2019年高中數(shù)學第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定課時作業(yè)（含解析）.docx

2.3.2平面與平面垂直的判定1.下列說法中,正確的是(B)(A)垂直于同一直線的兩條直線互相平行(B)平行于同一平面的兩個平面平行(C)垂直于同一平面的兩個平面互相平行(D)平行于同一平面的兩條直線互相平行解析:A.垂直于同一直線的兩條直線可能平行、相交或異面.B.正確.C.垂直于同一平面的兩個平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的兩條直線可能相交、平行或異面.只有B正確.2.設(shè)m,n是不同的直線,是不同的平面,已知m,n,下列說法正確的是(B)(A)若mn,則(B)若mn,則(C)若mn,則(D)若mn,則解析:若mn,則與可以平行或相交,故A,C錯誤;若mn,則,D錯,選B.3.如果一個二面角的兩個半平面與另一個二面角的兩個半平面分別平行,則這兩個二面角的大小關(guān)系是(C)(A)相等 (B)互補(C)相等或互補(D)不確定解析:可作出這兩個二面角的平面角(圖略),易知這兩個平面角的兩邊分別平行,故這兩個二面角相等或互補.故選C.4.如圖,AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C是圓上一點(不同于A,B)且PA=AC,則二面角PBCA的大小為(C)(A)60(B)30(C)45(D)15解析:易得BC平面PAC,所以PCA是二面角PBCA的平面角,在RtPAC中,PA=AC,所以PCA=45.故選C.5.如圖所示,已知PA矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有(D)(A)2對(B)3對(C)4對(D)5對解析:由PA矩形ABCD知,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD;由AB平面PAD知,平面PAB平面PAD;由BC平面PAB知,平面PBC平面PAB;由DC平面PAD知,平面PDC平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對.選D.6.如圖所示,在ABC中,ADBC,ABD的面積是ACD的面積的2倍.沿AD將ABC翻折,使翻折后BC平面ACD,此時二面角BADC的大小為(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在RtBCD中,BDC=60,而ADBD,CDAD,故BDC是二面角BADC的平面角,其大小為60.故選C.7.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知ADE是ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,則下列命題中正確的是(C)動點A在平面ABC上的射影在線段AF上BC平面ADE三棱錐AFED的體積有最大值(A) (B) (C) (D)解析:中由已知可得平面AFG平面ABC,故點A在平面ABC上的射影在線段AF上.因為BCDE,根據(jù)線面平行的判定定理可得BC平面ADE.當平面ADE平面ABC時,三棱錐AFDE的體積達到最大.故選C.8.如圖,已知AB平面BCD,BCCD,則圖中互相垂直的平面共有對.解析:因為AB平面BCD,所以平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD,ABCD.因為BCCD,所以DC平面ABC,所以平面ACD平面ABC.所以共有3對互相垂直的平面.答案:39.如圖,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,將ABC沿斜邊BC上的高AD折疊,使平面ABD平面ACD,則折疊后BC=.解析:因為在原ABC中,ADBC,所以折疊后有ADBD,ADCD,所以BDC是二面角BADC的平面角.因為平面ABD平面ACD,所以BDC=90.在RtBCD中,BDC=90,BD=CD=,所以BC=1.答案:110.正方體ABCDA1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于.解析:設(shè)AC與BD相交于O點,因為ABCDA1B1C1D1為正方體,所以AOBD,又AA1平面ABCD,所以AA1BD,又AOAA1=A,所以BD平面A1AO,所以BDA1O,所以A1OA為二面角A1BDA的平面角,設(shè)正方體的棱長為a,在直角A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tanA1OA=.答案:11.已知m,l是直線,是平面,給出下列命題:若l垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,則l;若l,則l平行于內(nèi)所有直線;若m,l,且lm,則;若l,且l,則;若m,l,且,則ml.其中正確的是.解析:是線面垂直、面面垂直的判定定理,故均正確.l,則l與內(nèi)的直線可能平行,也可能異面,故錯誤.兩個平面平行時,分別在兩平面內(nèi)存在相互垂直的直線,故錯誤.兩個平面平行,分別在兩個平面內(nèi)的直線有可能是異面直線,故錯誤.答案:12.如圖所示,=CD,P為二面角內(nèi)部一點.PA,PB,垂足分別為A,B.(1)證明:ABCD;(2)若PAB為等邊三角形,求二面角CD的大小.(1)證明:因為所以CD平面PAB,所以ABCD.(2)解:如圖所示,設(shè)平面PABCD=O,則由(1)可知,OBCD,OACD,從而BOA是二面角CD的平面角.因為PAOA,PBOB,所以AOB+APB=180.因為PAB為等邊三角形,所以APB=60.故二面角CD的平面角為120.13.如圖所示,在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1,AC1平面A1BD,D為AC的中點.(1)求證:B1C平面A1BD;(2)求證:B1C1平面ABB1A1;(3)設(shè)E是CC1上一點,試確定E的位置使平面A1BD平面BDE,并說明理由.(1)證明:連接AB1,與A1B相交于M,則M為A1B的中點,連接MD.又D為AC的中點,所以B1CMD.又B1C平面A1BD,MD平面A1BD,所以B1C平面A1BD.(2)證明:因為AB=B1B,所以四邊形ABB1A1為正方形.所以A1BAB1.又因為AC1平面A1BD,所以AC1A1B.所以A1B平面AB1C1,所以A1BB1C1.又在棱柱ABCA1B1C1中BB1B1C1,所以B1C1平面ABB1A1.(3)解:當點E為C1C的中點時,平面A1BD平面BDE,因為D,E分別為AC,C1C的中點,所以DEAC1.因為AC1平面A1BD,所以DE平面A1BD.又DE平面BDE,所以平面A1BD平面BDE.14.(2017浙江金華十校聯(lián)考)如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點.(1)求點C到平面A1ABB1的距離;(2)若AB1A1C,求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.解:(1)由AC=BC,D為AB的中點,得CDAB,又CDAA1,故CD平面A1ABB1,所以點C到平面A1ABB1的距離為CD=.(2)如圖,取D1為A1B1的中點,連接DD1,則DD1AA1CC1.又由(1)知CD平面A1ABB1,故CDA1D,CDDD1,所以A1DD1為所求的二面角A1CDC1的平面角.因為CD平面A1ABB1,AB1平面A1ABB1,所以AB1CD,又AB1A1C,A1CCD=C,所以AB1平面A1CD,故AB1A1D,從而A1AB1,A1DA都與B1AB互余,因此A1AB1=A1DA,所以RtA1ADRtB1A1A.因此=,即A1A2=ADA1B1=8,得A1A=2.從而A1D=2.所以,在RtA1D1D中,cosA1DD1=.15.在正四面體PABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,則下面四個結(jié)論中不成立的是(C)(A)BC平面PDF (B)DF平面PAE(C)平面PDF平面ABC (D)平面PAE平面ABC解析:可畫出對應(yīng)圖形,如圖所示,則BCDF.又DF平面PDF,BC平面PDF,所以BC平面PDF,故A成立.由AEBC,PEBC,BCDF,知DFAE,DFPE,所以DF平面PAE,故B成立.又DF平面ABC,所以平面ABC平面PAE,故D成立.故選C.16.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,則下列結(jié)論中錯誤的是(D)(A)D1O平面A1BC1(B)MO平面A1BC1(C)異面直線BC1與AC所成的角等于60(D)二面角MACB等于90解:對于選項A,連接B1D1,交A1C1于E,連接BO,則四邊形D1OBE為平行四邊形,所以D1OBE,因為D1O平面A1BC1,BE平面A1BC1,所以D1O平面A1BC1,故正確;對于選項B,連接B1D,因為O為底面ABCD的中心,M為棱BB1的中點,所以MOB1D,易證B1D平面A1BC1,所以MO平面A1BC1,故正確;對于選項C,因為ACA1C1,所以A1C1B為異面直線BC1與AC所成的角,因為A1C1B為等邊三角形,所以A1C1B=60,故正確;對于選項D,因為BOAC,MOAC,所以MOB為二面角MACB的平面角,顯然不等于90,故不正確.綜上知,選D.17.如圖,二面角l的大小是60,線段AB,Bl,AB與l所成的角為30,則AB與平面所成的角的正弦值為.解析:如圖,過點A作平面的垂線,垂足為C,在平面內(nèi)過C作l的垂線,垂足為D,連接AD.由線面垂直的判定定理,可知l平面ACD,則lAD,故ADC為二面角l的平面角,即ADC=60.連接CB,顯然,ABC為AB與平面所成的角.設(shè)AD=2,則AC=,AB=4,故sinABC=.答案:18.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足時,平面MBD平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析:DMPC.連接AC,則ACBD.因為PA底面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因為PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以當DMPC(或BMPC)時,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(答案不唯一)19.如圖所示,已知正方形ABCD的邊長為2,ACBD=O.將三角形ABD沿BD折起,得到三棱錐ABCD.(1)求證:平面AOC平面BCD,(2)若三棱錐ABCD的體積為,求AC的長.(1)證明:折疊前,因為四邊形ABCD是正方形,所以BDAO,BDCO.在折疊后的ABD和BCD中,仍有BDAO,BDCO.因為AOCO=O,AO平面AOC,CO平面AOC,所以BD平面AOC.因為BD平面BCD,所以平面AOC平面BCD.(2)解:設(shè)三棱錐ABCD的高為h,由于三棱錐ABCD的體積為,所以SBCDh=.因為SBCD=BCCD=22=2,所以h=AO=.以下分兩種情形求AC的長.當AOC為鈍角時,如圖,過點A作CO的垂線AH交CO的延長線于點H,由(1)知BD平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AH為三棱錐ABCD的高,即AH=.在