2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量章末小結(jié)與測評教案（含解析）新人教A版.docx

第二章 平面向量考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1平面向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律(1)向量加法是由三角形法則定義的，要點(diǎn)是“首尾相連”，即；向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點(diǎn)，分別為鄰邊作平行四邊形，則同起點(diǎn)對角線的向量即為向量的和加法滿足交換律、結(jié)合律(2)向量減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算，是相反向量的作用幾何意義有兩個(gè)：一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量注意兩向量要移至共起點(diǎn)(3)數(shù)乘運(yùn)算即通過實(shí)數(shù)與向量的乘積，實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換2向量共線及平面向量基本定理(1)共線向量定理：向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.共線向量定理是證明平行的主要依據(jù)，也是解決三點(diǎn)共線問題的重要方法特別地，平面內(nèi)一點(diǎn)P位于直線AB上的條件是存在實(shí)數(shù)x，使x ，或?qū)χ本€外任意一點(diǎn)O，有xy (xy1)(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共線，那么對于平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù) 1，2，使a1e12e2.其中e1，e2是平面的一組基底，e1，e2分別稱為基向量由定理可知，平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示出來，而且任意兩個(gè)不共線的非零向量都可以作為基底典例1如圖，梯形ABCD中，ABCD，點(diǎn)M、N分別是DA、BC的中點(diǎn)，且k，設(shè)e1，e2，以e1、e2為基底表示向量、.解：e2，且k，k ke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.對點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖，在ABC中， ，BQ與CR相交于點(diǎn)I，AI的延長線與邊BC交于點(diǎn)P.(1)用和分別表示和；(2)如果，求實(shí)數(shù)和的值；(3)確定點(diǎn)P在邊BC上的位置解：(1)由，可得，又 ，所以 .(2)將， ，代入，則有，即(1) (1) .所以解得(3)設(shè)m，n.由(2)，知 ，所以nn mmm ，所以解得所以，即2，P是邊BC上靠近C的三等分點(diǎn)考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|；若為a與b的夾角，則cos .典例2(1)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為()A. B. C. D.(2)已知向量a(1，m)，b(m,2), 若ab, 則實(shí)數(shù)m等于()A B. C或 D0(3)已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D解析：(1)由已知，得(3，4)，所以| |5，因此與同方向的單位向量是 .(2)ab的充要條件的坐標(biāo)表示為12m20，m，選C.(3) (2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為| |cos，| |，故選A.答案：(1)A(2)C(3)A對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y()A13 B13 C9 D9(2)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，則a與c的夾角為()A30 B60 C120 D150解析：(1) (8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.(2)ab10，則(cb)acabaca10，所以ca，設(shè)a與c的夾角為，則cos ，又0，180，所以120.答案：(1)D(2)C考點(diǎn)三平面向量的數(shù)量積1兩向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律兩個(gè)向量的數(shù)量積是ab|a|b|cos ，為a與b的夾角，數(shù)量積滿足運(yùn)算律：與數(shù)乘的結(jié)合律，即(a)b(ab)；交換律，即abba；分配律，即(ab)cacbc.2平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征3利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長度等典例3已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角.解：c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc.16n(4)n4.在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b，得mab12.由，得m.ab2.cos .或.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知單位向量a，b的夾角為，則|a2b|_.(2)已知e為單位向量，|a|4，a與e的夾角，則a在e方向上的投影為_(3)已知在ABC中，A，AB2，AC4， ，則的值為_解析：(1)單位向量a，b的夾角為，|a2b|2a24ab4b21411cos 41243，|a2b|.(2)因?yàn)閍在e方向上的投影為|a|cos ，|a|4，a與e的夾角為，所以|a|cos 4cos 42.(3)因?yàn)樵贏BC中