2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例教案（含解析）新人教A版.docx

2.5平面向量應(yīng)用舉例核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P109P112的內(nèi)容，回答下列問題(1)利用向量方法可以解決平面幾何中的哪些問題？提示：距離、夾角等問題(2)利用向量方法可以解決物理中的哪些問題？提示：可以利用向量解決與力、位移、速度有關(guān)的問題2歸納總結(jié)，核心必記(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系(2)向量在物理中的應(yīng)用物理問題中常見的向量有力、速度、位移等向量的加減運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中動量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算功是力F與位移s的數(shù)量積問題思考用向量解決幾何問題時，有時需要選擇合適的基底，你知道怎樣選擇合適的基底嗎？提示：所選擇基向量的長度和夾角應(yīng)該是已知的課前反思(1)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用： ；(2)平面向量在物理中的應(yīng)用： .知識點(diǎn)1平面幾何中的平行、垂直問題講一講1.如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PEAB，PFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DPEF.嘗試解答法一：設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AEa(0a1)，則EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.法二：設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以(x，x1)，(1x，x)，由于x(1x)x(x1)0，所以，即DPEF.類題通法(1)向量法證明平面幾何中ABCD的方法：方法一：選擇一組向量作基底；用基底表示和；證明的值為0；給出幾何結(jié)論ABCD.方法二：先求，的坐標(biāo)，(x1，y1)，(x2，y2)，再計(jì)算的值為0，從而得到幾何結(jié)論ABCD.(2)用向量法證明平面幾何中ABCD的方法：方法一：選擇一組向量作基底；用基底表示和；尋找實(shí)數(shù)，使，即；給出幾何結(jié)論ABCD.方法二：先求，的坐標(biāo)，(x1，y1)，(x2，y2)利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2x2y10得到，再給出幾何結(jié)論ABCD.以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中任意三點(diǎn)都不共線的基礎(chǔ)上，才有得到ABCD.練一練1已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AEFCAC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形證明：設(shè)a，b，則aba，bba，所以，且D，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形.知識點(diǎn)2平面幾何中的長度問題講一講2已知RtABC中，C90，設(shè)ACm，BCn.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CDAB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)嘗試解答(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)D為AB的中點(diǎn)，D，|，| |，| |，即CDAB.(2)E為CD的中點(diǎn)，E，設(shè)F(x,0)，則，(x，m)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，.即(x，m).則故，即x，F(xiàn)，|，即AF.類題通法利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a(x，y)，則|a|.練一練2如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對角線BD2，求對角線AC的長解：設(shè)a，b，則ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即AC.知識點(diǎn)3向量在物理中的應(yīng)用講一講3在風(fēng)速為75()km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時飛機(jī)的航速和航向嘗試解答設(shè)風(fēng)速，va有風(fēng)時飛機(jī)的航行速度，vb無風(fēng)時飛機(jī)的航行速度，vbva.如圖所示設(shè)| |va|，|，|vb|，作ADBC，CDAD于D，BEAD于E，則BAD45.設(shè)| |150，則|75()|75，|75.從而|150，CAD30.|vb|150，即沒有風(fēng)時飛機(jī)的航速為150 km/h，方向?yàn)楸逼?0.類題通法利用向量法解決物理問題的步驟(1)抽象出物理問題的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題練一練3已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30，大小為50 N，一個質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)0.02的水平面上運(yùn)動了20 m問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g取10 m/s2)解：如圖所示，設(shè)木塊的位移為s，則WFFs|F|s|cos 305020500(J)將力F分解，它在鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小為|f|(GF1)|(8025)0.021.1(N)，因此Wffs|f|s|cos 1801.120(1)22(J)即F和f所做的功分別為500 J和22 J.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，難點(diǎn)是平面向量在物理中的應(yīng)用2要掌握平面向量的應(yīng)用(1)利用平面向量解決平面幾何中的平行、垂直問題，見講1；(2)利用平面向量解決平面幾何中的長度問題，見講2；(3)平面向量在物理中的應(yīng)用，見講3.課下能力提升(二十一)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1平面向量在平面幾何中的應(yīng)用1已知直線l與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，2i3j(i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量)，則直線l的方程是()A3x2y60 B3x2y60C2x3y60 D2x3y60解析：選B由于i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量，所以(2，3)，而A，B分別在x軸，y軸上，可得A(2,0)，B(0，3)，由此可得直線l的方程為3x2y60.2在四邊形ABCD中，且| |，那么四邊形ABCD為()A平行四邊形 B菱形C長方形 D正方形解析：選B由知四邊形ABCD為平行四邊形，由| |知ABCD的鄰邊相等，四邊形ABCD為菱形3已知非零向量與滿足0，且，則ABC為()A三邊均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形解析：選D是向量，方向上的兩個單位向量的和，它在A的平分線上，由0，知此三角形為等腰三角形，再由知A為60，故此三角形為等邊三角形4如圖所示，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足為E，則ED_.解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，(3，)，設(shè)，則E的坐標(biāo)為(3，)，故(3，)因?yàn)锽EAC，所以0，即9330，解得，所以E.故，|，即ED.答案：5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)求證：AFDE(利用向量證明)證明：設(shè)a，b，則ab，ba，b2a2ab.又，且| |，a2b2，ab0，0，即AFDE.題組2向量在物理中的應(yīng)用6人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析：選B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一個向量7一纖夫用纖繩拉船沿直線方向前行進(jìn)60 m，若纖繩與行進(jìn)方向夾角為30，纖夫的拉力為50 N，則纖夫?qū)Υ龅墓開J.解析：所做的功W6050cos 301 500 J.答案：1 5008在水流速度為4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向解：如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對岸行駛的速度，以為一邊，為一對角線作ABCD，則就是船的航行速度| |4，|12，|8，tan ACB，CADACB30，BAD120.即船的航行速度的大小為8 km/h，方向與水流方向的夾角為120.能力提升綜合練1設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積解析：選A假設(shè)a與b的夾角為，|bc|b|c|cosb，c|b|a|cos(90)|b|a|sin ，即為以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積2如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，則等于()A. B.C2 D3解析：選B()，因?yàn)镺AOB，所以在上的投影為| |，所以| | |2，同理|，故2.3已知ABC滿足2，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C直角三角形 D鈍角三角形解析：選C由題意得，2()2，0，ABC是直角三角形4已知一物體在共點(diǎn)力F1(lg 2，lg 2)，F(xiàn)2(lg 5，lg 2)的作用下產(chǎn)生位移s(2lg 5,1)，則共點(diǎn)力對物體做的功W為()Alg 2 Blg 5 C1 D2解析：選DW(F1F2)s(lg 2lg 5,2lg 2)(2lg 5,1)(1,2lg 2)(2lg 5,1)2lg 52lg 22.5已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|，則_.解析：由弦長|AB|，可知ACB60，|cosACB.答案：6三個大小相同的力a，b，c作用在同一物體P上，使物體P沿a方向做勻速運(yùn)動，設(shè)a，b，c，判斷ABC的形狀解：由題意得|a|b|c|，由于在合力作用下物體做勻速運(yùn)動，故合力為0，即abc0.所以acb.如圖，作平行四邊形APCD，則其為菱形因?yàn)閍cb，所以APC120.同理，APBBPC120.又因?yàn)閨a|b|c|，所以ABC為等邊三角形7.如圖，已知直角梯形ABCD中，ADAB，AB2AD2CD，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明：(