高考數(shù)學復習第七章不等式第42講基本不等式及其應用學案理.docx

第42講基本不等式及其應用考試要求1.基本不等式的證明過程(A級要求)；2.利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題(C級要求).應關注利用基本不等式把等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后研究最值問題.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)當a0，b0時，.()(2)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的.()(3)函數(shù)yx的最小值是2.()(4)函數(shù)f(x)sin x的最小值為2.()(5)x0且y0是2的充要條件.()解析(2)不等式a2b22ab成立的條件是a，bR；不等式成立的條件是a0，b0.(3)函數(shù)yx值域是(，22，)，沒有最小值.(4)函數(shù)f(x)sin x的最小值為5.(5)x0且y0是2的充分條件.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改編)設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_.解析x0，y0，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.答案813.(教材改編)若0x1，則的取值范圍是_.解析由0x0，故，當且僅當x時，上式等號成立.00，y0，x2y1，所以(x2y)123232，當且僅當x22y2時取得最小值32.答案325.(教材改編)若x(0，)，則sin x2；若a，b(0，)，則lg alg b2；若xR，則4.其中正確結(jié)論的序號是_.解析因為x(0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1時才成立；|x|24，當且僅當x2時“”成立.答案知 識 梳 理1.基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號.(3)適用于求含兩個代數(shù)式的最值.2.幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同號).(3)ab，(a，bR).(4)(a，bR).(以上不等式要根據(jù)條件合理選擇其中之一)以上不等式等號成立的條件均為ab.3.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0，b0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)，當兩個正數(shù)相等時兩者相等.4.利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值2(簡記：積定和最小).(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值(簡記：和定積最大).考點一利用基本不等式求最值(多維探究)命題角度1配湊法求最值【例11】 (1)已知0x1，則x(43x)取得最大值時x的值為_.(2)已知x1)的最小值為_.解析(1)x(43x)(3x)(43x)，當且僅當3x43x，即x時，取等號.(2)因為x0，則f(x)4x2(54x)3231.當且僅當54x，即x1時，等號成立.故f(x)4x2的最大值為1.(3)由于x1，故y(x1)222.當且僅當x1，即x1時，等號成立.答案(1)(2)1(3)22命題角度2常數(shù)代換或消元法求最值【例12】 (1)(2018鹽城模擬)已知正數(shù)x，y滿足x2yxy0，則x2y的最小值為_.(2)(一題多解)(2018南京模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_.(3)(2017蘇州期末)已知ab，a，b(0，1)，那么的最小值為_.解析(1)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)4448.當且僅當，即x4，y2時等號成立.(2)法一(消元法)由已知得x.因為x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，當且僅當3(y1)，即y1，x3時，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，當且僅當x3y時等號成立.設x3yt0，則t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故當x3，y1時，(x3y)min6.(3)因為b，a(0，1)，所以22.令2a1t，則a，原式2224，當且僅當t，即a(0，1)時取等號，故原式的最小值為4.答案(1)8(2)6(3)4規(guī)律方法(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.易錯警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號成立的條件一致.【訓練1】 (1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_.(2)設ab2，b0，則取最小值時，a的值為_.解析(1)法一由x3y5xy及x，y均為正數(shù)可得1，3x4y(3x4y)5.(當且僅當，即x1，y時，等號成立)，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，當且僅當y時等號成立，(3x4y)min5.(2)ab2，b0，21，當且僅當時等號成立.又ab2，b0，當b2a，a2時，取得最小值.答案(1)5(2)2考點二基本不等式的綜合應用【例2】 (1)設x，y，z均為大于1的實數(shù)，且z為x和y的等比中項，則的最小值為_.(2)設正四面體ABCD的棱長為，P是棱AB上的任意一點(不與點A，B重合)，且點P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則的最小值是_.解析(1)由題意得z2xy，lg x0，lg y0，2，當且僅當，即lg y2lg x，即yx2時取等號.(2)過點A作AO平面BCD于點O，則O為BCD的重心，所以OB，所以AO2.又VPBCDVPACDVABCD，所以SBCDySACDxSBCD2，即xy2.所以(xy)2，當且僅當x3，y1時取等號.答案(1)(2)2規(guī)律方法(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.【訓練2】 (1)(2018泰州模擬)已知ab1且2logab3logba7，則a的最小值為_.(2)(2018蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)若實數(shù)x，y滿足xy0，則的最大值為_.解析(1)因為2logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab或logab3，因為ab1，所以logab(0，1)，故logab，從而b，因此aa(a1)13，當且僅當a2時等號成立.(2)因為xy0，所以11142，當且僅當，即x22y2時取等號.答案(1)3(2)42考點三利用基本不等式解決恒成立及實際應用問題【例31】 若不等式x2a(xy)對任意的實數(shù)x，y(0，)恒成立，則實數(shù)a的最小值為_.解析由題意得a恒成立.令t(t0)，則a，再令12tu(u1)，則t，故a.因為u2(當且僅當u時等號成立)，故u222，從而00，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為_.(2)已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.解析(1)由，得m(a3b)6.又a0，b0，所以62612(當且僅當時等號成立)，m12，m的最大值為12.(2)對任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a3.設g(x)x，xN*，則g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min，3，a，故a的取值范圍是.答案(1)12(2)規(guī)律方法(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.【訓練3】 (2018蘇北四市聯(lián)考)如圖，墻上有一壁畫，最高點A離地面4 m，最低點B離地面2 m，觀察者從距離墻x(x1)m，離地面高a(1a2)m的C處觀賞該壁畫，設觀賞視角ACB. (1)若a1.5，問：觀察者離墻多遠時，視角最大？(2)若tan ，當a變化時，求x的取值范圍.解(1) 當a1.5時，過C作AB的垂線，垂足為D，則BD0.5，且ACDBCD，由已知觀察者離墻x m，且x1，則tanBCD，tanACD，所以tan tan(ACDBCD)，當且僅當x1時取等號.又tan 在上單調(diào)遞增，所以當觀察者離墻 m時，視角最大.(2)由題意得tanBCD，tanACD，又tan ，所以tan tan(ACDBCD)，所以a26a8x24x.當1a2時，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4，因為x1，所以3x4.所以x的取值范圍是3，4.一、必做題1.(教材改編)已知a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的序號是_.a2b22ab；ab2；2.解析因為a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立，所以錯誤；對于，因為ab0，所以22.對于，當a0，b0時，明顯錯誤.答案2.(教材改編)用長為16 cm的鐵絲圍成一個矩形，則所圍成的矩形的最大面積是_ cm2.解析設矩形長為x cm(0x0，8x0，可得S16，當且僅當x8x，即x4時，Smax16.所以矩形的最大面積是16 cm2.答案163.當x0時，函數(shù)f(x)有最_值，為_.解析由于x0，所以f(x)1，當且僅當x1時取等號.答案大14.(2018鹽城模擬)函數(shù)y的最小值為_.解析y2，當且僅當，即x0時，y取到最小值2.答案25.某民營企業(yè)的一種電子產(chǎn)品，2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎上增長率為a；2016年計劃在2015年的基礎上增長率為b(a，b0)，若這兩年的平均增長率為q，則q與的大小關系是_.解析設2014年的年產(chǎn)量為1，則2016年的年產(chǎn)量為(1a)(1b)，(1q)2(1a)(1b)，1q1，q，當且僅當ab時，取“”.答案q6.(2017天津卷)若a，bR，ab0，則的最小值為_.解析4ab24(前一個等號成立條件是a22b2，后一個等號成立的條件是ab，兩個等號可以同時取得，則當且僅當a2，b2時取等號).答案47.設f(x)x2x1，g(x)x21，則的取值范圍是_.解析1，當x0時，1；當x0時，11；當x0，解得a1.同理可得b1，9(a1)26，當且僅當9(a1)，即a時等號成立，最小值為6.答案69.(2018揚州一模)設正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為_.解析由已知得zx23xy4y2，(*)則1，當且僅當x2y時取等號，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.答案110.已知函數(shù)f(x)(xa，a為非零常數(shù)).(1)解不等式f(x)a時，f(x)有最小值為6，求a的值.解(1)f(x)x，即x，整理為(ax3)(xa)0時，(xa)0，解集為；當a0，解集為.(2)設txa，則xta(t0).f(t)t2a22a22a.當且僅當t，即t時，等號成立，即f(x)有最小值22a.依題意有22a6，解得a1.二、選做題11.(一題多解)(2018南通模擬)設實數(shù)x，y滿足y21，則3x22xy的最小值是_.解析法一因為y21，所以3x22xy，令k，則3x22xy，再令t32k(2，4)，則k，故3x22xy64，當且僅當t2時等號成立.法二令t3x22xy，則y，代入方程y21并化簡得8x4(46t)x2t20，令ux24，則8u2(46t)ut20在4，)上有解，從而由得t212t40，解得t64，當取得最小值時，u2 滿足題意.法三因為y21，所以令yt，則y，從而則3x22xy62t264，當且僅當t2時等號成立.答案6412.(2018南京模擬)一位創(chuàng)業(yè)青年租用了如圖所示的一塊邊長為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點E，F(xiàn)(不與正方形的頂點重合)，連接AE，EF，F(xiàn)A，使得EAF45.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生