江蘇省高考數(shù)學二輪復習專題三不等式第2講線性規(guī)劃與基本不等式學案.doc

第2講線性規(guī)劃與基本不等式考情考向分析1.線性規(guī)劃的要求是A級，主要考查線性目標函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說明中的C級內(nèi)容，高考會重點考查主要考查運用基本不等式求最值及其在實際問題中的運用，試題難度中檔以上熱點一簡單的線性規(guī)劃問題例1(1)(2017全國)設x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_答案5解析作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由z3x2y得yx，求z的最小值，即求直線yx在y軸上的截距的最大值，當直線yx過圖中點A時，其在y軸上的截距最大，由解得A點坐標為(1,1)，此時z3(1)215.(2)已知實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是_答案解析不等式組對應的平面區(qū)域是以點(3，1)，(3,2)和為頂點的三角形及其內(nèi)部，設z，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點連線所在直線的斜率，則當z經(jīng)過(3，1)時取得最小值，經(jīng)過點(3,2)時取得最大值，故的取值范圍是.思維升華線性規(guī)劃的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想需要注意的是： 畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較；一般情況下，目標函數(shù)的最值會在可行域的端點或邊界上取得跟蹤演練1(1)設變量x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxy的最小值為2，則a_.答案2解析約束條件對應的可行域是以點(1,1)，(1,3)和(2,2)為頂點的三角形及其內(nèi)部當a1時，當目標函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(1,1)時，z取得最小值，則zmina12，即a3(舍去)；當a1時，當目標函數(shù)所在直線yaxz經(jīng)過點(2,2)時，z取得最小值，則zmin2a22，即a2，符合題意，故a2.(2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，則混合物重量的最小值為_ kg.答案30解析設甲食物重x kg，乙食物重y kg，維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直線zxy，由圖知，當直線過A(20,10)時，z取最小值為201030.熱點二利用基本不等式求最值例2(1)(2018蘇北六市模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且abc4(ab)，則abc的最小值為_答案8解析abc4(ab)，c，abcabab22448.(當且僅當ab2時，等號成立)(2)設ABC的BC邊上的高ADBC，a，b，c分別表示角A，B，C對應的三邊，則的取值范圍是_答案 2，解析因為BC邊上的高ADBCa，所以SABCa2bcsin A，所以sin A.又因為cos A，所以2cos Asin A，同時2(當且僅當bc時，等號成立)，所以2，思維升華用基本不等式求函數(shù)的最值，關鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件跟蹤演練2(1)設a，b0，ab5，則的最大值為_答案3解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當且僅當a，b時，等號成立，則3，即最大值為3.(2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exexx33x，若正數(shù)a，b滿足f(2a1)f(b1)0，則的最小值為_答案解析由題意得f(x)f(x)，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，最多有一個零點，所以f(2a1)f(b1)0，即f(2a1)f(b1)，所以2a11b，即 2ab2，所以 b 2b4.又，當且僅當a，b時取等號所以的最小值為.熱點三基本不等式的實際運用例3(2018蘇州期末)如圖，長方形材料ABCD中，已知AB2，AD4.點P為材料ABCD內(nèi)部一點，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF.現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN，滿足MPN150，點M，N分別在邊AB，AD上(1)設FPN，試將四邊形材料AMPN的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；(2)試確定點N在AD上的位置，使得四邊形材料AMPN的面積S最小，并求出其最小值解(1)在RtNFP中，因為PF，F(xiàn)PN，所以NFtan ，所以SNAPNAPF，在RtMEP中，因為PE1，EPM，所以MEtan，所以SAMPAMPE1，所以SSNAPSAMP tan tan，.(2)因為Stan tantan ，令t1tan ，由，得t，所以S 22，當且僅當t，即t時，即tan 時等號成立，此時，AN，Smin2.答案當AN時，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2.思維升華利用基本不等式求解實際應用題的方法(1)解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型(2)注意當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解跟蹤演練3一批救災物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達400 km外的災區(qū)，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于2 km，則這批物資全部運送到災區(qū)最少需_ h.答案10解析時間最短，則兩車之間的間距最小，且要安全，則時間t210，當且僅當v80時等號成立1(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_答案30解析一年的總運費為6(萬元)，一年的總存儲費用為4x萬元，總運費與總存儲費用的和為萬元因為4x2 240，當且僅當4x，即x30時取得等號，所以當x30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小2(2018江蘇)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120，ABC的平分線交AC于點D，且BD1，則4ac的最小值為_答案9解析方法一如圖，SABCSABDSBCD，acsin 120c1sin 60a1sin 60，acac，1.4ac(4ac)5259.當且僅當即時取等號方法二如圖，以B為原點，BD所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則D(1,0)，A，C.又A，D，C三點共線，acac.以下同方法一3已知正實數(shù)x，y滿足向量a(xy,2)，b(xy2,1)共線，c，且a(ac)0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共線得xy2(xy2)，則xy42xy，即(xy)22(xy)80，當且僅當xy時等號成立又由x，y是正實數(shù)，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，則t2mt10，t4，)(*)恒成立對于方程t2mt10，當m240，即2m2時，(*)恒成立；當m2時，相應二次函數(shù)yt2mt1的對稱軸t2時，由相應二次函數(shù)yt2mt1的對稱軸t4，且164m10，得2m.綜上可得，當m時，(*)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是.4某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，則倉庫面積S的最大允許值是_平方米答案100解析設鐵柵長為x米，一堵磚墻長為y米，則頂部面積為Sxy，依題意得40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故010，從而01，則函數(shù)y2x的最小值為_答案5解析x1，2x10，y2x112 15，當且僅當2x1，即x時，等號成立4(2018常州期末)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為_答案解析因為是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a3a4a2a3a4，所以aa3a2a4，則aa3a2a422a3，(當且僅當a2a4，即數(shù)列an為正數(shù)常數(shù)列時取等號)即a30，即a3，a3，即a3的最小值為.5若點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值是_答案3解析點A(m，n)在第一象限，且在直線1上，所以m，n0，且1，所以2，所以2，即mn3，所以mn的最大值為3.6設P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_答案解析因為y(x1)2，當且僅當，即x時“”成立所以切線的斜率ktan ，又0，)，所以.7已知正數(shù)a，b，滿足5，則ab的最小值為_答案36解析正數(shù)a，b滿足5，52，化為()2560，解得6，當且僅當，5，即a2，b18時取等號，解得ab36.8(2018揚州期末)已知正實數(shù)x，y滿足xyxy，則的最小值為_答案52解析正實數(shù)x，y滿足xyxy，1， ，故得到552，等號成立的條件為11，即xy2.9若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，及正弦定理得ab2c.又由余弦定理得cos C，當且僅當a2時等號成立，故cos C0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值為_答案4解析由題意知，所以2224，當且僅當xy時，等號成立12已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域為0，)，則的最小值為_答案10解析由f(x)的值域為0，)可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0，因此有0，從而c0，所以24210，當且僅當即a時取等號故所求的最小值為10.13(2018江蘇如東高級中學等五校聯(lián)考)已知a，b，c(0，)，則的最小值為_答案4解析a2b2c2acbc，即ac2bc，當且僅當a，b時等號成立，則4(經(jīng)驗證兩次等號可同時取得)，所以 的最小值為4.14已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(2x1)6；(2)已知ab1(a，b0)，且對于xR