線性代數(shù)課件第五章相似矩陣及二次型——習(xí)題課.ppt

線 性 代 數(shù),第五章 相似矩陣及二次型,定義, 向量?jī)?nèi)積的定義及運(yùn)算規(guī)律,定義,向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：, 向量的長(zhǎng)度,定義, 向量的夾角,所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零 向量向量空間的基若是正交向量組，就稱為正 交基,定理,定義, 正交向量組的性質(zhì),施密特正交化方法,第一步 正交化,第二步 單位化,定義, 正交矩陣與正交變換,方陣 為正交矩陣的充分必要條件是 的行 （列）向量都是單位向量，且兩兩正交,定義 若 為正交矩陣，則線性變換 稱為 正交變換,正交變換的特性在于保持線段的長(zhǎng)度不變,定義, 方陣的特征值和特征向量, 有關(guān)特征值的一些結(jié)論,定理,定理 屬于同一個(gè)特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量, 有關(guān)特征向量的一些結(jié)論,定義,矩陣之間的相似具有(1)自反性；(2)對(duì)稱性； (3)傳遞性, 相似矩陣, 有關(guān)相似矩陣的性質(zhì),若 與 相似，則 與 的特征多項(xiàng)式 相同，從而 與 的特征值亦相同,(4) 能對(duì)角化的充分必要條件是 有 個(gè)線 性無(wú)關(guān)的特征向量,(5) 有 個(gè)互異的特征值，則 與對(duì)角陣相似, 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣,定義, 二次型,二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的,定義, 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形, 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,定義, 正定二次型, 慣性定理,注意, 正定二次型的判定,一、證明所給矩陣為正交矩陣,典 型 例 題,二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正 交單位向量組,三、特征值與特征向量的求法,四、已知 的特征值，求與 相關(guān)矩陣的特征值,五、求方陣 的特征多項(xiàng)式,六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題,七、判斷方陣 可否對(duì)角化,八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱 矩陣化為對(duì)角陣,九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,一、證明所給矩陣為正交矩陣,證明,將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位向量組，可 以先正交化，再單位化；也可同時(shí)進(jìn)行正交化與 單位化,二、將線性無(wú)關(guān)向量組化為正交單位 向量組,解一 先正交化，再單位化,解二 同時(shí)進(jìn)行正交化與單位化,第三步 將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性方程組， 求出基礎(chǔ)解系，即得該特征值的特征向量,三、特征值與特征向量的求法,第一步 計(jì)算 的特征多項(xiàng)式；,第二步 求出特征多項(xiàng)式的全部根，即得 的全部 特征值；,解 第一步 計(jì)算 的特征多項(xiàng)式,第三步 求出 的全部特征向量,解,四、已知 的特征值，求與 相關(guān) 矩陣的特征值,解,五、求方陣 的特征多項(xiàng)式,解,六、關(guān)于特征值的其它問(wèn)題,方法一,方法二,方法三,解,七、判斷方陣 可否對(duì)角化,解 (1) 可對(duì)角化的充分條件是 有 個(gè)互異的 特征值下面求出 的所有特征值,解 第一步 求A的特征值由,八、利用正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣化為 對(duì)角陣,九、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,解 第一步 將 表成矩陣形式,解,第五章 測(cè)試題,一、填空題(每小