常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)(模板.pptVIP

第七章 無窮級數(shù),無窮級數(shù)是高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容，無論在數(shù)學理論本身還是在實際中的應用都是一個非常有利的工具.本章主要研究常數(shù)項級數(shù)的概念及其收斂準則，然后討論函數(shù)項級數(shù)，主要討論冪級數(shù)以及如何將函數(shù)展開成冪級數(shù)的問題.,7.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì),7.2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法,7.3 冪級數(shù),7.4 函數(shù)展開成冪級數(shù),第七章,小結(jié),級數(shù)的概念,級數(shù)的基本性質(zhì),問題的提出,7.1 常數(shù)項級數(shù)的概念,第七章 無窮級數(shù),給定一個數(shù)列,將各項依,即,稱上式為無窮級數(shù)，,其中第 n 項,叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和,稱為級數(shù)的部分和.,次相加, 簡記為,定義1：,一、級數(shù)的定義,定義2：,當級數(shù)收斂時, 稱差值,為級數(shù)的余項.,則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .,顯然,并稱 S 為級數(shù)的和,定義3：,證明：,顯然：,因此級數(shù)是發(fā)散的。,級數(shù)得部分和為：,證明：,矛盾，故假設(shè)不成立因此級數(shù)是發(fā)散的。,假設(shè)級數(shù)收斂，其和為S，則有：,調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。,則有：,但有：,解,因為,從而,拆項相消法。,解,判別 級數(shù)的斂散性:,解:,所以級數(shù)發(fā)散,技巧:,利用 “拆項相消” 求和,例. 討論等比級數(shù),(又稱幾何級數(shù)),( q 稱為公比 ) 的斂散性.,解: 1) 若,從而,因此級數(shù)收斂 ,從而,則部分和,因此級數(shù)發(fā)散 .,其和為,2). 若,因此級數(shù)發(fā)散 ;,因此,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),從而,綜合 1)、2)可知,時, 等比級數(shù)收斂 ;,時, 等比級數(shù)發(fā)散 .,則,級數(shù)成為,不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.,解,結(jié)論: 乘上一個不為零的數(shù)不改變級數(shù)的斂散性.,結(jié)論: 收斂級數(shù)的和（或差）仍然收斂.,1,2,三、基本性質(zhì),解,1.若級數(shù) 收斂，而級數(shù) 發(fā)散,則，級數(shù) 一定發(fā)散,注意,2.若級數(shù) 發(fā)散，而級數(shù) 發(fā)散,則，級數(shù) 可能收斂也可能發(fā)散,例如:,證明,級數(shù)的收斂性與它的項數(shù)無關(guān). 或： 在級數(shù)的前面加上或去掉有限項，收斂性不變。,3,結(jié)論,證明,4,結(jié)論：收斂級數(shù)滿足結(jié)合律 或:收斂級數(shù)的各項可以任意組合（順序不變）. 其和不變,收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,注意,推論,判斷級數(shù)的斂散性:,解: 考慮加括號后的級數(shù),發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .,證明,（級數(shù)收斂的必要條件）,5,如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,注意,1,2,如果級數(shù)的一般項趨于零,則級數(shù)不一定收斂,判別收斂性：,解,解,判別收斂性：,解,一 寫出下列級數(shù)的通項,二 利用級數(shù)的基本性質(zhì),判別級數(shù)的斂散性,三 判別級數(shù)的斂散性,(1),(2),(1),(1),(2),(2),一 (1),(2),二