的圖象，得到變量的函數(shù)形式；也可以參考其他資料由類推得到。對于后者應(yīng)指出參考文獻(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容。 （二） 模型的建立 在作出假設(shè)后，我們就可以在論文中引進(jìn)變量及其記號，抽象而確切地表達(dá)它們的關(guān)系，通過一定的數(shù)學(xué)方法，最后順利地建立方程式或歸納為其他形式的數(shù)學(xué)問題，此處，一定要用分析和論證的方法，即說理的方法，讓讀者清楚地了解得到模型的過程上下文之間切忌邏輯推理過程中躍度過大，影響論文的說服力，需要推理和論證的地方，應(yīng)該有推導(dǎo)的過程而且應(yīng)該力求嚴(yán)謹(jǐn)；引用現(xiàn)成定理時，要先驗證滿足定理的條件。論文中用到的各種數(shù)學(xué)符號，必須在第一次出現(xiàn)時加以說明?？傊?，要把得到數(shù)學(xué)模型的過程表達(dá)清楚，使讀者獲得判斷模型科學(xué)性的一個依據(jù)。 （三）模型的計算與分析 把實際問題歸結(jié)為一定的數(shù)學(xué)問題后，就要求解或進(jìn)行分析。在數(shù)值求解時應(yīng)對計算方法有所說明，并給出所使用軟件的名稱或者給出計算程序（通常以附錄形式給出）。還可以用計算機軟件繪制曲線和曲面示意圖，來形象地表達(dá)數(shù)值計算結(jié)果?；谟嬎憬Y(jié)果，可以用由分析方法得到一些對實踐有所幫助的結(jié)論。有些模型（例如非線性微分方程）需要作穩(wěn)定性或其他定性分析。這時應(yīng)該指出所依據(jù)的數(shù)學(xué)理論，并在推理或計算的基礎(chǔ)上得出明確的結(jié)論。 在模型建立和分析的過程中，帶有普遍意義的結(jié)論可以用清晰的定理或命題的形式陳述出來。結(jié)論使用時要注意的問題，可以用助記的形式列出。定理和命題必須寫清結(jié)論成立的條件。 （三） 模型的討論 對所作的數(shù)學(xué)模型，可以作多方面的討論。例如可以就不同的情景，探索模型將如何變化。或可以根據(jù)實際情況，改變文章一開始所作的某些假設(shè)，指出由此數(shù)學(xué)模型的變化。還可以用不同的數(shù)值方法進(jìn)行計算，并比較所得的結(jié)果。有時不妨拓廣思路，考慮由于建模方法的不同選擇而引起的變化。 通常，應(yīng)該對所建立模型的優(yōu)缺點加以討論比較，并實事求是地指出模型的使用范圍。 除正文外，論文和競賽答卷都要求寫出摘要。我們不要忽視摘要的寫作。因為它會給讀者和評卷人第一印象。摘要應(yīng)把論文的主要思路、結(jié)論和模型的特色講清楚，讓人看到論文的新意。 語言是構(gòu)成論文的基本元素。數(shù)學(xué)建模論文的語言與其他科學(xué)論文的語言一樣，要求達(dá)意、干練。不要把一句句子寫得太長，使人不甚卒讀。語言中應(yīng)多用客觀陳述句，切忌使用你、我、他等代名詞和帶主觀意向的語句。在英語論文寫作中應(yīng)多用被動語態(tài)，科學(xué)命題與判斷過程一般使用現(xiàn)在時態(tài)。 最后，論文的書寫和附圖也都很重要。附圖中的圖形應(yīng)有明確的說明，字跡力求端正。有條件的，最好能把文章用計算機打印出來。臺階設(shè)計中的建模分析 一問題的提出 臺階，樓梯是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷模焯煨凶叩慕ㄖY(jié)構(gòu)，良好的臺階設(shè)計不僅可以節(jié)省上樓時間，也可最大限度的減少體力消耗。然而，不合理的設(shè)計會使人們上樓時既費時又費力，甚至還會發(fā)生危險。所以我們不禁要問，怎樣設(shè)計臺階長度寬度比才能達(dá)到最優(yōu)呢？(下文主要針對上樓過程給出討論，下樓的討論在最后涉及) 作為解決問題的第一步，我們首先來證明這個最佳設(shè)計的存在性，下面兩張圖為兩種不同類型的臺階 保持總高度，臺階寬度，體力消耗一定時令臺階高度h充分小，則臺階數(shù)目會充分大，最終上樓時間t趨于無窮。因此我們是不會去登此樓梯的。再令h充分大，而人腿運動能力是有限的，由于每一步做功的增加勢必會造成登樓時間的集聚增長，這種h我們同樣無法接受。由于各種狀態(tài)的連續(xù)變化，我們就可以斷定，存在這樣一個h，使得t最小。同理，臺階長度r很小時，人無法站穩(wěn)，r充分大時，時間t趨于無窮。所以我們便有充足理由相信最優(yōu)的r，h皆存在。分析到這里只是依賴于感性的認(rèn)識與幾何的直觀，下面我們將用數(shù)學(xué)的觀點給出盡可能合理的解答。 二問題的分析 符號表示： M 人體質(zhì)量 g 重力加速度 l 人的小腿長度 v 人的正常行走速度 F 上樓過程中腿部力量 H 樓梯總體高度 h 臺階高度 r 臺階長度 P 人體登上高度H的樓梯時最舒適的輸出功率 C 人的腳長 要細(xì)致而全面的分析此問題，可以將人登樓的全過程分解處理，將上樓的每一步設(shè)為一個單元，那么可以粗略的繪制出人體運動過程的簡圖。并考慮到上樓是個非常復(fù)雜的人體動力學(xué)過程，為了抓住主要矛盾并簡化問題，一些人為的假設(shè)將是必要的。 模型的假設(shè)：1，人每走一步腳的前端接觸到B點。 2，人的所有重量可以看成質(zhì)點并集中在O（與集中在N是等價的），其他部位沒有重量 3，每一步邁出同樣的距離（臺階寬），并且連續(xù)前進(jìn)。 4，人體上升的力量全部來自支撐腿的力F，F(xiàn)與h有關(guān)且在h取定的情況下F大小不變且始終保持ON方向。 5，上臺階過程做功只在DN段，并且人總是以所謂最舒適的感覺（P恒定）上樓。 6，臺階寬度大于等于腳長 運動的分解：可以將登上臺階看為兩個運動過程 1.（由M到N）人若想登上臺階，向前傾斜重心將是第一步，畢竟人是前進(jìn)的。要在D點發(fā)力，將M點移動到N點將是合理的。而且此過程與人在平地行走時的狀態(tài)非常接近（這里將它們等同看待，速度也為v，v的方向近似水平）。為了簡化計算，可以令此段做功充分小從而可以忽略（因為我們的主要矛盾是上樓，此段做功的變化也是相當(dāng)于平地上走5米與10米的區(qū)別，而這種差別在正常人看來是微乎其微的） 2.（N點豎直向上達(dá)到直立并回到初始狀態(tài)）在此過程中所做的功為F的貢獻(xiàn)（這里腿部的屈申很類似課堂上鉛球投擲模型中球的出手過程，因為當(dāng)時的主要矛盾為球的初速度，所以可以將其近似看做線性關(guān)系，然而此時的重點是這個屈申過程，因此假設(shè)與模型機理自然不同）。隨后根據(jù)生物課所學(xué)知識，可以知道，人腿的運動都是靠肌肉細(xì)胞的伸縮變化產(chǎn)生伸縮力的（伸縮方向只能沿腿的方向），因此這里可以將所有肌肉的發(fā)力等效看為一個力，方向總是沿著腿的方向，大小恒定（實際上F要隨著角度的變化而變化，為了簡化問題可以將其設(shè)為恒定）。由于考慮到人在2過程上升時做的功實際為非保守力所做功（并不是w=mgh），一個很簡單的直觀，就是同樣登上兩米的高度我們分10步與分2步腿部做功一定不同。造成這種差異的根源在于腿的承重能力與發(fā)力方向角度的大小(也就是說臺階越高，我們所做的額外功越多)。所以要去用數(shù)學(xué)的觀點度量所謂“腿部做功”這個概念，假設(shè)4將是必要的。其次我們要去度量所謂“舒適”與“疲勞”的概念。通常，在短距離內(nèi)造成我們疲勞的主要原因?qū)嶋H為腿的運動強度過高，即功率P過大。這就使我們度量“舒適”成為可能。 三數(shù)據(jù)的獲得 行走速度v的測算：首先所謂“正常速度”就是一個模糊概念，但又是客觀存在的，為了盡可能得到人正常行走時的速度并要求誤差盡量的小，所以這里采用多次測量的方法。并且需要親自進(jìn)行實驗。恰好家附近的樓門口的地面由方磚鋪成，每塊磚為正方形，邊長為0.48米。這就為距離的測定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走，規(guī)定走過五塊磚時開始記時并規(guī)定這點為距離零點（為了將加速段去掉）。最終得到11組數(shù)據(jù) 距離(米) 時間（秒） 1 2.4 2.03 2 2.88 2.42 3 3.36 2.78 4 3.84 3.22 5 4.32 3.57 6 4.8 3.97 7 5.28 4.47 8 5.76 4.81 9 6.24 5.19 10 6.72 5.53 11 7.2 6.05 在matlab中進(jìn)行擬合得到下圖。一次多項式為y=0.012909+0.83186x所以算得自己的正常行走速度為1.202m/s 體重53公斤，小腿長0.47米，腳長0.26米，都是可以精確測量的。唯有功率P未知，但由于我們假定它的大小不變，所以在隨后的模型求解中可以根據(jù)關(guān)系式將其反解出。 四模型的建立 由假設(shè) 臺階總數(shù)即為 （有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)時如 則可近似看為取每一小段時間的 倍。這種誤差是可以被忽略的） 設(shè) 那么過程一的時間為 且滿足關(guān)系 代入可得過程一的總時間為 過程二的總時間為 其中 為h,l,F,p的函數(shù)由于我們假設(shè)了M,N點有近似相同的高度。那么 是與x無關(guān)的函數(shù)。若令總時間 最小，一定要求x最小。所以可得 。我們得到結(jié)論臺階寬度應(yīng)設(shè)計為近似腳長的寬度。由此，我們得到如下A圖所示。并據(jù)此討論h的變化 由于我們先假設(shè)F大小恒定。若F能帶動人體上移，必要求Fy至少等于mg，那么在最省力的情況下，我們?nèi)?.此時我們已將F分解。因此N點運動到S點過程中要求F所做的功只需對Fx Fy分別求功即可。 我們將運動過程細(xì)致分析并放大為B圖 當(dāng)臺階高為h時Fy方向上的做功：設(shè)NNm的長度為變量m，當(dāng)Nm由N運動到S時。M由0h變化。計算得 用微元分析，當(dāng)m變化m時。 其中S（m）為Om豎制直方向上運動距離。 對m積分 2，當(dāng)臺階高為h時Fx方向上的做功： 微元分析，增加m，我們得到 兩邊同除m，并令m0。因此 其中S（m）為PmOm的長度。對m積分 由于我們假定的F為h的函數(shù)(h取定時大小恒定)。所以取 綜上我們得到上樓總時間 下面我們來由此式確定T的最小值，將參數(shù) P待定。 以上計算都可交給maple完成。計算過程如下 t:=m-sqrt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2); diff(t(m),m); e:=m-sqrt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)2)(1/2)*(-.4700000000+1/2*h-1/2*m)/0.47; int(e(m),m=0.h); wy:=h-(2*0.47*h-h2/2)/(4*0.47); F:=h-(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h); wx:=h- .4999999999*h-.2659574468*h2 由此，我們發(fā)現(xiàn)，Wx,Wy做功基本是一樣的。所以最終，總時間表示為 f:=h-H*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h2+.5*h-.2659574468*h2)+0.26*P)/(h*P*1.2); 而且根據(jù)如上結(jié)果我們可以觀察出人腿做功（Wx(h)+Wy(h)）與實際有效功Mgh之間的關(guān) 系隨h變化的過程圖。 其中紅線為人腿做的總功，黃線為有效功Mgh。這種變化也是符合我們感覺的，例如，隨h的增大，我們邁上臺階會感到越發(fā)的費力，h越大這種變化越明顯。 隨后進(jìn)行幾組實驗來確定P的近似取值。分別選取不同的樓梯，從下走到上按一般速率（不感到勞累），并記錄下經(jīng)過的時間。并根據(jù)假設(shè)與上式分別求得P，得到下表 次數(shù) 臺階數(shù) n 臺階高度 h 總高度H 時間 t 功率 P 1 20 0.17 3.4 18.11 142.34 2 18 0.15 2.7 14.83 140.49 3 25 0.14 3.5 18.92 133.09 4 16 0.18 2.88 15.06 144.31 5 20 0.16 3.2 16.87 146.18 6 22 0.17 3.74 18.87 152.94 7 20 0.15 3 15.79 148.92 8 18 0.16 2.88 14.91 149.79 9 16 0.17 2.72 15.10 134.85 經(jīng)實踐證明，P并沒有隨總高度H以及h的變化而發(fā)生太大變化，說明我們之前的假設(shè)是基本合乎情理的。這里取9次測量的平均值作為P，所以我們得到P=143.66. 我們在第一種情況下對T進(jìn)行分析。取H=3.4 f:=h-3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h2+.5*h-.2659574468*h2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2); plot(f(h),h=0.1.0.5); 由圖象，我們觀察到，確實存在這樣一個h使得總時間最少，也就是說任意給出某h下上樓的時間，就可以算得在此情況此功率P下,時間最小時h的理想高度。上圖中，從0.19到0.24米間減少的時間在0.2秒左右，而這種時間的優(yōu)化由于太?。?.2秒）以致于我們可以不去考慮（可以近似看為不變）。而時間迅速減少的階段在0.1到0.19段。那么為了使腿部用力盡量的小，我們不妨將h定在0.19米。 隨后我們要問，這種模型的可靠性如何，由于v P是粗略度量的，所以下面我們要對這兩個參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。 plot3d(f(h,v),h=0.1.0.5,v=1.1.1.3,axes=boxed); plot3d(f(h,p),h=0.1.0.5,p=140.154,axes=boxed); 從三維圖形可以觀察出，模型還是比較可靠的。這里沒有用老師上課應(yīng)用的靈敏分析方法是因為我只想直觀的表現(xiàn)出解對參數(shù)的連續(xù)依賴程度。僅僅用離散數(shù)據(jù)似乎是不直觀的。 到這里為止，已經(jīng)算得對于我來說，最佳的臺階高度應(yīng)該為0.19米左右，也就是說，這個高度可以最充分而有效的利用我的正常功率，使上樓總時間最短，而不致超過限度而感到疲勞。 這里順便說明一下下樓過程，人的下樓過程在短距離內(nèi)完全可以近似看為腿部做0功并完全由重力做功的過程。由于重力是保守力，那么下樓時間應(yīng)該于h近似無關(guān)。但是長時間下樓為何又使我們感到疲勞呢？原因也許是下樓時的緩沖用力。畢竟人不同于木塊和小球，過快的下降對腿部以及身體的沖擊造成人的不適感，因此腿部總要做一些功使其緩慢下降，平穩(wěn)著陸。 我在這里引入緩沖時間 這一變量并且 其中T為下樓實際總時間，L為臺階寬度，v為水平行走速度。顯然 便為緩沖(延遲)時間總和。對于大部分正常人，在短的距離下樓過程中，在h正常范圍內(nèi)(上文算得的范圍內(nèi))， 都可近似看為0。則我們只許討論上樓的過程即可。然而，是不是 可以永遠(yuǎn)被忽略呢？答案顯然是否定的。例如當(dāng)H很大時 就是H與h的函數(shù)了(H的影響不可忽略)，又如一些特殊人群老年人，殘疾人等等 便會相當(dāng)大，這時下樓這一過程就要單獨考慮了。 五模型的檢驗 由于這個以上數(shù)據(jù)的特殊性，便使模型過分特殊化了，畢竟臺階不是我一人走。然而自己是個正常人，即使考慮到眾多人參數(shù)的不確定性因素，變化也不會太大。 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，校園內(nèi)各臺階都是在0.16到0.2米之間變動，最低為科技樓前臺階，最高為四食堂前臺階。寬度都為近似腳的長度，說明模型的結(jié)論還是勉強可以的（雖不那么準(zhǔn)確）。這就相當(dāng)于對模型做了一定程度的檢驗（因為臺階的高度可以根據(jù)實踐進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，不適當(dāng)?shù)母叨纫欢o法存在的，或是被改造，或是在下一次建設(shè)中改進(jìn)） 進(jìn)一步，我們可以參考1999年6月1日起實施的建筑設(shè)計規(guī)范GB50096-1999的相關(guān)規(guī)定：“樓梯踏步寬度不應(yīng)小于0.26m，踏步高度不應(yīng)大于0.175m，坡度為33.94，接近舒適性標(biāo)準(zhǔn)?！倍渲械?.26一定是腳長，0.175便是最佳高度。（此結(jié)果也許是相關(guān)力學(xué)家與統(tǒng)計學(xué)家做出的結(jié)果，應(yīng)該是比較權(quán)威的數(shù)據(jù)） 誤差分析：從上面的檢驗可以看出，計算的結(jié)果與實際確實有著差異，計算的h偏大，造成這種偏差的原因我歸結(jié)為如下幾點 (1) 人的體重差異 (2) 身高以及腿長的差異 (3) 人的腳長差異 (4) 身體前傾的速度（這里取為行走速度，然而過程一，只是前傾過程，其速度一定要比行走速度大，可不易測量，因此誤差一定不可避免） (5) F隨腿的運動而變化的函數(shù)未精確知道（將涉及復(fù)雜的人體動力學(xué)，由于所學(xué)知識有限，為化繁為簡，只好假設(shè)其大小恒定。計算結(jié)果又無太大偏差，說明假設(shè)基本合理，但誤差同樣不可避免） (6) 人的正常功率的差異，例如：老年人與青壯年，專業(yè)運動員與普通人所能承受的運動量一定不同 因此如果能夠精確知道如上數(shù)據(jù)，有理由相信計算結(jié)果的誤差會非常之小。模型將會更加可靠。 六模型的意義 通過對此模型的分析，找到了F v P c L M 之間的大致關(guān)系。但也由此提出了一個問題，建筑設(shè)計規(guī)范GB50096-1999中的規(guī)定是否太片面呢？其中數(shù)據(jù)0.175米一定是一個統(tǒng)計平均值。在某些特定場合一定要再進(jìn)行進(jìn)一步明確的規(guī)定，例如：中學(xué)校舍與大學(xué)校舍臺階高度可以等高。然而幼兒園內(nèi)，養(yǎng)老院內(nèi)，康復(fù)中心內(nèi)的臺階就一定要另做規(guī)定。否則會由于臺階高度的不適當(dāng)導(dǎo)致危險的發(fā)生。如果我們得到相關(guān)數(shù)據(jù)便可根據(jù)模型，分別計算最適高度，從而將建筑設(shè)計規(guī)范的內(nèi)容進(jìn)行擴充。 END 數(shù)學(xué)建模論文范文利用數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題 數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識對推動素質(zhì)教育的實施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度，通過數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。本文將結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點，把怎樣利用數(shù)學(xué)建模解好數(shù)學(xué)應(yīng)用問題進(jìn)行剖析，希望得到同仁的幫助和指正。 一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點 我們常把來源于客觀世界的實際，具有實際意義或?qū)嶋H背景，要通過數(shù)學(xué)建模的方法將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示，從而獲得解決的一類數(shù)學(xué)問題叫做數(shù)學(xué)應(yīng)用題。數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有如下特點： 第一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本身具有實際意義或?qū)嶋H背景。這里的實際是指生產(chǎn)實際、社會實際、生活實際等現(xiàn)實世界的各個方面的實際。如與課本知識密切聯(lián)系的源于實際生活的應(yīng)用題；與模向?qū)W科知識網(wǎng)絡(luò)交匯點有聯(lián)系的應(yīng)用題；與現(xiàn)代科技發(fā)展、社會市場經(jīng)濟、環(huán)境保護、實事政治等有關(guān)的應(yīng)用題等。 第二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解需要采用數(shù)學(xué)建模的方法，使所求問題數(shù)學(xué)化，即將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)形式來表示后再求解。 第三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及的知識點多。是對綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題能力的檢驗，考查的是學(xué)生的綜合能力，涉及的知識點一般在三個以上，如果某一知識點掌握的不過關(guān)，很難將問題正確解答。 第四、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題沒有固定的模式或類別。往往是一種新穎的實際背景，難于進(jìn)行題型模式訓(xùn)練，用“題海戰(zhàn)術(shù)”無法解決變化多端的實際問題。必須依靠真實的能力來解題，對綜合能力的考查更具真實、有效性。因此它具有廣闊的發(fā)展空間和潛力。 二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題如何建模 建立數(shù)學(xué)模型是解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵，如何建立數(shù)學(xué)模型可分為以下幾個層次： 第一層次：直接建模。 根據(jù)題設(shè)條件，套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)公式、定理等數(shù)學(xué)模型，注解圖為： 將題材設(shè)條件翻譯 成數(shù)學(xué)表示形式 應(yīng)用題 審題 題設(shè)條件代入數(shù)學(xué)模型 求解 選定可直接運用的 數(shù)學(xué)模型 第二層次：直接建模?？衫矛F(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，但必須概括這個數(shù)學(xué)模型，對應(yīng)用題進(jìn)行分析，然后確定解題所需要的具體數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)模型中所需數(shù)學(xué)量需進(jìn)一步求出，然后才能使用現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型。 第三層次：多重建模。對復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行提煉加工，忽略次要因素，建立若干個數(shù)學(xué)模型方能解決問題。 第四層次：假設(shè)建模。要進(jìn)行分析、加工和作出假設(shè)，然后才能建立數(shù)學(xué)模型。如研究十字路口車流量問題，假設(shè)車流平穩(wěn)，沒有突發(fā)事件等才能建模。 三、建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備的能力 從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題從而解決實際問題，這一數(shù)學(xué)全過程的教學(xué)關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模能力的強弱，直接關(guān)系到數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題質(zhì)量，同時也體現(xiàn)一個學(xué)生的綜合能力。 31提高分析、理解、閱讀能力。 閱讀理解能力是數(shù)學(xué)建模的前提，數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都創(chuàng)設(shè)一個新的背景，也針對問題本身使用一些專門術(shù)語，并給出即時定義。如1999年高考題第22題給出冷軋鋼帶的過程敘述，給出了“減薄率”這一專門術(shù)語，并給出了即時定義，能否深刻理解，反映了自身綜合素質(zhì)，這種理解能力直接影響數(shù)學(xué)建模質(zhì)量。 32強化將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號語言的能力。 將數(shù)學(xué)應(yīng)用題中所有表示數(shù)量關(guān)系的文字、圖象語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言即數(shù)、式子、方程、不等式、函數(shù)等，這種譯釋能力是數(shù)學(xué)建成模的基礎(chǔ)性工作。 例如：一種產(chǎn)品原來的成本為a元，在今后幾年內(nèi)，計劃使成本平均每一年比上一年降低p%，經(jīng)過五年后的成本為多少? 將題中給出的文字翻譯成符號語言，成本y=a(1-p%)5 33增強選擇數(shù)學(xué)模型的能力。 選擇數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)能力的反映。數(shù)學(xué)模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個最佳的模型，體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的強弱。建立數(shù)學(xué)模型主要涉及到方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列通項公式、求和公式、曲線方程等類型。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，以函數(shù)建模為例，以下實際問題所選擇的數(shù)學(xué)模型列表： 函數(shù)建模類型 實際問題 一次函數(shù) 成本、利潤、銷售收入等 二次函數(shù) 優(yōu)化問題、用料最省問題、造價最低、利潤最大等 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 細(xì)胞分裂、生物繁殖等 三角函數(shù) 測量、交流量、力學(xué)問題等 34加強數(shù)學(xué)運算能力。 數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般運算量較大、較復(fù)雜，且有近似計算。有的盡管思路正確、建模合理，但計算能力欠缺，就會前功盡棄。所以加強數(shù)學(xué)運算推理能力是使數(shù)學(xué)建模正確求解的關(guān)鍵所在，忽視運算能力，特別是計算能力的培養(yǎng)，只重視推理過程，不重視計算過程的做法是不可取的。 利用數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題對于多角度、多層次、多側(cè)面思考問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力是很有益的，是提高學(xué)生素質(zhì)，進(jìn)行素質(zhì)教育的一條有效途徑。同時數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用也是科學(xué)實踐，有利于實踐能力的培養(yǎng)，是實施素質(zhì)教育所必須的，需要引起教育工作者的足夠重視。 加強高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 摘要：通過對高中數(shù)學(xué)新教材的教學(xué)，結(jié)合新教材的編寫特點和高中研究性學(xué)習(xí)的開展，對如何加強高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力方面進(jìn)行探索。 關(guān)鍵詞：創(chuàng)新能力；數(shù)學(xué)建模；研究性學(xué)習(xí)。 全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗修訂版）對學(xué)生提出新的教學(xué)要求，要求學(xué)生： （1）學(xué)會提出問題和明確探究方向； （2）體驗數(shù)學(xué)活動的過程； （3）培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力。 其中，創(chuàng)新意識與實踐能力是新大綱中最突出的特點之一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，基本技能和思維能力，運算能力，空間想象能力等方面得到訓(xùn)練和提高，而且在應(yīng)用數(shù)學(xué)分析和解決實際問題的能力方面同樣需要得到訓(xùn)練和提高，而培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決實際問題的能力僅僅靠課堂教學(xué)是不夠的，必須要有實踐、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目的和一條基本原則，要使學(xué)生學(xué)會提出問題并明確探究方向，能夠運用已有的知識進(jìn)行交流，并將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，就必須建立數(shù)學(xué)模型，從而形成比較完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，能幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，加強數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)習(xí)對學(xué)生的智力開發(fā)具有深遠(yuǎn)的意義，現(xiàn)就如何加強高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)談幾點體會。 一要重視各章前問題的教學(xué)，使學(xué)生明白建立數(shù)學(xué)模型的實際意義。 教材的每一章都由一個有關(guān)的實際問題引入，可直接告訴學(xué)生，學(xué)了本章的教學(xué)內(nèi)容及方法后，這個實際問題就能用數(shù)學(xué)模型得到解決，這樣，學(xué)生就會產(chǎn)生創(chuàng)新意識，對新數(shù)學(xué)模型的渴求，實踐意識，學(xué)完要在實踐中試一試。 如新教材“三角函數(shù)”章前提出：有一塊以O(shè)點為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD辟為綠冊，使其冊邊AD落在半圓的直徑上，另兩點BC落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關(guān)于點O對稱的點A、D的位置，可以使矩形面積最大？ 這是培養(yǎng)創(chuàng)新意識及實踐能力的好時機要注意引導(dǎo)，對所考察的實際問題進(jìn)行抽象分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過新舊兩種思路方法，提出新知識，激發(fā)學(xué)生的知欲，如不可挫傷學(xué)生的積極性，失去“亮點”。 這樣通過章前問題教學(xué)，學(xué)生明白了數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)，研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，同時培養(yǎng)學(xué)生追求新方法的意識及參與實踐的意識。因此，要重視章前問題的教學(xué)，還可據(jù)市場經(jīng)濟的建設(shè)與發(fā)展的需要及學(xué)生實踐活動中發(fā)現(xiàn)的問題，補充一些實例，強化這方面的教學(xué)，使學(xué)生在日常生活及學(xué)習(xí)中重視數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識。 2通過幾何、三角形測量問題和列方程解應(yīng)用題的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想與思維過程。 學(xué)習(xí)幾何、三角的測量問題，使學(xué)生多方面全方位地感受數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生認(rèn)識更多現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型，鞏固數(shù)學(xué)建模思維過程、教學(xué)中對學(xué)生展示建模的如下過程： 現(xiàn)實原型問題 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)抽象 簡化原則 演算推理 現(xiàn)實原型問題的解 數(shù)學(xué)模型的解 反映性原則 返回解釋 列方程解應(yīng)用題體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)建模思維過程，要據(jù)所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使其簡單化，以利于解答的思想。且解題過程中重要的步驟是據(jù)題意更出方程，從而使學(xué)生明白，數(shù)學(xué)建模過程的重點及難點就是據(jù)實際問題特點，通過觀察、類比、歸納、分析、概括等基本思想，聯(lián)想現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型或變換問題構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來解決問題。如利息（復(fù)利）的數(shù)列模型、利潤計算的方程模型決策問題的函數(shù)模型以及不等式模型等。 3結(jié)合各章研究性課題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，拓展數(shù)學(xué)建模形式的多樣性式與活潑性。 高中新大綱要求每學(xué)期至少安排一個研究性課題，就是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，如“數(shù)列”章中的“分期付款問題”、“平面向是章中向量在物理中的應(yīng)用”等，同時，還可設(shè)計類似利潤調(diào)查、洽談、采購、銷售等問題。設(shè)計了如下研究性問題。 例1根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國2000年的人口數(shù)。 時間(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人中數(shù)(百萬) 39 50 63 76 92 106 123 132 145 分析：這是一個確定人口增長模型的問題，為使問題簡化，應(yīng)作如下假設(shè)：（1）該國的政治、經(jīng)濟、社會環(huán)境穩(wěn)定；（2）該國的人口增長數(shù)由人口的生育，死亡引起；（3）人口數(shù)量化是連續(xù)的?；谏鲜黾僭O(shè)，我們認(rèn)為人口數(shù)量是時間函數(shù)。建模思路是根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點圖，然后尋找一條直線或曲線，使它們盡可能與這些散點吻合，該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國人口增長規(guī)律，從而進(jìn)一步作出預(yù)測。 通過上題的研究，既復(fù)習(xí)鞏固了函數(shù)知識更培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和實踐能力及創(chuàng)新意識。在日常教學(xué)中注意訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實生活問題；培養(yǎng)學(xué)生做生活的有心人及生活中“數(shù)”意識和觀察實踐能力，如記住一些常用及常見的數(shù)據(jù)，如：人行車、自行車的速度，自己的身高、體重等。利用學(xué)校條件，組織學(xué)生到操場進(jìn)行實習(xí)活動，活動一結(jié)束，就回課堂把實際問題化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決。如：推鉛球的角度與距離關(guān)系；全班同學(xué)手拉手圍成矩形圈，怎樣圍使圍成的面積最大等，用磚塊搭成多米諾牌骨等。 四、培養(yǎng)學(xué)生的其他能力，完善數(shù)學(xué)建模思想。 由于數(shù)學(xué)模型這一思想方法幾乎貫穿于整個中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，小學(xué)解算術(shù)運用題中學(xué)建立函數(shù)表達(dá)式及解析幾何里的軌跡方程等都孕育著數(shù)學(xué)模型的思想方法，熟練掌握和運用這種方法，是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題能力的關(guān)鍵，我認(rèn)為這就要求培養(yǎng)學(xué)生以下幾點能力，才能更好的完善數(shù)學(xué)建模思想： （1）理解實際問題的能力； （2）洞察能力，即關(guān)于抓住系統(tǒng)要點的能力； （3）抽象分析問題的能力； （4）“翻譯”能力，即把經(jīng)過一生抽象、簡化的實際問題用數(shù)學(xué)的語文符號表達(dá)出來，形成數(shù)學(xué)模型的能力和對應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推演或計算得到注結(jié)果能自然語言表達(dá)出來的能力； （5）運用數(shù)學(xué)知識的能力； （6）通過實際加以檢驗的能力。 只有各方面能力加強了，才能對一些知識觸類旁通，舉一反三，化繁為簡，如下例就要用到各種能力，才能順利解出。 例2：解方程組 x+y+z=1 (1) x2+y2+z2=1/3 (2) x3+y3+z3=1/9 (3) 分析：本題若用常規(guī)解法求相當(dāng)繁難，仔細(xì)觀察題設(shè)條件，挖掘隱含信息，聯(lián)想各種知識，即可構(gòu)造各種等價數(shù)學(xué)模型解之。 方程模型：方程（1）表示三根之和由（1）（2）不難得到兩兩之積的和（XY+YZ+ZX）=1/3，再由（3）又可將三根之積（XYZ=1/27），由韋達(dá)定理，可構(gòu)造一個一元三次方程模型。（4）x,y,z 恰好是其三個根 t3-t2+1/3t-1/27=0 (4) 函數(shù)模型： 由（1）（2）知若以xz(x+y+z)為一次項系數(shù)，（x2+y2+z2）為常數(shù)項，則以3（121212）為二次項系數(shù)的二次函f(x)=(12+12+12)t2-2(x+y+z)t+(x2+y2+z2)=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2為完全平方函數(shù)3(t-1/3)2，從而有t-x=t-y=t-z，而x=y=z再由(1)得x=y=z=1/3，也適合（3） 平面解析模型 方程（1）（2）有實數(shù)解的充要條件是直線x+y=1-z與圓x2+y2=1/3-z2有公共點后者有公共點的充要條件是圓心(O、O)到直線x+y的距離不大于半徑。 總之，只要教師在教學(xué)中通過自學(xué)出現(xiàn)的實際的問題，根據(jù)當(dāng)?shù)丶皩W(xué)生的實際，使數(shù)學(xué)知識與生活、生產(chǎn)實際聯(lián)系起來，就能增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的意識，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新意識與實踐能力。 數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。強調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識對推動素質(zhì)教育的實施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度，通過數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。本文將結(jié)合數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點，把怎樣利用數(shù)學(xué)建模解好數(shù)學(xué)應(yīng)用問題進(jìn)行剖析，希望得到同仁的幫助和指正。 一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點 我們常把來源于客觀世界的實際，具有實際意義或?qū)嶋H背景，要通過數(shù)學(xué)建模的方法將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示，從而獲得解決的一類數(shù)學(xué)問題叫做數(shù)學(xué)應(yīng)用題。數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有如下特點： 第一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本身具有實際意義或?qū)嶋H背景。這里的實際是指生產(chǎn)實際、社會實際、生活實際等現(xiàn)實世界的各個方面的實際。如與課本知識密切聯(lián)系的源于實際生活的應(yīng)用題；與模向?qū)W科知識網(wǎng)絡(luò)交匯點有聯(lián)系的應(yīng)用題；與現(xiàn)代科技發(fā)展、社會市場經(jīng)濟、環(huán)境保護、實事政治等有關(guān)的應(yīng)用題等。 第二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解需要采用數(shù)學(xué)建模的方法，使所求問題數(shù)學(xué)化，即將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)形式來表示后再