函數(shù)的連續(xù)性(101).ppt

第七講 函數(shù)的連續(xù)性,內(nèi)容提要 1.函數(shù)的連續(xù)性； 2. 函數(shù)的間斷點(diǎn)； 3. 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性； 4.反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的連續(xù)性； 5. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，了解函數(shù)在一點(diǎn)處的左、右連續(xù)概念以及函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念； 2. 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)及其類型； 3.了解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，知道反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，知道連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性，了解初等函數(shù)的連續(xù)性； 4.掌握用連續(xù)性計(jì)算初等函數(shù)的極限； 5.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大、最小值定理,熟練掌握介值定理.,教學(xué)要求,改變量,(可正可負(fù)),的改變量 ,（可正可負(fù)),當(dāng)自變,一、函數(shù)的連續(xù)性,1. 自變量的改變量和函數(shù)的改變量,（1）自變量的改變量,（2）函數(shù)的改變量,注:,y,x,D,D,分別為整體記號(hào),不能理解為,及,曲線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的改變量。,定義1,如果,在上述定義中,從而,定義2,如果,2.函數(shù)在點(diǎn),處的連續(xù)性,指出:,定義1與定義2是等價(jià)的.,證明,因?yàn)?結(jié)論:,練習(xí),證,由定義1知,右連續(xù)但不左連續(xù) ,在左端,則稱,函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的全體所構(gòu),稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。,在連續(xù)區(qū)間上,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。,證明,由極,限的運(yùn)算法則和連續(xù)的定義可得連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則：,法則1,則,點(diǎn)連續(xù)。,即,單調(diào)連續(xù)函數(shù)的,反函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的區(qū)間上是連續(xù)的。,應(yīng)用函數(shù)連續(xù)的定義與上述兩個(gè)法則，,可以證明,則,法則3 說明連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，,并可得如下結(jié)論：,例如,法則,解,故,指出:,解,解,練習(xí),定理,則,這表明:,對(duì)連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限,只需求該點(diǎn)函數(shù)值.,由以上法則，可得：,解,因此，初等函數(shù)的定義區(qū)間就是它的連續(xù)區(qū)間。,練習(xí),求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求極限：,解1,解2,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),點(diǎn)。,間斷點(diǎn)分類,：,按左、右極限是否,都存在來分類。,（一）第一類間斷點(diǎn),(左、右極限均存在),但不相等;,2.跳躍間斷點(diǎn),1.可去間斷點(diǎn),（二）第二類間斷點(diǎn),右極限,對(duì)于可去間斷點(diǎn)，,我們可以補(bǔ)充,或改變,指出：,由于,二類間斷點(diǎn)。,（無窮型間斷點(diǎn)）,解,練習(xí),是可去間斷點(diǎn),則補(bǔ)充或改變定義,使函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。,如果,解,解,三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),我們不證明，只給出幾何說明。,即在閉區(qū)間,使得,也不存在最小值。,也不存在最小值。,是連續(xù)函數(shù),【注意】,定理的結(jié)論不一定成立。,(1),對(duì)開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或閉區(qū)間上有,它的最大值是,點(diǎn)上取得。,則對(duì)于滿足,使得,定理2指出：,則至少存在一點(diǎn),幾何意義：,例,實(shí)根。,證明,故,根據(jù)推論可知，,至少存在一點(diǎn),由推論知：,練習(xí),證明,證明,小結(jié),1. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;,5. 間斷點(diǎn)的分類與判別;,2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):,無窮型,振蕩型.,間斷點(diǎn),6. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).,可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):,3. 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則