天津市第一中學2018_2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷（含解析）.docx

天津市第一中學2018-2019學年高二上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題（本大題共10小題）1.已知橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上，若、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】設橢圓短軸的一個端點為根據(jù)橢圓方程求得c，進而判斷出，即得或令，進而可得點P到x軸的距離【詳解】解：設橢圓短軸的一個端點為M由于，；，只能或令，得，故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的基本應用考查了學生推理和實際運算能力是基礎題2.已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意可得漸近線的斜率，即為a，b的關系式，再根據(jù)拋物線的準線方程解得c，由a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程【詳解】解：雙曲線的一條漸近線過點，可得漸近線的斜率為，雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，可得，即，解得，則雙曲線的方程為：故選：C【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及拋物線的方程和性質(zhì)，運用漸近線方程和斜率公式是解題的關鍵，屬于基礎題3.設、分別為雙曲線的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知，可知|PF1|=2=4b根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=雙曲線漸進線方程為y=x，即4x3y=0故選C考點：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的運用。點評：解決該試題的關鍵是利用題設條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，可知答案。4.已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A. (1,3)B. (1,)C. (0,3)D. (0,)【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點在軸上，所以，解得，因為方程表示雙曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A【考點】雙曲線的性質(zhì)【名師點睛】雙曲線知識一般作為客觀題出現(xiàn),主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎題.注意雙曲線的焦距是2c而不是c,這一點易出錯.【此處有視頻，請去附件查看】5.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的標準方程為A. B. C. D. 【答案】B【解析】y2=2px的焦點坐標為,過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,=p=2,拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.【此處有視頻，請去附件查看】6.一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為A. 108B. 216C. 648D. 1296【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，完成任務可分為兩步，、每個三口之家內(nèi)部排序，、三個家庭之間排序，計算每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計數(shù)公式，計算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行：、將每個三口之家都看成一個元素，每個家庭都有種排法；三個三口之家共有種排法，、將三個整體元素進行排列，共有種排法故不同的作法種數(shù)為；故選：D【點睛】本題考查排列、組合的運用，涉及分步計數(shù)原理的應用，對于相鄰問題，可用捆綁法解決.7. 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有A. 6種B. 12種C. 24種D. 30種【答案】C【解析】：甲和乙選中同一課程的選法有種，甲和乙再各選一門有和種，根據(jù)乘法原理，甲和乙完成選修課程選擇有種，選C.8.，則A. B. C. 64D. 65【答案】B【解析】【分析】在所給的等式中，令，求得的值，再令，可得的值,即得結(jié)果.【詳解】解：，令，可得，再令，故選：B【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過賦值法，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎題9.已知F為拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線與直線，直線與拋物線交于A、B兩點，直線與拋物線交于C、D兩點，則的最小值為A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點弦弦長公式表示，再根據(jù)正弦函數(shù)有界性求最小值【詳解】解：由，設直線傾斜角為，則直線傾斜角為，由焦點弦弦長公式得 所以，當且僅當時取等號的最小值為故選：D【點睛】本題考查了拋物線焦點弦弦長公式，考查基本分析求解能力，屬于中檔題10.過雙曲線的焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸上的一個端點，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解得A，B的坐標，再分類討論鈍角，并運用向量數(shù)量積的坐標表示，最后解得離心率范圍【詳解】解：不妨設過雙曲線的左焦點，令，可得，可得，又不妨設，可得，因為為鈍角三角形，所以為鈍角或為鈍角，當為鈍角時可得，即為，化為，即有，可得，即，又，可得，當為鈍角時可得，即為，化為，由，可得，又，可得綜上可得，e的范圍為故選：D【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及向量數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共6小題）11.分別標有1、2、3、4的4張卡片，放入分別標號為1、2、3、4的4個盒中，每盒不空，且3號卡片不能放入3號盒中，則有_種不同的方法【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：3號卡片可以放入1、2、4號盒子中，有3種放法；，將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個盒子中，由分步計數(shù)原理計算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：3號卡片不能放入3號盒中，則3號卡片可以放入1、2、4號盒子中，有3種放法；將剩下的3張卡片全排列，放入剩下的3個盒子中，有種放法；故有種不同的放法；故答案為：18【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題12.從5名男醫(yī)生名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有_種數(shù)字回答【答案】70【解析】【分析】先分兩類，一類是：一男二女，另一類是：兩男一女；在每一類中再用分步計數(shù)原理解答【詳解】解：直接法：一男兩女，有種，兩男一女，有種，共計70種間接法：任意選取種，其中都是男醫(yī)生有種，都是女醫(yī)生有種，于是符合條件的有種故答案為：70【點睛】直接法：先分類后分步；間接法：總數(shù)中剔除不合要求的方法，這種問題是排列組合中典型的問題，注意表示過程中數(shù)字不要弄混13.展開式中的系數(shù)為10， 則實數(shù)的值為 【答案】1【考點定位】該題主要考查二項式定理及其性質(zhì)【解析】【此處有視頻，請去附件查看】14.若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標，對于拋物線，用p表示其準線方程，結(jié)合題意列出方程即可得p的值，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，則其焦點在y軸上，且，則拋物線焦點坐標為，所以，可得；故答案為：【點睛】本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎題15.P為雙曲線右支上的一個動點若點P到直線的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為_【答案】【解析】【分析】雙曲線的漸近線方程為，c的最大值為直線與直線的距離再根據(jù)平行線之間距離公式得結(jié)果.【詳解】解：由題意，雙曲線的漸近線方程為，因為由點P到直線的距離大于m恒成立，的最大值為直線與漸近線之間的距離，即故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查兩平行線之間的距離公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題16.已知橢圓，A、B為橢圓左右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P為橢圓上一點，且軸，過點A的直線與線段PF交于M點，與y軸交于E點，若直線BM經(jīng)過OE中點，則橢圓的離心率為_【答案】【解析】【分析】由題意可得F，A，B的坐標，設出直線AE的方程為，可得M，E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，最后結(jié)合離心率公式，即可得到所求值【詳解】解：由題意可設，設直線AE的方程為，令，可得，令，可得，設OE的中點為H，可得，由B，H，M三點共線，可得，即為，化簡可得，即為，可得故答案為：【點睛】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運用和三點共線的條件，屬于中檔題三、解答題（本大題共4小題）17.已知F為橢圓的左焦點，離心率為，過F且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為求該橢圓方程；設直線同時與橢圓和拋物線各恰有一個公共交點，求直線的方程【答案】（1）；（2）或或【解析】【分析】由，求得，結(jié)合，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；將直線方程代入橢圓方程與拋物線方程，根據(jù)交點情況得的關系式，解方程組得k和m的值，即得直線方程【詳解】解：由，得，方程橢圓中，令，可得即，得，得橢圓方程；顯然直線存在斜率，設其方程為，整理得：，由，化簡得：，代入拋物線：，得到，時，化簡得：，當，當時，直線的方程為或或【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的位置關系，考查計算能力，屬于中檔題18.過橢圓的右焦點F作直線交橢圓于M、N兩點，H為線段MN的中點，且OH的斜率為，設點求該橢圓的方程；若點P是橢圓上的動點，求線段PA的中點G的軌跡方程；過原點的直線交橢圓于B、C兩點，求面積的最大值【答案】（1）；（2），（3）最大值【解析】【分析】結(jié)合點差法和直線的斜率，以及OH的斜率為，可得，再根據(jù)右焦點F在直線上，求出c，即可求出橢圓的方程；利用轉(zhuǎn)移法解得G的軌跡方程；聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，利用弦長公式求出CB，再根據(jù)點到直線距離公式得A到CB的距離，根據(jù)三角形的面積得函數(shù)解析式，根據(jù)基本不等式求出最大值【詳解】解：設，則，兩式相減可得，即，直線交橢圓于M、N兩點，H為線段MN的中點，且OH的斜率為，右焦點F作在直線上，令，可得，由，解得，橢圓方程為；設，則有，即，代入為中，得，故線段PA的中點G的軌跡方程為，當直線BC垂直x軸時，此時，點A到直線BC的距離，則，當直線BC的斜率為零時，此時，點A到直線BC的距離，則，當直線BC的斜率存在且不為零時，設直線BC的方程為，聯(lián)立方程組可得，消y整理可得，解得，則，點A到直線BC的距離，當且僅當時，即，取最大值，最大值為，綜上所述面積的最大值【點睛】本題考查橢圓的方程，考查直線和橢圓位置關系，考查弦長公式，考查點到直線的距離公式和基本不等式的運用，屬于中檔題19.已知點、是平面上的兩點，動點P滿足求點P的軌跡方程；若，求點P的坐標【答案】（1）（2），或或或【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義求點P的軌跡方程根據(jù)余弦定理以及橢圓定義求，再由，得，結(jié)合橢圓定義推導出，由雙曲線得點P的軌跡方程，最后聯(lián)立橢圓與雙曲線方程，解得點P的坐標【詳解】解：設動點，點、是平面上的兩點，動點P滿足點P是以M，N為焦點的橢圓，且，點P的軌跡方程為在中，解得，由，得，點P在以、為焦點的雙曲線上，聯(lián)立，解得點P的坐標，或或或【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法，考查橢圓、雙曲線、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題20.已知橢圓C：（ab0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（）求C的方程；（）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.【答案】(1) .(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)，兩點關于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點.另外由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此在橢圓上，代入其標準方程，即可求出C的方程；（2）先設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設直線l的方程，當l與x軸垂直時，通過計算，不滿足題意，再設l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2，x1x2，進而表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關系，從而判斷出直線恒過定點.試題解析：（1）由于，兩點關于y軸對稱，故由題設知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B的坐標分別為（t，），（