變分法與邊值問(wèn)題.ppt

第6章 變分法與邊值問(wèn)題,通過(guò)求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問(wèn)題的解，這種理論和方法通常叫作偏微分方程中的變分原理，簡(jiǎn)稱變分方法。本章通過(guò)求解一類邊值問(wèn)題和特征值問(wèn)題簡(jiǎn)單介紹該方法的理論及其應(yīng)用。,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,6.1 邊值問(wèn)題與算子方程 6.1.1 薄膜的橫振動(dòng)與最小位能原理 考慮張?jiān)谄矫嬗薪鐓^(qū)域 上的均勻薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小橫振動(dòng)，薄膜的邊緣固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的總位能為 其中，T 表示張力，F(xiàn)(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在點(diǎn) (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜邊緣固定, 故 可見(jiàn), (6.1.1) 是定義在容許函數(shù)類,上的泛函。,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,類似于5.2.5小節(jié)中對(duì)Dirichlet原理的討論，可知泛函 （6.1.1）的極小函數(shù)就是Poisson方程Dirichlet問(wèn)題 的解；反之邊值問(wèn)題（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的極小函數(shù),即 于是,我們可以用變分方法得到邊值問(wèn)題(6.1.2)的解.值得注意的是, 為了保證極小函數(shù)的存在性,有時(shí)必須將容許函數(shù)類擴(kuò)大.此時(shí)我們得到的不一定是邊值問(wèn)題的古典解而是弱解.,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,6.1.2 正算子與算子方程 我們稱滿足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 為對(duì)稱算子。 設(shè) A 是定義在 Hilbert 空間 H 的某一線性稠密子集 上的線性算子，若對(duì) 中的任意元素 u，有 且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) u=0, 則稱 A 是正算子。,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,應(yīng)用 取 Hilbet 空間為,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,可以驗(yàn)證，它們各自對(duì)應(yīng)的算子是正算子。對(duì)應(yīng)于以上三種問(wèn)題算子 的定義域分別為,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,6.1.3 正定算子 弱解存在性 設(shè) A 是 上的線性算子，若存在常數(shù) 對(duì)任意 有 則稱算子 A 是 上的正算子。 在 上引入新內(nèi)積 由此內(nèi)積誘導(dǎo)的新范數(shù)記為,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,6.2 Laplace 算子的特征值問(wèn)題 本節(jié)考慮如下的Laplace 算子特征值問(wèn)題：,第6章 變分法與邊值問(wèn)題,6.2.1 特征值與特征函數(shù)的存在性,第6章 變分法